勾股定理教案汇总.docx

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勾股定理教案汇总

第十四章“勾股定理”教案

教材分析：

本章主要内容是勾股定理及其逆定理。

首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。

在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。

　　本章教学时间约需8课时，具体安排如下：

　　18．1　勾股定理　　　4课时

　　18．2　勾股定理的逆定理　　3课时

　　数学活动

　　小　结　　　　1课时

（一）、教科书内容和课程学习目标

　　本章知识结构框图：

直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。

本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质。

　　勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。

它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。

　　目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。

据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。

这个事实可以说明勾股定理的重大意义，发现勾股定理，尤其在2000多年前，是非常了不起的成就。

　　在第一节中，教科书让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理。

　　勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍的是一种面积证法。

其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。

在教科书中，图18.1－3

（1）中的图形经过割补拼接后得到图18.1－3（3）中的图形。

由此就证明了勾股定理。

通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理。

　　由勾股定理可知，已知两条直角边的长a,b，就可以求出斜边c的长。

由勾股定理可得

或

，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长。

也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长。

教科书相应安排了三个探究栏目，让学生运用勾股定理解决问题。

　　在第二节中，教科书让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形是直角三角形。

从而猜想如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

这个猜想可以利用全等三角形证明，得到勾股定理的逆定理。

　　勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法。

教科书安排了两个例题，让学生学会运用这种方法。

这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它通过代数运算“算”出来。

实际上利用计算证明几何问题学生已经见过，计算在几何里也是很重要的。

从这个意义上讲，勾股定理的逆定理的学习，对开阔学生眼界，进一步体会数学中的各种方法有很大的意义。

几何中有许多互逆的命题，互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念。

学生已见过一些互逆命题（定理），例如：

“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”；“全等三角形的对应边相等”与“对应边相等的三角形是全等三角形”等，都是互逆命题。

勾股定理与勾股定理的逆定理也是互逆的命题，而且这两个命题的题设和结论都比较简单。

因此，教科书在前面已有感性认识的基础上，在第二节中，结合勾股定理的逆定理的

内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立。

为巩固这些内容，相应配备了一些练习与习题。

　　本章学习目标如下：

　　1．体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；

　　2．会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；

　　3．通过具体的例子，了解定理的含义，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。

（二）、本章特点分析

　　1、让学生体验勾股定理的探索和运用过程

　　勾股定理的发现从传说故事讲起，从故事中可以发现等腰直角三角形有这样的性质：

以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。

再看一些其他直角三角形，发现也有上述性质。

因而猜想所有直角三角形都有这个性质，即如果直角三角形的两直角边长分别为

，斜边长为

，那么

（教科书把这个猜想记作命题1，把下节“如果三角形的三边长

满足

，那么这个三角形是直角三角形”记作命题2，便于引出互逆命题）。

　　教科书让学生用勾股定理探究三个问题。

探究1是木板进门问题。

按照已知数据，木板横着、竖着都不能进门，只能斜着试试。

由此想到求长方形门框的对角线的长，而这个问题可以用勾股定理解决。

探究2是梯子滑动问题：

梯子顶端滑动一段距离，梯子的底端是否也滑动相同的距离。

这个问题可以转化为已知斜边与一条直角边的长求另一条直角边的长的问题，这也可以用勾股定理解决。

　　探究3是在数轴上画出表示

的点。

分以下四步引导学生：

（1）将在数轴上画出表示

的点的问题转化为画出长为

的线段的问题。

（2）由长为

的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边，联想到长为

的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边。

　　（3）通过尝试发现，长为

的线段是直角边为2,3的直角三角形的斜边。

（4）画出长为

的线段，从而在数轴上画出表示

的点。

　2、结合具体例子介绍抽象概念

　　在本章中，结合勾股定理、勾股定理的逆定理介绍了定理、逆命题、逆定理的内容。

　　在勾股定理一节中，先让学生通过观察得出命题1，然后通过面积变形证明命题1。

由此说明，经过证明被确认正确的命题叫做定理。

　　在勾股定理的逆定理一节中，从古埃及人画直角的方法谈起，然后让学生画一些三角形（已知三边，并且两边的平方和等于第三边的平方），可以发现画出的三角形是直角三角形。

因而猜想如果三角形的三边长

满足

，那么这个三角形是直角三角形，即教科书中的命题2。

把命题2的条件、结论与上节命题1的条件、结论作比较，引出逆命题的概念。

接着探究证明命题2的思路。

用三角形全等证明命题2后，顺势引出逆定理的概念。

　　命题1，命题2属于原命题成立，逆命题也成立的情况。

为了防止学生由此误以为原命题成立，逆命题一定成立，教科书特别举例说明有的原命题成立，逆命题不成立。

　3、注重介绍数学文化

　　我国古代的学者们对勾股定理的研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理，而且使用了许多巧妙的方法证明了它，尤其在勾股定理的应用方面，对其他国家的影响很大，这些都是我国人民对人类的重要贡献。

