六年级下册奥数试题行程问题二 全国通用含答案精品.docx
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六年级下册奥数试题行程问题二全国通用含答案精品
第12讲 行程问题
（二）
在四年级的教材中，我们已经对于相遇问题、追及问题、水流问题和车长及桥长等问题，进行了较为细致的研究。
在这一讲中，我们将进一步就环行路上的行程问题以及多次相遇等问题进行研究。
行程问题在小学的应用题中是变化最多的类型之一。
对于行程问题的研究是小学综合运用知识解决问题的一个重要的内容。
因为行程问题的变化可谓是丰富多彩，不仅在小学，而且在中学的数学和物理的学习中，也是极其重要的内容。
一、环行路上的行程问题
环行路上的行程问题，有着它独特的方面，由于环行的道路是封闭的，因此，环行路上的运动，计算行程时，通常与环行道路的周长有关。
例1 在400米的环行跑道上，A、B两点相距100米，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步。
甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，他们每人跑100米，都要停10秒钟。
求甲追上乙需要多少秒？
分析：
这道题初看时，由于他们每人跑100米，都要停10秒钟。
似乎不太好解决。
但如果将二人看成不停的跑，就很容易算出甲追上乙的时间，这时再考虑在这期间所停留的时间，问题的解决就比较简单了。
解答：
如果甲、乙不停的跑步，甲追上乙共需：
100÷（5－4）=100（秒），甲在100秒中共跑：
5×100=500（米），而甲在跑100米、200米、300米、400米时共停留了4次，到了500米处恰好追上乙。
不必计算停留的时间。
所以，甲追上乙所需的时间是：
100＋4×10=140（秒）
说明：
甲跑到500米处时，正好是乙跑完400米，并且休息完10秒时。
当甲跑到时，乙恰好要出发，他们两个在这一瞬间正好相遇。
例2 如图，A、B是圆直径的两个端点，小华在点A，小明在点B，他们同时出发，反向而行。
他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D点第二次相遇，D点离B点80米。
求这个圆的周长。
分析：
第一次相遇，两人合起走了半圈，第二次相遇，两人合起走了一圈，因此，从开始出发到第二次相遇，两人合起走了一圈半。
也就是说，第二次相遇时两人合起走的路程是第一次相遇时合起所走路程的3倍，因此，不难看出AD的距离是AC距离的3倍，所以再求圆周的长度就比较简单了。
解答：
因为AC=100米，AD的长度是AC长度的3倍。
AD=AC×3=100×3=300（米）
半个圆的周长：
300－80=220（米）
整个圆的周长：
220×2=440（米）
说明：
这道题还可以从另一个角度进行考虑。
由于C到D两人共走了一个圆周，由A、B到C两人共走了半个圆周，所以，CD的长度是AC长度的2倍。
因此，同样可以判断出AD的距离是AC距离的3倍。
例3 如图，沿边长为90米的正方形，按逆时针的方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米，当乙第一次追上甲时是在正方形的哪一条边上？
分析：
这是一道环行追及问题，这类问题可以先看成“直线”的追及问题，求出乙追上甲所用的时间，再回到环行路上的追及问题，根据乙这段时间所走的路程，推算出应在正方形的哪一条边上。
解答：
先求追上甲时乙所用的时间：
90×3÷（72－65）=
（分）
再求这段时间乙所走的路程：
72×
=
（米）
由于，正方形每边长90米，因此：
=（4×7＋2）×90＋
这样不难看出，乙走的比7圈零两条边还多
