小升初小学数学《比和比例问题专题课程》含答案.docx

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小升初小学数学《比和比例问题专题课程》含答案

16、比和比例问题

知识要点梳理

一、比例尺应用题

在比例尺应用题中,图上距离、实际距离和比例尺三者之间的关系式是:

图上距离∶实际距离=比例尺,三个相关的量中,知道任意两个量,就可以根据关系式,求出另一个量。

在计算中,要注意各种量的单位要统一。

二、按比例分配的应用题

把一个数量按照一定的比分配成几部分。

按比例分配应用题是在比的意义、比与分数的关系的基础上解决的。

关键是要根据各部分之比,确定各部分量与总量之间的关系,即各部分占总量的几分之几,然后按照“求一个数的几分之几是多少”的问题。

三、正、反比例应用题

正比例应用题中的各种相关联的数量有正比例关系,关系式是:

=k(一定);反比例应用题中的各种相关联的数量有反比例关系,关系式是:

x·y=k(一定)。

四、解答正、反比例应用题的一般方法与步骤

1.找出题目中两种相关联的量,并分析判断是成正比例,还是成反比例。

2.设未知数为x,并注明单位名称。

3.根据比值(一定)或积(一定)建立比例式,并解比例。

4.检验,写答语。

考点精讲分析

典例精讲

考点1按比例分配的应用题

【例1】 希望小学要种一批树共390棵,按照三个班的人数来分配。

一班有42人,二班有45人,三班有43人,三个班各应植树多少棵?

【精析】 这是一道把390棵植树任务按三个班人数之比42:

45:

43进行分配的问题。

要分的总数是390,总份数是42+45+43=130。

其中一班占总数的

,二班占总数的

,三班占总数的

,要求各班应植树的棵数,实际上是分别求390的

各是多少。

【答案】 解法一:

按比例分配法

42+45+43=130

390×

=126(棵)

390×

=135(棵)

390×

=129(棵)

解法二:

份数解法

390÷(42+45+43)=3(棵)

3×42=126(棵)

3×45=135(棵)

3×43=129(棵)

答:

一班应植树126棵,二班应植树135棵,三班应植树129棵。

考点2比例尺应用题

【例2】 下面是学校操场的示意图。

 

求这个操场的实际周长和面积。

【精析】 要求出长方形操场的实际周长和面积,必须先根据图上距离和比例尺求该操场的实际长和宽。

【答案】 解法一:

用比例做方程解。

设操场的实际长为x厘米,宽为y厘米。

根据题意列比例方程:

4.4∶x=1∶5000 3.2∶y=1∶5000

x=4.4×5000  y=3.2×5000

x=22000y=16000

22000厘米=220米 16000厘米=160米

操场的周长:

(220+160)×2=760(米)

操场的面积:

220×160=35200(平方米)

解法二:

根据图上距离、实际距离和比例尺三者的关系解。

实际长为:

4.4÷15000=22000(厘米)=220(米)

实际宽为:

3.2÷15000=16000(厘米)=160(米)

操场的周长:

(220+160)×2=760(米)

操场的面积:

220×160=35200(平方米)

解法三:

根据图距,实距之间的倍数关系来解。

(1)图上1厘米相当于实际距离多少米?

5000厘米=50米

(2)实际长为几米?

50×4.4=220(米)

(3)实际宽为几米?

50×3.2=160(米)

(4)操场的周长:

(220+160)×2=760(米)

(5)操场的面积:

220×160=35200(平方米)

答:

操场的周长760米,面积为35200平方米。

【归纳总结】 这道题要注意单位的换算和比例尺的应用。

考点3正、反比例应用题

【例3】 同学们3小时制作了165件工艺品,照这样计算,制作220件工艺品需要多少小时?

【精析】 数量关系是“工艺品件数÷所需时间=每小时制作的工艺品件数(一定)”。

商一定,所以工艺品的件数和所需要时间是成正比例的量。

可直接列方程求解。

【答案】 设需要x小时。

165∶3=220∶x 165x=220×3 x=4

答:

需要4小时。

【归纳总结】 本题中“同学们每小时制作多少工艺品”是定量,“需要制作的工艺品件数”和“需要的时间”是两个相关联的量。

【例4】 收获机械厂生产一批脱粒机,计划每天生产32台,30天完成,实际每天生产40台,实际需要多少天就可以完成生产任务?

