小升初小学数学《比和比例问题专题课程》含答案.docx
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小升初小学数学《比和比例问题专题课程》含答案
16、比和比例问题
知识要点梳理
一、比例尺应用题
在比例尺应用题中，图上距离、实际距离和比例尺三者之间的关系式是：
图上距离∶实际距离＝比例尺，三个相关的量中，知道任意两个量，就可以根据关系式，求出另一个量。
在计算中，要注意各种量的单位要统一。
二、按比例分配的应用题
把一个数量按照一定的比分配成几部分。
按比例分配应用题是在比的意义、比与分数的关系的基础上解决的。
关键是要根据各部分之比，确定各部分量与总量之间的关系，即各部分占总量的几分之几，然后按照“求一个数的几分之几是多少”的问题。
三、正、反比例应用题
正比例应用题中的各种相关联的数量有正比例关系，关系式是：
＝ｋ（一定）；反比例应用题中的各种相关联的数量有反比例关系，关系式是：
ｘ·ｙ＝ｋ（一定）。
四、解答正、反比例应用题的一般方法与步骤
１．找出题目中两种相关联的量，并分析判断是成正比例，还是成反比例。
２．设未知数为ｘ，并注明单位名称。
３．根据比值（一定）或积（一定）建立比例式，并解比例。
４．检验，写答语。
考点精讲分析
典例精讲
考点1按比例分配的应用题
【例１】 希望小学要种一批树共390棵，按照三个班的人数来分配。
一班有42人，二班有45人，三班有43人，三个班各应植树多少棵？
【精析】 这是一道把390棵植树任务按三个班人数之比42：
45：
43进行分配的问题。
要分的总数是390，总份数是42+45+43=130。
其中一班占总数的
，二班占总数的
，三班占总数的
，要求各班应植树的棵数，实际上是分别求390的
，
，
各是多少。
【答案】 解法一：
按比例分配法
42+45+43=130
390×
＝126（棵）
390×
＝135（棵）
390×
＝129（棵）
解法二：
份数解法
390÷（42+45+43）＝3（棵）
3×42＝126（棵）
3×45＝135（棵）
3×43＝129（棵）
答：
一班应植树126棵，二班应植树135棵，三班应植树129棵。
考点2比例尺应用题
【例２】 下面是学校操场的示意图。
求这个操场的实际周长和面积。
【精析】 要求出长方形操场的实际周长和面积，必须先根据图上距离和比例尺求该操场的实际长和宽。
【答案】 解法一：
用比例做方程解。
设操场的实际长为ｘ厘米，宽为ｙ厘米。
根据题意列比例方程：
4.4∶ｘ＝1∶5000 3.2∶ｙ＝1∶5000
ｘ＝4.4×5000 ｙ＝3.2×5000
ｘ＝22000ｙ＝16000
22000厘米＝220米 16000厘米＝160米
操场的周长：
（220+160）×2＝760（米）
操场的面积：
220×160＝35200（平方米）
解法二：
根据图上距离、实际距离和比例尺三者的关系解。
实际长为：
4.4÷15000＝22000（厘米）＝220（米）
实际宽为：
3.2÷15000＝16000（厘米）＝160（米）
操场的周长：
（220+160）×2＝760（米）
操场的面积：
220×160＝35200（平方米）
解法三：
根据图距，实距之间的倍数关系来解。
（１）图上１厘米相当于实际距离多少米？
5000厘米＝50米
（２）实际长为几米？
50×4.4＝220（米）
（３）实际宽为几米？
50×3.2＝160（米）
（４）操场的周长：
（220+160）×２＝760（米）
（５）操场的面积：
220×160＝35200（平方米）
答：
操场的周长760米，面积为35200平方米。
【归纳总结】 这道题要注意单位的换算和比例尺的应用。
考点3正、反比例应用题