米，所以，当乙第一次追上甲时，甲和乙应在正方形的AD边上。
说明：
如何将直线上的追及问题，与环行道路的特点相结合，是这道题得以解决的关键。
二、有趣的多次相遇
多次相遇的问题，在行程问题中，是一个比较复杂的问题，解决这类问题，要求同学们很熟悉时间、速度和路程这三类数量间的关系，很好的掌握它们的变化规律。
例4 下午3点15分，通讯员从营地骑自行车出发，8分钟后，由于要更改命令，连长骑摩托车去追赶他，在离营地4千米的地方追上了他，然后，连长立即返回营地，回到营地后，由于情况再次发生了变化，连长立即回头再次追赶通讯员，再次追上他时，离营地恰好是8千米，问：
这时是几点几分？
分析：
从图中可以看出，连长第一次追上通讯员，立即折返到第二次追上通讯员，共走了4＋8=12（千米），因此，骑摩托车的速度是骑自行车速度的12÷4=3（倍）。
由此可知，通讯员每走“1”份的路程，连长将走“3”份的路程，这样确定通讯员的速度，以及确定第二次追上的时间，就比较容易了。
解答：
由条件可知，骑摩托车的速度是骑自行车速度的12÷4=3（倍）因此，从3点23分到连长追上通讯员，连长走了4千米，通讯员走了4×
千米。
因此，通讯员前8分钟走了4×
=
（千米）。
从而可求出通讯员的速度是
÷8=
（千米）。
因此，进一步可求出通讯员走8千米共用8÷
=24（分）。
所以，第二次追上的时间是15＋24=39（分），即3点39分。
说明：
这道题目的解法比较多，但不论怎样变化，在相同时间内，速度越快，所走的路程越多，是不变的。
这道题目的解答，恰好就是利用了这一变化规律。
同时同学们不妨尝试着利用方程的方法解答这道题目，也是比较简单的。
例5 甲、乙二人同时从A、B两地，相向而行，相遇后继续行进，到达目的地后，立即折返，就这样不停的往返于两地之间，并且不断的相遇，第8次和第10次相遇的地点相距54米，已知，甲的速度是乙的速度的
，那么，A、B两地的距离是多少米？
分析：
这道题目初看时，似乎缺少解决问题的条件，但是通过甲的速度是乙的速度的
，不难看出，当甲走3份路程的时候，乙就走了4份的路程，因此（如图）不妨将全程看成7份，第一次相遇时，甲走了3份，乙走了4份。
在这之后，甲和乙要想再次相遇，必须共同走完两个全程，需用与第一次相遇时间相同的2倍的相遇时间。
在这期间，甲走了3份路程的2倍，即6份的路程。
我们不妨将路上的点（包括A、B两点）从左至右设定为A、C、D、E、F、G、H、B点，而第一次相遇在E点，第二次相遇在G点，以次类推，就很容易确定出第八次和第十次的相遇点的具体位置，从而使问题得以解决。
解答：
因为，甲的速度是乙的速度的
，因此（如图）不妨将全程看成7份，第一次相遇时，甲走了3份，乙走了4份。
将路上的点（包括A、B两点）从左至右设定为A、C、D、E、F、G、H、B点，由分析可推出第一次相遇点在E；第二次相遇点在G；第三次相遇点在C；第四次相遇点在B；第五次相遇点在C；第六次相遇点在G；第七次相遇点在E；第八次相遇点在E；第九次相遇点在G；第10次相遇点在C。
由于第八次相遇点在E；第十次相遇点在C，E和C相距的是2份的路程，而全程是7份的路程，所以，A、B两地的距离54÷2×7=189（米）
说明：
这道题目充分的利用了时间一定，速度与路程的关系，值得注意的是除了第一次相遇二人是共同走完了一个全程，从第二次相遇开始都是共同走完了两个全程，这一特点是这道题解题的关键。
三、合理安排巧解行程
例6 A、B、C三人要从甲地到乙地，步行速度都是每小时5千米，骑车速度都是每小时20千米。
现在只有一辆自行车，他们想了一个办法：
先让A骑车走，同时B、C步行；A骑了一段后，再换步行而把车放在途中，留给B接着骑；B骑一段后，再换步行而把车放在途中，留给C接着骑到乙地。
这样，A、B、C三人恰好同时到达乙地。