　　本章介绍了我国古代的有关研究成果。

在引言中介绍我国古算书《周髀算经》的记载“如果勾是三、股是四、那么弦是五”。

有很多方法可以证明勾股定理。

教科书为了弘扬我国古代数学成就，介绍了我国古人赵爽的证法。

首先介绍赵爽弦图，然后介绍赵爽利用弦图证明命题1的基本思路。

“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。

正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽。

还在习题中安排我国古代数学著作《九章算术》中的问题，展现我国古人在勾股定理应用研究方面的成果。

　　本章也介绍了国外的有关研究成果。

如勾股定理的发现是从与毕达哥拉斯有关传说故事引入的。

又如勾股定理的逆定理从古埃及人画直角的方法引入。

再如介绍古希腊哲学家柏拉图关于勾股数的结论。

　　（三）、几个值得关注的问题

　　1、让学生获得更多与勾股定理有关的背景知识

　　与勾股定理有关的背景知识丰富，除正文介绍的有关内容外，教科书在“阅读与思考勾股定理的证明”中介绍了另外几种证明勾股定理的方法，还安排了一个数学活动，让学生收集一些证明勾股定理的方法，并与同学交流。

　　在教学中，应注意展现与勾股定理有关的背景知识，使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾股定理的丰富文化内涵，激发学生的学习兴趣。

特别应通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感，同时教育学生发奋图强，努力学习，为将来担负起振兴中华的重任打下基础。