【精析】 数量关系是“每天生产的台数×天数=生产的总数(一定)。

”积一定,所以每天生产的台数与所需的天数是成反比例的量。

可直接列方程求解。

【答案】 设实际需要x天就可以完成生产任务。

40x=32×30 x=24

答:

实际需要24天就可以完成生产任务。

【归纳总结】 本题所要生产的“一批脱粒机”的台数是定量,每天生产与所需要的天数是两个相关联的量。

考点4比例应用题

【例5】 有大小两筐苹果,大筐苹果与小筐苹果单价比5∶4,其重量比是2∶3,把两筐苹果混合在一起成100千克的混合苹果,按单价为每千克4.4元出售,若总销售价不变,大小两筐苹果原价各是多少?

【精析】 知大、小苹果总价比,又知总价100×4.4按比例分配两次。

一次是大、小数量,一次是大、小总价。

此时易求出原单价。

【答案】 (5×2)∶(4×3)=5∶6

100×

=40(千克)

100-40=60(千克)

100×4.4=440(元)

440×

=200(元)

200÷40=5(元)

(440-200)÷60=4(元)

答:

大筐苹果单价是5元,小筐苹果单价是4元。

【归纳总结】 已知单价比和重量比可求出复比。

名题精析

【例1】 (西安交大附中入学)一个圆柱和一个圆锥的体积比是3∶4,底面半径比是2∶3,圆柱与圆锥的高之比是(  )∶(  )。

【精析】 本题要求圆柱与圆锥高之比,反用公式体积除以底面积。

本题中没有相关的具体数据,可以将题目中的比当做具体数量来算。

这样圆柱的体积是3,底面半径是2,圆锥的体积是4,底面半径是3,再根据圆柱和圆锥的体积公式进行计算就可以。

【答案】 [3÷(π×2×2)]∶[3×4÷(π×3×3)]=9∶16

【归纳总结】 本题在列式计算时,圆周率取π先不要算,最后在约分,这样可以使计算简便,其实,这实质是活用转化。

圆周率不变,半径的平方比就是面积比。

【例2】 (西安高新某中入学)甲、乙、丙三批货物总价值2580万元,甲、乙、丙三批货物的质量比为3∶4∶6,单位质量的价格比为5∶4∶2,问这三批货物各值多少万元?

【精析】 甲货价∶乙货价∶丙货价(甲单价×甲物重)∶(乙单价×乙物重)∶(丙单价×丙物重),可求出三批货物的价值比为(5×3)∶(4×4)∶(2×6)=15∶16∶12,按比例分配。

【答案】 三批货物的价值比为(5×3)∶(4×4)∶(2×6)=15∶16∶12

2580×

=900(万元)

2580×

=960(万元)

2580×

=720(万元)

答:

甲、乙、丙三批货物分别值900万元、960万元、720万元。

【归纳总结】 已知总数为货物总价值,应按货物价值的比例进行分酬。

货物价值=单价×质量。

毕业升学训练

一、填空题

1.在一张精密的零件图纸上,量的零件长是40毫米,这个零件的实际长度是8毫米,这幅图纸的比例尺是( )。

2.在比例尺是1∶600000的地图上,量得两地的距离是5厘米,这两地的实际距离是()。

3.一个长方形操场,长120米,宽80米,如果把它画在比例尺是1∶2000的图纸上,则长是( )厘米,宽是( )厘米。

4.甲乙两数的和是72,甲数的

相当于乙数的

,甲数是( ),乙数是( )。

5.一个三角形三个内角度数的比是7∶3∶2,这个三角形是()三角形。

二、选择题

1.在地图上量得甲、乙两地长4.5厘米,甲、乙两地实际距离是720千米,地图上的比例尺是( )。

A.1∶160000     B.1∶1600000

C.1∶16000000D.1∶160000000

2.在比例尺是1∶1000000的地图上,50千米的距离在地图上应画()厘米。

A.0.5  B.5  C.10   D.50

3.某小学男生人数与女生人数的比是6∶5,男生比女生多的人数占全校人数的( )。

A.

 B. 

   C.

4.有一种药水重20.2千克,药和水的重量比是1∶100,其中水重( )千克。

A.0.2B.3C.20D.20.2

5.把一批图书按照3∶2∶5分配给甲、乙、丙三个班,已知甲班分得15本,这批图书一共有( )本。

A.50B.60C.40D.70

6.某班学生为失学儿童捐款640元,女生捐的钱与男生捐的钱之比是5∶3,王明根据上面的条件,得到下面四个结论,其中错误的是( )。

A.女生比男生多捐款

B.男生比女生少捐款

C.男生共捐款240元 D.男生比女生少捐款

三、解决问题

1.在比例尺是1∶12000000的铁路运行图上,量得甲、乙两城间的铁路线长是3.6cm,将它画在比例尺1∶4000000地图上,甲、乙两城之间的图上距离是多少?

