初二数学培训讲义第12讲 四边形的综合应用.docx

1、初二数学培训讲义第12讲 四边形的综合应用第十二讲 四边形的综合应用一、主要知识点回顾我们学习了四边形和一些特殊的四边形，下图表示了在某种条件下它们之间的关系。如果，两个条件分别是：两组对边分别平行；有且只有一组对边平行。那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件。_，_，_，_二、感悟与实践例题1：如图1，在平行四边形ABCD中，BAD的平分线AE交DC于E，若DAE25，求C、B的度数。变式练习1：如图2，在正方形ABCD中，E为CD边上的一点，F为BC的延长线上一点，CECF，（1）BCE与DCF全等吗？说明理由；（2）若BEC60，求EFD。例题2：如图3所示，平行四边形ABCD

2、中，AEBD，CFBD，垂足分别为E，F；求证：BAEDCF；变式练习2：如图4所示，有A（0，1），B（，0），C（1，0）三点坐标。（1）若点D与A，B，C三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标；（2）选择（1）中符合条件的一点D，求直线BD的解析式。例题3：如图5所示，在平行四边形ABCD中，BC2AB4，点E，F分别是BC，AD的中点。（1）求证：ABECDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积。变式练习3：已知，如图6所示，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CECG，连结BG并延长交DE于F。（1）求证：BCGDCE； （2）将DCE绕点D

3、顺时针旋转90得到DAE，判断四边形EBGD是什么特殊四边形？并说明理由。例题4：如图7所示，在菱形ABCD中，DAB60，过点C作CEAC且与AB的延长线交于点E，求证：四边形AECD是等腰梯形。变式练习4：已知：如图8，在直角梯形ABCD中，B90，ADBC，AD24cm，BC26cm，动点P从A点开始沿AD边向D以1cm/秒的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/秒的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，t分别为何值时：（1）四边形PQCD是平行四边形？（2）四边形PQCD等腰梯形？三、巩固与提高（A）巩固练习1一组对边

4、平行，并且对角线互相垂直相等的四边形是（ ）。A菱形或矩形 B正方形或等腰梯形 C矩形或等腰梯形 D菱形或直角梯形2如图9，在平行四边形ABCD中，B110，则E+F等于（ ）。A110 B30 C50 D70 3如图10所示，在菱形ABCD中， OEDC交BC于点E，AD6cm，则OE的长为（ ）。 A6cm B4cm C3cm D2cm4若四边形的两条对角线相等，则顺次连结该四边形各边中点所得的四边形是（ ）。 A梯形 B矩形 C菱形 D正方形5如图11所示，已知等腰梯形ABCD的中位线EF6，腰AD的长为5，则该等腰梯形的周长为（ ）。A11 B16 C17 D226将一正方形纸片按图中

5、（1），（2）的方式依次对折后，再沿（3）中的虚线裁剪，最后将（4）中的纸片打开铺平，所得图案应该是下图中的（ ）。7下列说法中，正确的是（ ）。 A等腰梯形的对角线互相垂直 B菱形的对角线相等 C矩形的对角线互相垂直 D正方形的对角线互相垂直且相等8如图12所示，阴影部分的面积是矩形面积的（ ）。A B C D 9平行四边形ABCD中两邻角A:B1:2，则C_度。10如图13所示，平行四边形ABCD中， 若再增加一个条件_，就可推得BEDF。（B）能力提高11如图14，等腰梯形ABCD中，AD/BC，AB5，BC4，D点的坐标为（10，0），则C点的坐标为（ ）。A（6，3） B（7，3）

6、C（6，4） D（7，4）12等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为（ ）。A120 B60 C45 D13513如图15，在等边三角形ABC外作正方形ACDE，AD与BE交于点F，则FCD （ ）。 A60 B45 C75 D5414一个平行四边形的周长为70cm，两边的差是10cm，则平行四边形各边长为 cm。15已知：如图16，在正方形ABCD中，AC，BD交于点O，延长CB到点E，使BEBC，连结DE交AB于点F，求证：OFBE。（C）趣味数学有四只蚂蚁位于边长为3米的正四边形四个角上，它们遵循一个共同规则：1号蚁总朝2号蚁爬去，2号蚁总朝3号蚁爬去，3号朝4号爬，4号朝1号爬