　　2、适当总结与定理、逆定理有关的内容

　　本章中给出了定理、逆定理的概念，可以在小结中回顾已学的一些结论。

例如，在第七章“三角形”中，“三角形的内角和等于180°”是由平行线的性质与平角的定义推出的，这个结论也称为三角形内角和定理。

又如，在第十三章“全等三角形”中，都是利用三角形全等证明的，前一个结论也称为角的平分线的性质定理，而后一个结论是角的平分线的性质定理的逆定理。

这样就可以从定理、逆定理的角度认识已学的一些结论，明确其中一些结论之间的关系。

互逆命题、互逆定理的概念，学生接受它们困难不大，对于那些不是以“如果……那么……”形式给出的命题，叙述它们的逆命题困难较大，是教学中的一个难点。

解决这个难点的方法是，适当复习命题的有关内容，学会把一个命题变为“如果……那么……”的形式。

注意这些概念是第一次学习，不要要求过高。

第十四章勾股定理课时教案

14．1勾股定理

（一）

一、教学目标

1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

二、重点、难点

1．重点：

勾股定理的内容及证明。

2．难点：

勾股定理的证明。

3．难点的突破方法：

几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。

在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志。

水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。

几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具。

本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。

其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。

三、例题的意图分析

例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。

进一步让学生确信勾股定理的正确性。

四、课堂引入

目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。

我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。

这个事实可以说明勾股定理的重大意义。

尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：

“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

五、例习题分析

例1（补充）已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

分析：

⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：

4S△+S小正=S大正

4×

ab＋（b－a）2=c2，化简可证。

⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。

⑷勾股定理的证明方法，达300余种。

这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

例2已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

分析：

左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=4×

ab＋c2

右边S=（a+b）2

左边和右边面积相等，即

4×

ab＋c2=（a+b）2

化简可证。

六、课堂练习

1．勾股定理的具体内容是：

。

2．如图，直角△ABC的主要性质是：

∠C=90°，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：

；

⑵若D为斜边中点，则斜边中线；

⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：

；

⑷三边之间的关系：

。

3．△ABC的三边a、b、c，若满足b2=a2＋c2，则=90°；若满足b2＞c2＋a2，则∠B是角；若满足b2＜c2＋a2，则∠B是角。

4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。

七、课后练习

1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则

⑴c=。

（已知a、b，求c）

⑵a=。

（已知b、c，求a）

⑶b=。

（已知a、c，求b）

2．如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。

3、4、5

32+42=52

5、12、13

52+122=132

7、24、25

72+242=252

9、40、41

92+402=412

……

……

19，b、c

192+b2=c2

3．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=

cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直。

4．已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上。

求证：

⑴AD2－AB2=BD·CD

⑵若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。

八、参考答案

课堂练习

1．略；

2．⑴∠A+∠B=90°；⑵CD=

AB；⑶AC=

AB；⑷AC2+BC2=AB2。

3．∠B，钝角，锐角；

4．提示：

因为S梯形ABCD=S△ABE+S△BCE+S△EDA，又因为S梯形ACDG=

（a+b）2，

S△BCE=S△EDA=

ab，S△ABE=

c2,

（a+b）2=2×

ab＋

c2。

课后练习

1．⑴c=

；⑵a=

；⑶b=

2．

；则b=

，c=

；当a=19时，b=180，c=181。

3．5秒或10秒。

4．提示：

过A作AE⊥BC于E。

14．1勾股定理

（二）

一、教学目标

1．会用勾股定理进行简单的计算。

2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。

二、重点、难点

1．重点：

勾股定理的简单计算。

2．难点：

勾股定理的灵活运用。

3．难点的突破方法：

⑴数形结合，让学生每做一道题都画图形，并写出应用公式的过程或公式的推倒过程，在做题过程中熟记公式，灵活运用。

⑵分类讨论，让学生画好图后标图，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力

⑶作辅助线，勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此要注意直角三角形的条件，要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力。

⑷优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度。

三、例题的意图分析

例1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。

让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。

并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。

例2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。

让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。

四、课堂引入

复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。

学习勾股定理重在应用。

五、例习题分析

例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90°

⑴已知a=b=5,求c。

⑵已知a=1,c=2,求b。

⑶已知c=17,b=8,求a。

⑷已知a：

b=1：

2,c=5,求a。

⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。

分析：

刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。

⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。

⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。

⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。

通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。

后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。

例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

分析：

已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。

让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例3（补充）已知：

如图，等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高。

⑵求S△ABC。

分析：

勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要

创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做

法。

欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中，

但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=

AB=3cm，则此题可解。

六、课堂练习

1．填空题

⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=。

⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=。

⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：

b=3：

4，则a=，b=。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。

2．已知：

如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=

，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。

3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

七、课后练习

1．填空题

在Rt△ABC，∠C=90°，

⑴如果a=7，c=25，则b=。

⑵如果∠A=30°，a=4，则b=。

⑶如果∠A=45°，a=3，则c=。

⑷如果c=10，a-b=2，则b=。

⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c=。

⑹如果b=8，a：

c=3：

5，则c=。

2．已知：

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，

AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。

八、参考答案

课堂练习

1．17；

；6，8；6，8，10；4或

；

，

；

2．8；3．48。

课后练习

1．24；4

；3

；6；12；10；2．

14．1勾股定理（三）

一、教学目标

1．会用勾股定理解决简单的实际问题。

2．树立数形结合的思想。

二、重点、难点

1．重点：

勾股定理的应用。

2．难点：

实际问题向数学问题的转化。

3．难点的突破方法：

数形结合，从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性。

三、例题的意图分析

例1（教材P74页探究1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。

例2（教材P75页探究2）使学生进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形三边的关系：

保证一边不变，其它两边的变化。

四、课堂引入

勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。

勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？

试一试。

五、例习题分析

例1（教材P74页探究1）

分析：

⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。

⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？

图中标字母的线段哪条最长？

⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？

⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。

⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。

例2（教材P75页探究2）

分析：

⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。

⑵在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD。

则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC。

⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD。

六、课堂练习

1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。

2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4

米，则这两株树之间的垂直距离是

米，水平距离是米。

2题图3题图4题图

3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。

4．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？

七、课后练习

1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，

∠B=60°，则江面的宽度为。

2．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米。

3．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ=厘米。

4．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。

（精确到1米）

八、参考答案：

课堂练习：

1．

；2．6，

；

3．18米；4．11600；

课后练习

1．

米；2．

；

3．20；4．83米，48米，32米；

14．1勾股定理（四）

一、教学目标

1．会用勾股定理解决较综合的问题。

2．树立数形结合的思想。

二、重点、难点

1．重点：

勾股定理的综合应用。

2．难点：

勾股定理的综合应用。

3．难点的突破方法：

⑴数形结合，正确标图，将条件反应到图形中，充分利用图形的功能和性质。

⑵分类讨论，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力。

⑶作辅助线，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力。

⑷优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度。

三、例题的意图分析

例1（补充）“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质，通过讨论、