 

2.两块一样重的合金,一块合金中铜与锌的质量比是2∶5,另一块合金中铜与锌的质量比是1∶3。

现将两块合金合成一块,求新合金中铜与锌的质量比。

 

3.甲、乙两个仓库共存粮1680吨,已知甲仓库存量的

等于乙仓库存粮的

,求甲、乙两个仓库各存粮多少吨?

 

4.甲种糖每千克3元,乙种糖每千克5.4元。

现在要求混合后的糖价为每千克4.8元,求甲、乙两种糖的质量比。

 

5.一架飞机所带的燃料最多可以用6小时。

飞机去时顺风,每小时飞行750千米;返回是逆风,每小时飞行600千米。

这架飞机最多飞出去多少千米就必须往回飞?

 

6.红队和蓝队的同学都积攒了一些零用钱,两队所积攒的钱数比是9∶5,在献爱心活动中,红队捐了48元,蓝队捐了20元,这时两队的钱数相等,红队原来积攒了多少钱?

 

7.一个等腰三角形底和底边上的高之比是8∶3,把它沿底边上的高剪开,拼成一个长方形后,长方形的面积是48平方厘米,那么长方形的周长是多少厘米?

 

冲刺提升

一、填空题

1.(成都某一中入学)一个三角形的三个内角的度数比是1∶2∶6,这个三角形是个()三角形。

2.(西安某交大附中入学)如图,线段AB上有一点C,且AC=6cm,AC∶CB=4∶3,则AB长为()cm。

 

3.(西安某工大附中分班)一张精密零件图纸的比例尺是5∶1。

在图纸上量得某个零件的长度是25毫米,已知这个零件的长与高之比5∶3,则该零件的实际高度是()。

4.(宝鸡高新某中入学)A地和B地之间相距1200千米,画在一副比例尺为1∶4000000的地图上,这两个城市之间的图上距离应该画( )厘米。

5.(西安某西工大附中分班)有一个机器零件长5毫米,画在设计图纸上长20厘米,这幅图的比例尺是()。

6.(西安某交大附中入学)在比例尺是1∶5000000的地图上,量得甲、乙两地之间的距离为24厘米,若一架飞机以每小时600千米的速度从甲地运往乙地,需要( )小时。

7.(西安某工大附中分班)两个圆的周长之比是3∶2,面积相差是10cm2,两个圆的面积之和是()cm2。

8.(西安某铁一中分班)一个圆锥与一个圆柱的底面积相等。

已知这个圆柱与这个圆锥的体积之比是1∶6,这个圆锥的高是54厘米,这个圆柱的高是( )厘米。

9.(南昌某中入学)一幅地图的比例尺是1∶6000000,图上A地到B地的距离为20厘米,一列火车从A地出发到B地需要10小时,则该火车的速度为( )千米/时。

10.(成都某中学入学)三个分数的和是3

,它们的分母相同,分子的比为2∶2∶4,则最大的分数为(  )。

11.(西安高新某中入学)如图,把一个长与宽的比为3∶2的大长方形分成如图所示的6个面积相等的小长方形,则长方形ABCD中,AB∶BC的比值等于( )。

 

二、选择题

1.(西安某铁一中分班)乙数比甲数少40%,甲数和乙数的比是( )。

A.2∶3   B.3∶2   C.3∶5   D.5∶3

2.(西安某铁一中分班)如果一个圆的半径是a厘米,则2∶a=a∶3,那么这个圆的面积是( )平方厘米。

A.πB.6π

C.6D、无法求出

3.(西安某交大附中入学)在比例尺是1∶4000000的地图上,量得A、B两港的距离是9cm,一艘货轮上午7时以每小时24千米的速度从A港开往B港,到达B港的时间是( )。

A.晚上10时B.早上10时

C.晚上9时D.早上9时

4.(陕西某师大附中入学)甲数的

是乙数的

,则甲数与乙数的最简整数比为( )。

A.6∶5B.8∶15C.5∶6D.15∶8

5.(西安某交大附中入学)圆柱与圆锥的底面积之比是4∶3,高的比是2∶5,它们的体积之比是( )。

A.5∶8B.8∶15C.15∶8D.8∶5

6.(西安某交大附中入学)已知5x=3y,那么x和y成( )比例;已知5∶x=y∶3,那么x和y成( )比例。

A.正,正B.正、反C.反、正D.反、反

7.(西安某铁一中分班)在比例尺是1∶5000的图纸上,画一个边长为4厘米的正方形草坪图,正方形草坪图的实际面积是( )平方米。

A.5000B.40000

C.100D.400000000

三、解决问题

1.(西安某交大附中入学)有三堆煤共重27吨,如果从第一、第二堆中各运出1.5吨到第三堆,这时第一、第二、第三堆煤的重量比是1∶3∶2,这三堆煤原来各多少吨?