已知甲地到乙地全长12千米，那么，从甲地到乙地共用了多少小时？
分析：
这道题人多车少，需要通过合理的安排搭配，才能使问题很好的解决。
根据题目的要求，关键是要解决每人骑车和步行的路程。
由于无论是骑车还是步行，三人的速度都相同，并且是同时到达，因此每人步行的路程一定相等，同样每人骑车的路程也相等。
我们将全程看成1份，由于三人骑车和步行共行了3份的路程，其中三人骑车共行了1份的路程，所以，三人步行共行了2份的路程。
那么每人行了全程的
，由此，问题的解决就比较简单了。
解答：
将全程看成1份，由于三人骑车和步行共行了3份的路程，其中三人骑车共行了1份的路程，所以，三人步行共行了2份的路程。
那么每人行了全程的
，这样步行的路程为：
12×
=8（千米）；骑车的路程为：
12－8=4（千米）。
所以，所用的时间为：
4÷20＋8÷5=
（时）。
说明：
把握骑车与步行的关系，是这道题研究的关键。
由于合理地安排了骑车与步行的路程，使问题很巧妙的得到了解决。
阅读材料
三 余
三国时期，有人就一段文章该怎样理解去请教学者董遇，董遇不肯直接解答，他说“读书百遍，其意自现”。
意思是要认真的多读几遍，书中的道理自然就明白了。
那人说：
“我没有那么多时间啊”。
董遇说：
“用‘三余’时间好了”。
那人又问：
“什么是‘三余’时间”。
董遇答：
“冬天是年之余，夜晚是日之余，阴雨是时之余。
”
可见，要获得丰富的知识，就应该挤时间刻苦攻读。
练习题
1．甲、乙二人相距2000米，两人同时从两地相向而行。
甲分钟走60米，乙每分钟走40米，甲带着一只狗，同甲一起出发，狗每分钟走100米，碰到乙时狗立即调头往甲的方向走，碰到甲时又立即调头向乙的方向走，如此继续往返，当甲和乙相遇时，这只狗一共走了多少米？
分析：
由于甲、乙二人在做相向运动的同时，狗在不停的运动，因此，甲、乙二人的相遇时间就是狗运动的时间，由此，可求出狗所走的路程。
解答：
甲、乙二人的相遇时间是：
2000÷（40＋60）=20（分）
所以，狗所走的路程是：
100×20=2000（米）
2．甲用45秒可绕一环行跑道跑一圈，乙与甲同时从同地反向跑，每隔15秒，与甲相遇一次，乙跑完一圈用多少秒？
分析：
由于乙与甲同时从同地反向跑，甲用45秒可绕环行跑道跑一圈，15秒相遇时，二人共同跑完一圈。
乙15秒所跑的路程就相当于甲45－15=30（秒）所跑的路程，因此，二人的速度关系就比较容易确定了。
解答：
由于同一段路程所用时间越少，速度越快，因此，乙的速度是甲的速度的：
（45－15）÷15=2（倍），由此，可以判断出乙跑一圈所用的时间是甲的一半。
所以，乙跑完一圈用：
45÷2=22.5（秒）。
说明：
合理的转化问题，抓住甲、乙运动中的关系，是这道题目的“突破口”。
3．甲村、乙村相距6千米，小华和小明分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后马上返回）。
在出发后40分钟两人第一次相遇，小明到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇。
小华和小明的速度各是多少？
分析：
因为，两人第一次相遇时，共同走了1个全程，到第二次相遇时共同走了3个全程，由于第一次相遇用40分钟，因此不难求出两人第二次相遇所需的时间，从而进一步可以求出小华所走的路程，再解决两人的速度就不困难了。
解答：
因为第一次相遇用40分钟，因此，从出发到第二次相遇所需的时间是：
40×3÷60=2（小时），又因为在离甲村2千米的地方两人第二次相遇，这时小华共走了：
6×2－2=10（千米），小明共走了6＋2=8（千米），因此，小华的速度是：
10÷2=5（千米/时）；小明的速度是；8÷2=4（千米/时）。