【例３】 同学们３小时制作了165件工艺品，照这样计算，制作220件工艺品需要多少小时？
【精析】 数量关系是“工艺品件数÷所需时间＝每小时制作的工艺品件数（一定）”。
商一定，所以工艺品的件数和所需要时间是成正比例的量。
可直接列方程求解。
【答案】 设需要ｘ小时。
165∶3＝220∶ｘ 165ｘ＝220×３ ｘ＝４
答：
需要４小时。
【归纳总结】 本题中“同学们每小时制作多少工艺品”是定量，“需要制作的工艺品件数”和“需要的时间”是两个相关联的量。
【例４】 收获机械厂生产一批脱粒机，计划每天生产32台，30天完成，实际每天生产40台，实际需要多少天就可以完成生产任务？
【精析】 数量关系是“每天生产的台数×天数＝生产的总数（一定）。
”积一定，所以每天生产的台数与所需的天数是成反比例的量。
可直接列方程求解。
【答案】 设实际需要ｘ天就可以完成生产任务。
40ｘ＝32×30 ｘ＝24
答：
实际需要24天就可以完成生产任务。
【归纳总结】 本题所要生产的“一批脱粒机”的台数是定量，每天生产与所需要的天数是两个相关联的量。
考点4比例应用题
【例５】 有大小两筐苹果，大筐苹果与小筐苹果单价比５∶４，其重量比是２∶３，把两筐苹果混合在一起成100千克的混合苹果，按单价为每千克4.4元出售，若总销售价不变，大小两筐苹果原价各是多少？
【精析】 知大、小苹果总价比，又知总价100×4.4按比例分配两次。
一次是大、小数量，一次是大、小总价。
此时易求出原单价。
【答案】 （５×２）∶（４×３）＝５∶６
100×
＝40（千克）
100－40＝60（千克）
100×4.4＝440（元）
440×
＝200（元）
200÷40＝5（元）
（440-200）÷60＝４（元）
答：
大筐苹果单价是５元，小筐苹果单价是４元。
【归纳总结】 已知单价比和重量比可求出复比。
名题精析
【例１】 （西安交大附中入学）一个圆柱和一个圆锥的体积比是３∶４，底面半径比是２∶３，圆柱与圆锥的高之比是（ ）∶（ ）。
【精析】 本题要求圆柱与圆锥高之比，反用公式体积除以底面积。
本题中没有相关的具体数据，可以将题目中的比当做具体数量来算。
这样圆柱的体积是３，底面半径是２，圆锥的体积是４，底面半径是３，再根据圆柱和圆锥的体积公式进行计算就可以。
【答案】 ［３÷（π×２×２）］∶［３×４÷（π×３×３）］＝９∶16
【归纳总结】 本题在列式计算时，圆周率取π先不要算，最后在约分，这样可以使计算简便，其实，这实质是活用转化。
圆周率不变，半径的平方比就是面积比。
【例２】 （西安高新某中入学）甲、乙、丙三批货物总价值2580万元，甲、乙、丙三批货物的质量比为３∶４∶６，单位质量的价格比为５∶４∶２，问这三批货物各值多少万元？
【精析】 甲货价∶乙货价∶丙货价（甲单价×甲物重）∶（乙单价×乙物重）∶（丙单价×丙物重），可求出三批货物的价值比为（５×３）∶（４×４）∶（２×６）＝15∶16∶12，按比例分配。
【答案】 三批货物的价值比为（５×３）∶（４×４）∶（２×６）＝15∶16∶12
2580×
＝900（万元）
2580×
＝960（万元）
2580×
＝720（万元）
答：
甲、乙、丙三批货物分别值900万元、960万元、720万元。
【归纳总结】 已知总数为货物总价值，应按货物价值的比例进行分酬。
货物价值＝单价×质量。
毕业升学训练
一、填空题
１．在一张精密的零件图纸上，量的零件长是40毫米，这个零件的实际长度是８毫米，这幅图纸的比例尺是（ ）。
２．在比例尺是１∶600000的地图上，量得两地的距离是５厘米，这两地的实际距离是（）。
３．一个长方形操场，长120米，宽80米，如果把它画在比例尺是１∶2000的图纸上，则长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米。