 

2.(西安某工大附中分班)某高速公路收费站对过往车辆的收费标准如图所示。

一天,通过该收费站的大型车和中型车的辆数之比是5∶6,中型车与小型车的辆数之比是4∶11,小型车的通行费总数比大型车多270元。

(1)这天通过收费站的大型车、中型车及小型车各有多少辆?

(2)这天收费总数是多少元?

大型车:

30元/辆

中型车:

15元/辆

小型车:

10元/辆

 

3.(西安某铁一中入学)运一批货物,运走的与剩下的比为3∶7,如果再运走30吨,那么剩下的货物只占原有货物的

,这批货物原有多少吨?

 

4.(江西某师大附中入学)桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子,杯深均为15厘米,各装有10厘米高的水,且下表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积。

小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯,过程中水没有溢出,使得甲、乙、丙三杯水的高度比变为3∶4∶5。

若不计杯子厚度,则甲杯内水的高度变为多少厘米?

底面积(平方厘米)

甲杯

60

乙杯

80

丙杯

100

 

5.(西安曲江某中入学)甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比是6∶9∶5,如果从乙仓库拿出400袋平均分给甲、丙两仓库,则甲、乙两个仓库的数量相等。

这三个仓库共存面粉多少袋?

 

6.(西安曲江某中入学)两个城市相距380千米,一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出,经过4小时后相遇。

已知客车和火车的速度比是11∶8,求客车的速度。

16.比和比例问题

毕业升学训练

一、1.52.30km3.644.40325.钝角

二、1.C2.B3.C4.C5.A6.B

三、1.【解析】3.6×12000000=43200000(厘米)

43200000×

=10.8(厘米)

答:

甲、乙两城之间的图上距离是10.8厘米。

2.【解析】铜与锌的质量比=(2×1):

(5×3)=2:

15

答:

新合金中铜与锌的质量比2:

15

3.【解析】甲仓库存粮:

乙仓库存粮=4:

3

乙仓库的存粮:

1680×

=720(吨)

甲仓库存粮:

1680-720=960(吨)

答:

甲、乙两个仓库存粮960吨、720吨。

4.【解析】(5.4-4.8):

(4.8-3)=0.6:

1.8=1:

3

答:

甲、乙两种糖的质量比是1:

3

5.【解析】设去时用了x小时,返时用了(6-x)小时。

750×x=600×(6-x)

x≈2.67

2.67×750=2002.5(千米)

答:

最多飞出去2002.5千米就必须往回飞。

6.【解析】设两队所攒钱数每份x元。

9x-48=5x-20

x=7

9x=9×7=63(元)

答:

红队原来积攒了63元。

7.【解析】设长方形的长为4x,宽为3x

4x×3x=48

x=2

4×2=83×2=6(8+6)×2=28(厘米)

答:

长方形的周长是28厘米。

冲刺提升

一、1.钝角2.

3.3毫米4.305.40:

16.2

7.26cm28.39.12010.

11.9:

4

二、1.D2.B3.A4.A5.D6.B7.B8.B

3、【解析】27×

=4.5(吨)

27×

=13.5(吨)

27×

=9(吨)

第一堆:

4.5+1.5=6(吨)

第二堆:

13.5+1.5=15(吨)

第三堆:

9-3=6(吨)

答:

第一堆煤原来有6吨,第二堆煤原来有15吨,第三堆原来有6吨。

2.【解析】

(1)车辆数:

大:

中:

小=10:

12:

33

大型车和小型车通行费用的比:

(30×10):

(10×33)=10:

11

一份为:

270÷(11-10)=270(元)

270×10=2700(元)

270×11=2970(元)

2700÷30=90(辆)

2970÷10=297(辆)

(90÷10)×12=108(辆)

答:

大型车有90辆,中型车有108辆,小型车有297辆。

(2)15×108=1620(元)

2700+1620+2970=7290(元)

答:

这天收费总数是7290元。

3.【解析】30÷(

)=100(吨)

答:

这批货物原有10吨。

4.【解析】10×(60+80+100)=2400(立方厘米)

底面积之比:

60:

80:

100=3:

4:

5

甲乙丙水的体积比是=(3×3):

(4×4):

(5×5)=9:

16:

25

甲杯内水的高度:

2400×

÷60=7.2(厘米)

答:

甲杯内水的高度变为7.2厘米。

5.【解析】400+400÷2=600(袋)

600÷(

-1)×(1+

)=1200×

=4000(袋)

答:

三个仓库共存面粉4000袋。

6.【解析】设客车的速度是11x千米/小时,则货车的速度是8x千米/小时。

4×11x+4×8x=380

76x=380

x=5

11×5=55(千米/小时)

答:

客车的速度是55千米/小时。

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