面积等面积法.docx

1、面积等面积法面积法在中学数学解题中的巧用 利用同一图形的面积相等， 可以列方程计算线段的值， 或证明线段间的数量 关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证 明线段间的数量关系。利用等积变形，可以排除图形的干扰，实现“从形到数” 的转化，从而从数量方面巧妙地解决问题。用面积法解题就是根据题目给出的条件， 利用等积变换原理和有关面积计算 的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法。 运用面积法 ,巧设未知元 ,可获 “柳暗花明”的效果。有关面积的公式（1）矩形的面积公式： S=长 宽 （2）三角形的面积公式： S 1ah2（3）平行四边形面积公式 : S= 底 高1（

2、4）梯形面积公式 : S= 2 （ 上底+下底） 高（5）对角线互相垂直的四边形： S=对角线乘积的一半（如正方形、菱形等） 有关面积的公理和定理1、面积公理（1）全等形的面积相等；（2）一个图形的面积等它各部分面积之和；2、相关定理（1）等底等高的两个三角形面积相等；夹在平行线间的两个共底的三角形 面积相等；如下图 SACD = SBCD ；反之，如果 SACD SBCD ，则可知直线 AB平行于 CD（2）等底等高的平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的 面积相等；（3）等底的三角形、平行四边形面积之比等于其高之比；等高的三角形、 平行四边形面积之比等于其底之比；（4）相似三角

3、形的面积的比等于相似比的平方；（5）在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面 积相等；（6）等底等高的平行四边形面积是三角形面积的 2 倍。一个长方形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的 15%，黄色三角形的面积是 21 平方厘米。问：长方形的面积是 平方厘米。等面积法的应用一：利用平行线间两个共底的三角形面积相等解题。2 cm如图，矩形 ABCD中，AB=3cm，AD=6cm，点 E为 AB边上的任意一点，四边形EFGB也是矩形，且 EF=2BE，则 S AFC 9如图，在四边形 ABCD中，动点 P 从点 A开始沿 AB CD的路径匀速前进 到 D为止

4、。在这个过程中， APD的面积 S 随时间 t 的变化关系用图象表示正确 的是（ ）等面积法的应用二：利用同一图形的面积相等，可以列方程计算线段的值。 已知直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，斜边上的高为 AH是菱形 ABCD的高，且 AC=6， BD=8，则 AD= 把矩形 OABC放置在直角坐标系中 , OA6,OC8 ，若将矩形折叠，使点 B与 O 重合得到折痕 EF,求 OB、折痕 EF的长。（提示： BFOE是菱形，利用菱形的面积 等于 1EF ? OB又等于 EB*OA，列方程求出折痕 EF的长.）235如图，由图中已知的小三角形的面积的数据，求三角形 ABC的面积？ 210

5、 平行四边形 ABCD中 AC与 BD交于点 O，AB=10， AD=8，O 到 AB的距离为 2，则 O 到 BC 的距离为 _在平行四边形 ABCD中，BAD=300，AB=5cm，AD=3cm，E为 CD上的一个点， 且 BE=2cm，则点 A到直线 BE的距离为 。正方形 ABCD内接于圆 O，E是 CD的中点，圆的半径为 2，则点 O到 BE的距 离为 如图，矩形 ABCD中 ABa，BCb，M是 BC的中点， DEA M ，E 是垂足求证： DE 2ab4a2 b2 等面积法的应用三：利用同一图形的面积相等，可以列方程证明线段间的 数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的

6、高或底约去，可以计 算或证明。三边长分别为 6、8、10 的三角形的三条高的比分别为 看图，写代数恒等式 : 如图，边长为 a的正ABC内有一边长为 b的内接正 DEF ，则 AEF的 内切圆半径为 3(a b)6如图，已知 P 为等边三角形 ABC内一点，过 P作三垂直，三角形 ABC的高为 h. 试说明 PD PE PF h已知 P为边长是 3的等边三角形 ABC内一点，则 P点到三边的距离之和为 _ 求证：等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高 (运用面积法 可以证明)，等腰三角形底边延长线上任一点点到两腰距离的差等于腰上的高。请应用上述结论完成下题：已知直线 y 3x 3和直