４．甲乙两数的和是72，甲数的
相当于乙数的
，甲数是（ ），乙数是（ ）。
５．一个三角形三个内角度数的比是７∶３∶２，这个三角形是（）三角形。
二、选择题
１．在地图上量得甲、乙两地长４．５厘米，甲、乙两地实际距离是７２０千米，地图上的比例尺是（ ）。
Ａ．１∶160000 Ｂ．１∶1600000
Ｃ．１∶16000000Ｄ．１∶160000000
２．在比例尺是１∶1000000的地图上，50千米的距离在地图上应画（）厘米。
Ａ．0.5 Ｂ．５ Ｃ．10 Ｄ．50
３．某小学男生人数与女生人数的比是６∶５，男生比女生多的人数占全校人数的（ ）。
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
４．有一种药水重20.2千克，药和水的重量比是１∶100，其中水重（ ）千克。
Ａ．0.2Ｂ．３Ｃ．20Ｄ．20.2
５．把一批图书按照３∶２∶５分配给甲、乙、丙三个班，已知甲班分得15本，这批图书一共有（ ）本。
Ａ．50Ｂ．60Ｃ．40Ｄ．70
６．某班学生为失学儿童捐款640元，女生捐的钱与男生捐的钱之比是５∶３，王明根据上面的条件，得到下面四个结论，其中错误的是（ ）。
Ａ．女生比男生多捐款
Ｂ．男生比女生少捐款
Ｃ．男生共捐款240元 Ｄ．男生比女生少捐款
三、解决问题
１．在比例尺是１∶12000000的铁路运行图上，量得甲、乙两城间的铁路线长是3.6ｃｍ，将它画在比例尺１∶4000000地图上，甲、乙两城之间的图上距离是多少？
２．两块一样重的合金，一块合金中铜与锌的质量比是２∶５，另一块合金中铜与锌的质量比是１∶３。
现将两块合金合成一块，求新合金中铜与锌的质量比。
３．甲、乙两个仓库共存粮1680吨，已知甲仓库存量的
等于乙仓库存粮的
，求甲、乙两个仓库各存粮多少吨？
４．甲种糖每千克３元，乙种糖每千克5.4元。
现在要求混合后的糖价为每千克4.8元，求甲、乙两种糖的质量比。
５．一架飞机所带的燃料最多可以用６小时。
飞机去时顺风，每小时飞行750千米；返回是逆风，每小时飞行600千米。
这架飞机最多飞出去多少千米就必须往回飞？
６．红队和蓝队的同学都积攒了一些零用钱，两队所积攒的钱数比是９∶５，在献爱心活动中，红队捐了48元，蓝队捐了20元，这时两队的钱数相等，红队原来积攒了多少钱？
７．一个等腰三角形底和底边上的高之比是８∶３，把它沿底边上的高剪开，拼成一个长方形后，长方形的面积是48平方厘米，那么长方形的周长是多少厘米？
冲刺提升
一、填空题
１．（成都某一中入学）一个三角形的三个内角的度数比是１∶２∶６，这个三角形是个（）三角形。
２．（西安某交大附中入学）如图，线段ＡＢ上有一点Ｃ，且ＡＣ＝６ｃｍ，ＡＣ∶ＣＢ＝４∶３，则ＡＢ长为（）ｃｍ。
３．（西安某工大附中分班）一张精密零件图纸的比例尺是５∶１。
在图纸上量得某个零件的长度是25毫米，已知这个零件的长与高之比５∶３，则该零件的实际高度是（）。
４．（宝鸡高新某中入学）Ａ地和Ｂ地之间相距1200千米，画在一副比例尺为１∶4000000的地图上，这两个城市之间的图上距离应该画（ ）厘米。
５．（西安某西工大附中分班）有一个机器零件长５毫米，画在设计图纸上长20厘米，这幅图的比例尺是（）。
６．（西安某交大附中入学）在比例尺是１∶5000000的地图上，量得甲、乙两地之间的距离为24厘米，若一架飞机以每小时600千米的速度从甲地运往乙地，需要（ ）小时。
７．（西安某工大附中分班）两个圆的周长之比是３∶２，面积相差是10ｃｍ2，两个圆的面积之和是（）ｃｍ2。
８．（西安某铁一中分班）一个圆锥与一个圆柱的底面积相等。