7、。现在4只蚂蚁均以1厘米/秒的速度同时匀速向目标爬行。纵观爬行路线，犹如漩涡一样，请问经过多长时间它们在中心碰头？若将正方形改为正三角形，三只蚂蚁如此爬行，情况怎样？四、考考你1如图17所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知AOD120，AB2.5，则AC的长为_。 2如图18，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（ ）。A B2 C D 3如图19，菱形ABCD的边长为2，ABC45，则点D的坐标为_。4如图20所示，在ABC中，EF为ABC的中位线，D为BC边上一点（不与B，C重合），AD与EF交于点O，连结DE，DF

8、，要使四边形AEDF为平行四边形，需要添加条件_。（只添加一个条件）5四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）。AABCD BADBC CABBC DACBD五、课外练习1如图21，点E，F，G，H分别是平行四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点。求证：BEFDGH。2如图22, 平行四边形 ABCD中，G是CD上一点，BG交AD延长线于E，AFCG，DGE100（1）试说明DFBG；（2）试求AFD的度数。补充讲义 四边形的综合应用【能力拓展】1（2011北京市）在ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。（1）在图1-1中证明CEC

9、F；（2）若ABC90，G是EF的中点（如图1-2），直接写出BDG的度数；（3）若ABC120，FGCE，FGCE，分别连结DB、DG（如图1-3），求BDG的度数。 2如图2，四边形ABCD中，点E在边CD上，连结AE、BE。给出下列五个关系式：ADBC；DECE；12；34；ADBCAB。将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题。（1）用序号写出一个真命题（书写形式如：如果，那么）。并给出证明；（2）用序号再写出三个真命题（不要求证明）；（3）加分题：真命题不止以上四个，想一想，就能够多写出几个真命题。3如图3，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB2AD。（1）

10、判断ABC的形状，并说明理由；（2）保持图3-1中的ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图3-2中的位置（当垂线AD、BE在直线MN的同侧）。试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；（3）保持图3-2中的ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3-3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）。试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明。【课堂小测】每题20分，共5小题，满分100分1平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若BOC的周长比AOB的周长大2cm，则CD cm。2若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的

11、一个交角为60，则该矩形的面积为 cm2。3若边长为4cm的菱形的两邻角度数之比为1:2，则该菱形的面积为 cm2。4梯形的上底长为2，下底长为5，一腰为4，则另一腰m的范围是 。5（2011浙江金华）如图4，在ABCD中，AB3，AD4，ABC60，过BC的中点E作EFAB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则DEF的面积是 。ADFEBCH图4初二数学讲义第十二讲参考答案（58期）一、主要知识点回顾相邻两边垂直； 相邻两边相等；相邻两边相等；相邻两边垂直；两腰相等； 一条腰垂直于底边。二、感悟与实践例题1：解：BAD2DAE22550又平行四边形ABCD CBAD50ADBC B180

12、-BAD180-50130变式练习1：（1）BCEDCF理由：因为四边形ABCD是正方形BCCD，BCD90 BCEDCF又CECFBCEDCF（2）CECF CEFCFEFCE90CFE又BCEDCFCFDBEC60EFDCFD-CFE60-4515例题2：分析：本题考查的知识点是平行四边形性质的运用。四边形ABCD是平行四边形，ABCD，且ABCD ABECDF。又AEBD，CFBD。AEBCFD90， ABECDF。BAEDCF。变式练习2：分析：本题考查的知识点是平行四边形和一次函数的综合运用。（1）符合条件的点D的坐标分别是：D1（2，1），D2（，1），D3（0，）。（2）选择点D

13、1（2，1）时，设直线BD1的解析式为。 由题意得， 解得 直线BD1的解析式为yx+ 选择点D2时，。选择点D3时，。例题3：分析：本题考查的知识点是菱形的综合运用。（1）四边形ABCD为平行四边形。BD，ADBC，ABCD。 又点E，F分别是BC，AD的中点。DFBE，ABECDF。 （2）当四边形AECF为菱形时，ABE为等边三角形，AB2，菱形的边长也为2，四边形ABCD的高为，菱形AECF的面积为2。变式练习3：分析：本题考查的知识点是正方形的综合运用。（1）四边形ABCD是正方形，BCCD，BCD90。 BCD+DCE180， BCDDCE90。又CGCE，BCGDCE。 （2）四

14、边形EBGD是平行四边形，理由如下： DCE绕D顺时针旋转90得到DAE，CEAE。 CECG，CGAE。四边形ABCD是正方形， BEDG，ABCD。AB-AECD-CG，即BEDG。 四边形EBGD是平行四边形。例题4：分析：本题考查的知识点是等腰梯形的综合运用。ABCD是菱形，DAB60。CAEDAB30。 又CEAC，E60DAB，CEBCAD。 又CDAE。AEAB+BEDC+BEDC，四边形AECD是等腰梯形。变式练习4：分析：本题考查的知识点是平行四边形和等腰梯形形的综合运用。（1）PD24-t，CQ3t，当四边形PQCD是平行四边形时PDCQ24-t3t，t6，即t6时四边形P