7、线 y 3 x 3，在直线43y 3x 3上有一点 P，且点 P到直线 y 3 x 3的距离是 2，求 P点的坐标4已知:如图，C是线段 AB上的一点， ACD、BCE都是等边三角形， AE、BD 相交于 O。求证： AOC=BOC（提示：过点 C作 CPAE，CQBD）已知：如图， AD是ABC的中线， CFAD于 F，BEAD交 AD的延长线于 E求证： CF=BE已知：如图，在 ABC中，AB AC ， BD、CE分别为 AC、AB边上的高 求证： BDC E等面积法的应用四：面积等分线等积定理： 等底等高的两个三角形面积相等；两条平行直线之间的距离处处相等一、平分三角形面积（ 1）过一

8、顶点作等积分割线：找中线；（ 2）过边上一点作等积分割线二、平分平行四边形面积：找过对称中心的直线；三、平分梯形面积：找两底中点所在直线；等积变形成三角形；等积变形成平 行四边形方案一：连结梯形上、下底的中点 E、F1 方案二：分别量出梯形上、下底 a、b的长，在下底 BC上截取 BE2（a b） ，连 接 AE。如果用尺规作图，就是把上底平移到下底一旁作出两底之和，再取两底 之和的中点 方案三：取一腰中点，等积变形成三角形或平行四边形四、平分一般四边形：变形成等积的三角形。（ 1）过一顶点作等积分割线；（ 2）过边上一点作等积分割线五、平分五边形的面积练习题 1、如图，在 ABC中， BD：

9、DC=1：2，E为 AD中点，若 ABC面积为 120， 则阴影部分面积为2、有一块方角形钢板如图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分。 3、如果花园形状是任意四边形 ABCD，四边形内部有一条折线小路 AEC刚好平分 四边形面积， 现在小区的物业公司想把折线小路修成直线小路， 由于各种条件限 制，小路要通过点 A，并且只能修在 AC和点 E 之间，同时还要平分四边形面积，现有如图所示的方角铁皮，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助工人师傅设计三种不同的分割方案 （ 要求：分割的两部分两图不 能完全相同，否则视作一种；须有必要的数据说明或标记 ）请你画一条直线，把下

10、图分成面积相等的两部分如图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分，这样的直线可以画几 条？（ ）无数条l ，同时把这两个图形分成如图，张大爷家有一块四边形的菜地， 在 A处有一口井， 张大爷欲想从 A 处引一 条笔直的水渠， 且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分 请你为 张大爷设计一种引水渠的方案，画出图形并说明理由如图所示，在直角坐标系中， 矩形 ABCD的顶点 A（1，0），对角线的交点 P（2.5 ， 1）（ 1）写出 B、C、D 三点的坐标；（2）若在线段 AB上有一点 E（3，0），过 E 点的直线将矩形 ABCD的面积分为 相等的两部分，求直线的解析式7-17-3

11、7-37-2图所示，在直角坐标系中，矩形 OABC的顶点 B 的坐标为（12，5），直线 y0.25x+b 恰好将矩形 OABC分成面积相等的两部分那么 b=等面积法在数学中应用广泛， 除此 等积变换模型 之外，涉及面积的知识还有以下 模型：SABG : S AGC SBGE : SEGC BE:ECSBGA : S BGC SAGF : SFGC AF:FCk 2 2k 1y 图象上，若点 A 的坐标为（ -2，-2），则 k 的值为（轴的垂线，垂足分别为 C、D，连接 AD ，x 的图象相交于 A、B 两点，分别过 A、B 两点作 y BC ，则四边形 ACBD 的面积为 _如图，在 65 的矩形网格中，每格小正方形的边长都是 1，若 ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则 sin BAC 的值为 _如图是由三个边长分别为 6 、9、x 的正方形所组成的图形， 若直线 AB 将它分成面积相等的3 或 6 根据两部分面积相等列方程）