已知这个圆柱与这个圆锥的体积之比是１∶６，这个圆锥的高是54厘米，这个圆柱的高是（ ）厘米。
９．（南昌某中入学）一幅地图的比例尺是１∶6000000，图上Ａ地到Ｂ地的距离为20厘米，一列火车从Ａ地出发到Ｂ地需要10小时，则该火车的速度为（ ）千米／时。
10．（成都某中学入学）三个分数的和是3
，它们的分母相同，分子的比为２∶２∶４，则最大的分数为（ ）。
11．（西安高新某中入学）如图，把一个长与宽的比为３∶２的大长方形分成如图所示的６个面积相等的小长方形，则长方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∶ＢＣ的比值等于（ ）。
二、选择题
１．（西安某铁一中分班）乙数比甲数少40％，甲数和乙数的比是（ ）。
Ａ．２∶３ Ｂ．３∶２ Ｃ．３∶５ Ｄ．５∶３
２．（西安某铁一中分班）如果一个圆的半径是ａ厘米，则２∶ａ＝ａ∶３，那么这个圆的面积是（ ）平方厘米。
Ａ．πＢ．６π
Ｃ．６Ｄ、无法求出
３．（西安某交大附中入学）在比例尺是１∶4000000的地图上，量得Ａ、Ｂ两港的距离是９ｃｍ，一艘货轮上午７时以每小时24千米的速度从Ａ港开往Ｂ港，到达Ｂ港的时间是（ ）。
Ａ．晚上10时Ｂ．早上10时
Ｃ．晚上９时Ｄ．早上９时
４．（陕西某师大附中入学）甲数的
是乙数的
，则甲数与乙数的最简整数比为（ ）。
Ａ．６∶５Ｂ．８∶15Ｃ．５∶６Ｄ．15∶８
５．（西安某交大附中入学）圆柱与圆锥的底面积之比是４∶３，高的比是２∶５，它们的体积之比是（ ）。
Ａ．５∶８Ｂ．８∶15Ｃ．15∶８Ｄ．８∶５
６．（西安某交大附中入学）已知５ｘ＝３ｙ，那么ｘ和ｙ成（ ）比例；已知５∶ｘ＝ｙ∶３，那么ｘ和ｙ成（ ）比例。
Ａ．正，正Ｂ．正、反Ｃ．反、正Ｄ．反、反
７．（西安某铁一中分班）在比例尺是１∶5000的图纸上，画一个边长为４厘米的正方形草坪图，正方形草坪图的实际面积是（ ）平方米。
Ａ．5000Ｂ．40000
Ｃ．100Ｄ．400000000
三、解决问题
１．（西安某交大附中入学）有三堆煤共重27吨，如果从第一、第二堆中各运出1.5吨到第三堆，这时第一、第二、第三堆煤的重量比是１∶３∶２，这三堆煤原来各多少吨？
２．（西安某工大附中分班）某高速公路收费站对过往车辆的收费标准如图所示。
一天，通过该收费站的大型车和中型车的辆数之比是５∶６，中型车与小型车的辆数之比是４∶１１，小型车的通行费总数比大型车多270元。
（１）这天通过收费站的大型车、中型车及小型车各有多少辆？
（２）这天收费总数是多少元？
大型车：
30元/辆
中型车：
15元/辆
小型车：
10元/辆
３．（西安某铁一中入学）运一批货物，运走的与剩下的比为３∶７，如果再运走３０吨，那么剩下的货物只占原有货物的
，这批货物原有多少吨？
４．（江西某师大附中入学）桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15厘米，各装有10厘米高的水，且下表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积。
小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯，过程中水没有溢出，使得甲、乙、丙三杯水的高度比变为３∶４∶５。
若不计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为多少厘米？
底面积（平方厘米）
甲杯
60
乙杯
80
丙杯
100
５．（西安曲江某中入学）甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比是６∶９∶５，如果从乙仓库拿出400袋平均分给甲、丙两仓库，则甲、乙两个仓库的数量相等。