15、QCD是平行四边形（2）PD24-t，CQ3t，26-242，当四边形PQCD是等腰梯形时PD+2+2CQ，24-t+2+23t，t7 而732126，71724，当t7时四边形PQCD是等腰梯形。三、巩固与提高（A）巩固练习1B 2D 3C 4C 5D 6B 7D 8B 96010答案不唯一，如：AECF，AEBCFD，ABECDF。 （B）能力提高11D 12B 13C 1422.5 12.5 22.5 12.5 15分析：本题考查的知识点是正方形的综合运用四边形ABCD是正方形，BCAD。 又BEBC，BEAD。ADBE，EADF，AFDEFB。ADFBEF。DFFE。又DOOB。OF为

16、BDE的中位线。OFBE。（C）趣味数学因为在每一时刻，2号蚁总是沿着与跟踪它的1号蚁成直角的方向移动。可见四只蚂蚁始终位于不同正方形的四个角上。由于2号蚁的移动并不影响它与1号蚁之间的距离。 因此，它们的螺旋运动轨迹可以不予考虑。所以问题简化为2号蚁停留在原处，1号蚁沿正方形一边向它爬去所用时间秒5分钟。故经过5分钟，四蚁在中心碰头。若将正方形改为正三角形，情况就有所不同了，因为2号蚁的移动相对于1号蚁并不垂直，而成60夹角。所以还有一个向1号蚁靠拢的分速度0.5厘米/秒，因此问题可简化为2号蚁以0.5厘米/秒，1号蚁以1厘米/秒的速度相向爬行，走完3米远的路程所用时间200秒3分20秒。故

17、经过3分20秒三蚁在中心碰头。四、考考你15 2C 3（，） 4如BDCD，OEOF，DEAC等。 5D五、课外练习1四边形ABCD为平行四边形。BD，ABCD，BCAD。 又E，F，G，H分别是ABCD的四边中点。BEDG，BFDH。 BEFDGH。2（1）四边形ABCD是平行四边形，ABDC，又AFCG，AB-AFDC-CG，即GDBF，又 DGBF，四边形DFBG是平行四边形，DFBG； （2）四边形DFBG是平行四边形，DFGB， GBFAFD， 同理可得GBFDGE，AFDDGE100 。初二数学补充讲义第十二讲参考答案（58期）【能力拓展】1分析：本题考查的知识点是平行四边形的综合

18、运用。（1）证明：如图1。AF平分BAD，BAFDAF四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD。DAFCEF，BAFF。CEFF。CECF（2）BDG45（3）解：分别连结GB、GE、GC（如图3）ABDC，ABC120ECFABC120FGCE且FGCE。四边形CEGF是平行四边形。由（1）得CECF，平行四边形CEGF是菱形。EGEC，GCFGCEECF60ECG是等边三角形EGCG， GECEGC60 GECGCF。BEGDCG。 由ADBC及AF平分BAD可得BAEAEB。ABBE。在平行四边形ABCD中，ABDC。BEDC。 由得BEGDCG。BGDG。12。BGD1+32+3

19、EGC60BDG60。（x0）。2解：本题考查的知识点是梯形的综合运用（1）如果，那么证明：如图，延长AE交BC的延长线于FADBC，1F又AEDCEF，DEECADBF，AEEF1F，122F，ABBF，34AD+BCCF+BCBFAB（说明：其它真命题的证明可参照上述过程相应给分）（2）如果，那么如果，那么如果，那么（3）若（1）（2）中四个命题含假命题（“如果，那么”），则不加分；若（3）中含假命题，也不加分。3解：（1）ABC为等腰直角三角形。如图2，在矩形ABED中，点C是边DE的中点，且AC2AD，ADDCCEEB， DE90。ADCBEC。ACBC，1245ACB90。 ABC为等腰直角三角形。（2）DEAD+BE。如图3，在RtADC和RtCEB中，1CAD90，1290，CAD2。又ACCB，ADCCEB90，RtADCRtCEB。DCBE，CEAD。DC+CEBE+AD，即DEAD+BE。（3）DEBE-AD。如图4，在RtADC和RtCEB中，1+CAD90，1290， CAD2。又ADCCEB90，ACCB，RtADCRtCEB。DCBE，CEAD。DC-CEBE-AD，即DEBE-AD。【课堂小测】14 216 38 41m7 52