面积等面积法.docx
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面积等面积法
面积法在中学数学解题中的巧用利用同一图形的面积相等，可以列方程计算线段的值，或证明线段间的数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证明线段间的数量关系。
利用等积变形，可以排除图形的干扰，实现“从形到数”的转化，从而从数量方面巧妙地解决问题。
用面积法解题就是根据题目给出的条件，利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法。
运用面积法,巧设未知元,可获“柳暗花明”的效果。
有关面积的公式
（1）矩形的面积公式：
S=长宽
（2）三角形的面积公式：
S1ah
2
（3）平行四边形面积公式:
S=底高
1
（4）梯形面积公式:
S=2（上底+下底）高
（5）对角线互相垂直的四边形：
S=对角线乘积的一半（如正方形、菱形等）有关面积的公理和定理
1、面积公理
（1）全等形的面积相等；
（2）一个图形的面积等它各部分面积之和；
2、相关定理
（1）等底等高的两个三角形面积相等；夹在平行线间的两个共底的三角形面积相等；
如下图S△ACD=S△BCD；
反之，如果S△ACDS△BCD，则可知直线AB平行于CD
（2）等底等高的平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；
（3）等底的三角形、平行四边形面积之比等于其高之比；等高的三角形、平行四边形面积之比等于其底之比；
（4）相似三角形的面积的比等于相似比的平方；
（5）在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等；
（6）等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。
一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的15%，
黄色三角形的面积是21平方厘米。
问：
长方形的面积是平方厘米。
等面积法的应用一：
利用平行线间两个共底的三角形面积相等解题。
2cm
如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=6cm，点E为AB边上的任意一点，四边形
EFGB也是矩形，且EF=2BE，则S△AFC9
如图，在四边形ABCD中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D为止。
在这个过程中，△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（）
等面积法的应用二：
利用同一图形的面积相等，可以列方程计算线段的值。
已知直角三角形两直角边长分别为5和12，斜边上的高为
AH是菱形ABCD的高，且AC=6，BD=8，则AD=
把矩形OABC放置在直角坐标系中,OA＝6,OC＝8，若将矩形折叠，使点B与O重合得到折痕EF,求OB、折痕EF的长。
（提示：
BFOE是菱形，利用菱形的面积等于1EF?
OB又等于EB*OA，列方程求出折痕EF的长.）
2
35
如图，由图中已知的小三角形的面积的数据，求三角形ABC的面积？
210平行四边形ABCD中AC与BD交于点O，AB=10，AD=8，O到AB的距离为2，则O到BC的距离为__
在平行四边形ABCD中，∠BAD=300，AB=5cm，AD=3cm，E为CD上的一个点，且BE=2cm，则点A到直线BE的距离为。
正方形ABCD内接于圆O，E是CD的中点，圆的半径为2，则点O到BE的距离为
如图，矩形ABCD中AB＝a，BC＝b，M是BC的中点，DEAM，E是垂足
求证：
DE2ab
4a2b2等面积法的应用三：
利用同一图形的面积相等，可以列方程证明线段间的数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证明。
三边长分别为6、8、10的三角形的三条高的比分别为
看图，写代数恒等式:
如图，边长为a的正△ABC内有一边长为b的内接正△DEF，则△AEF的内切圆半径为3（ab）
6
如图，已知P为等边三角形ABC内一点，过P作三垂直，三角形ABC的高为h.试说明PDPEPFh
已知P为边长是3的等边三角形ABC内一点，则P点到三边的距离之和为__求证：
等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高（运用面积法可以证明），等腰三角形底边延长线上任一点点到两腰距离的差等于腰上的高。
请应用上述结论完成下题：
已知直线y3x3和直线y3x3，在直线
4
3
y3x3上有一点P，且点P到直线y3x3的距离是2，求P点的坐标
4
已知:
如图，C是线段AB上的一点，△ACD、△BCE都是等边三角形，AE、BD相交于O。
求证：
∠AOC=∠BOC（提示：
过点C作CP⊥AE，CQ⊥BD）
已知：
如图，AD是△ABC的中线，CF⊥AD于F，BE⊥AD交AD的延长线于E
求证：
CF=BE
已知：
如图，在ABC中，ABAC，BD、CE分别为AC、AB边上的高求证：
BDCE
等面积法的应用四：
面积等分线
等积定理：
等底等高的两个三角形面积相等；两条平行直线之间的距离处处相等
一、平分三角形面积
（1）过一顶点作等积分割线：
找中线；
（2）过边上一点作等积分割线
二、平分平行四边形面积：
找过对称中心的直线；
三、平分梯形面积：
找两底中点所在直线；等积变形成三角形；等积变形成平行四边形
方案一：
连结梯形上、下底的中点E、F
1方案二：
分别量出梯形上、下底a、b的长，在下底BC上截取BE＝2（a＋b），连接AE。
如果用尺规作图，就是把上底平移到下底一旁作出两底之和，再取两底之和的中点方案三：
取一腰中点，等积变形成三角形或平行四边形
四、平分一般四边形：
变形成等积的三角形。
（1）过一顶点作等积分割线；
（2）过边上一点作等积分割线
五、平分五边形的面积
练习题1、如图，在△ABC中，BD：
DC=1：
2，E为AD中点，若△ABC面积为120，则阴影部分面积为
2、有一块方角形钢板如图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分。
3、如果花园形状是任意四边形ABCD，四边形内部有一条折线小路AEC刚好平分四边形面积，现在小区的物业公司想把折线小路修成直线小路，由于各种条件限制，小路要通过点A，并且只能修在AC和点E之间，同时还要平分四边形面积，
现有如图所示的方角铁皮，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部
分，请你帮助工人师傅设计三种不同的分割方案（要求：
①分割的两部分两图不能完全相同，否则视作一种；②须有必要的数据说明或标记）
请你画一条直线，把下图分成面积相等的两部分
如图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分，这样的直线可以画几条？
（）
无数条
l，同时把这两个图形分成
如图，张大爷家有一块四边形的菜地，在A处有一口井，张大爷欲想从A处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分．请你为张大爷设计一种引水渠的方案，画出图形并说明理由
如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A（1，0），对角线的交点P（2.5，1）
（1）写出B、C、D三点的坐标；
（2）若在线段AB上有一点E（3，0），过E点的直线将矩形ABCD的面积分为相等的两部分，求直线的解析式
7-1
7-3
7-3
7-2
图所示，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（12，5），直线y＝0.25x+b恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分．那么b=
等面积法在数学中应用广泛，除此等积变换模型之外，涉及面积的知识还有以下模型：
S△ABG:
S△AGCS△BGE:
S△EGCBE:
EC
S△BGA:
S△BGCS△AGF:
S△FGCAF:
FC
k22k1
y图象上，若点A的坐标为（-2，-2），则k的值为（
轴的垂线，垂足分别为C、D，连接AD，
x的图象相交于A、B两点，分别过A、B两点作yBC，则四边形ACBD的面积为___
如图，在6×5的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的
格点上，则sin∠BAC的值为___
如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的
3或6根据两部分面积相等列方程）
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