这三个仓库共存面粉多少袋？
６．（西安曲江某中入学）两个城市相距380千米，一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出，经过４小时后相遇。
已知客车和火车的速度比是11∶８，求客车的速度。
16.比和比例问题
毕业升学训练
一、1.52.30km3.644.40325.钝角
二、1.C2.B3.C4.C5.A6.B
三、1.【解析】3.6×12000000=43200000（厘米）
43200000×
=10.8（厘米）
答：
甲、乙两城之间的图上距离是10.8厘米。
2.【解析】铜与锌的质量比=（2×1）：
（5×3）=2:
15
答：
新合金中铜与锌的质量比2:
15
3.【解析】甲仓库存粮：
乙仓库存粮=4:
3
乙仓库的存粮：
1680×
=720（吨）
甲仓库存粮：
1680-720=960（吨）
答：
甲、乙两个仓库存粮960吨、720吨。
4.【解析】（5.4-4.8）：
（4.8-3）=0.6：
1.8=1:
3
答：
甲、乙两种糖的质量比是1:
3
5.【解析】设去时用了x小时，返时用了（6-x）小时。
750×x=600×（6-x）
x≈2.67
2.67×750=2002.5（千米）
答：
最多飞出去2002.5千米就必须往回飞。
6.【解析】设两队所攒钱数每份x元。
9x-48=5x-20
x=7
9x=9×7=63（元）
答：
红队原来积攒了63元。
7.【解析】设长方形的长为4x，宽为3x
4x×3x=48
x=2
4×2=83×2=6（8+6）×2=28（厘米）
答：
长方形的周长是28厘米。
冲刺提升
一、1.钝角2.
3.3毫米4.305.40:
16.2
7.26cm28.39.12010.
11.9:
4
二、1.D2.B3.A4.A5.D6.B7.B8.B
3、【解析】27×
=4.5（吨）
27×
=13.5（吨）
27×
=9（吨）
第一堆：
4.5+1.5=6（吨）
第二堆：
13.5+1.5=15（吨）
第三堆：
9-3=6（吨）
答：
第一堆煤原来有6吨，第二堆煤原来有15吨，第三堆原来有6吨。
2.【解析】
（1）车辆数：
大：
中：
小=10：
12：
33
大型车和小型车通行费用的比：
（30×10）：
（10×33）=10:
11
一份为：
270÷（11-10）=270（元）
270×10=2700（元）
270×11=2970（元）
2700÷30=90（辆）
2970÷10=297（辆）
（90÷10）×12=108（辆）
答：
大型车有90辆，中型车有108辆，小型车有297辆。
（2）15×108=1620（元）
2700+1620+2970=7290（元）
答：
这天收费总数是7290元。
3.【解析】30÷（
）=100（吨）
答：
这批货物原有10吨。
4.【解析】10×（60+80+100）=2400（立方厘米）
底面积之比：
60:
80:
100=3:
4:
5
甲乙丙水的体积比是=（3×3）：
（4×4）：
（5×5）=9:
16:
25
甲杯内水的高度：
2400×
÷60=7.2（厘米）
答：
甲杯内水的高度变为7.2厘米。
5.【解析】400+400÷2=600（袋）
600÷（
-1）×（1+
）=1200×
=4000（袋）
答：
三个仓库共存面粉4000袋。
6.【解析】设客车的速度是11x千米/小时，则货车的速度是8x千米/小时。
4×11x+4×8x=380
76x=380
x=5
11×5=55（千米/小时）
答：
客车的速度是55千米/小时。
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