说明：
从第一次相遇到第二次相遇二人共走了2个全程，用了2个相遇时间是这道题解题的关键。
4．一个圆的周长为1.44米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发，沿圆周相向爬行。
1分钟后它们都调头而行，再过3分钟，它们又调头爬行，依次按照1、3、5、7、…（连续奇数）分钟数调头爬行。
这两只蚂蚁每分钟分别爬5.5厘米和3.5厘米，那么经过多长的时间它们初次相遇？
分析：
因为圆的半周长是：
1.44÷2=0.72（米）=72（厘米）。
如果不考虑往返的情况，两只蚂蚁所需的相遇时间是：
72÷（5.5＋3.5）=8（分）。
然后再考虑往返的情况，如下表：
经过时间（分）
1
3
5
7
9
11
13
15
16
向上半圆爬行的时间
1
2
2
2
1
向下半圆爬行的时间
2
2
2
2
从表中不难看出，第15分钟后，两只蚂蚁向下半圆爬行刚好都需要8分钟。
由此，即可求出初次相遇所需的时间。
解答：
因为圆的半周长是：
1.44÷2=0.72（米）=72（厘米），如果不考虑往返的情况，两只蚂蚁所需的相遇时间是：
72÷（5.5＋3.5）=8（分）。
根据表格分析，它们初次相遇的时间是：
1+3+5+7+9+11+13+15=64（分）。
说明：
利用列表法进行分析，也是解决行程问题常用的手段。
5．绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行。
小王以每小时4千米的速度每走1小时后休息5分钟，小张以每小时6千米的速度每走50分钟后休息10分钟。
两人出发后经过多长时间第一次相遇？
分析：
根据题意，可以发现，每1小时5分，小王走4千米，休息5分钟，每1小时小张走6×
=5（千米），休息10分钟，而湖一周的长度是24千米，很容易估算出两人相遇的时间应该在2个多小时。
这样在两轮休息后不用休息两人就可以相遇。
因此只要求出两轮休息后到相遇所用的时间，就可以使问题得以解决。
解答：
到第二轮休息时，也就是2小时10分，小王共走了4×2=8（千米），而小张走了5×2+6×
=11（千米）。
这时两人还相距24－（8＋11）=5（千米）。
由于从此时到相遇已经不需要休息，因此，共同走完这5千米两人共需的时间是：
5÷（4＋6）=0.5（时）=30（分）。
所以，他们第一次相遇共需2小时10分＋30分=2小时40分。
说明：
限定所用时间在2个多小时是这道题研究的“突破口”。
并且，在解题过程中要注意小张1小时中只走了50分钟，因此1小时中他只走了5千米，而不是6千米。
6．一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一地点，同时出发同向爬行，甲以每秒4厘米的速度不停的爬行，乙爬行了15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲相遇，问爬虫乙原的速度是多少？
分析：
根据题意，甲共行了70－30=40（厘米），所需的时间是40÷4=10（秒）。
在10秒内乙按原速爬了15厘米，按2倍的速度爬行了15+30=45（厘米），因此，不难求出乙原有的速度。
解答：
因为，甲共行了70－30=40（厘米），所需的时间是40÷4=10（秒）。
10秒内乙爬行：
15+30=45（厘米），假设10秒乙全是按原速爬行，可爬行：
15+45÷2=37.5（厘米），所以，乙原有的速度是：
37.5÷10=3.75（厘米/秒）。
7．甲、乙两人从相距200米的两个地方同时相向而行，不停留的往返于两地之间，如果甲每分钟行65米，乙每分钟行70米，当两人第一次回到各自的出发地点时，甲行了多少米？
分析：
根据甲每分钟行65米，乙每分钟行70米，可以判断出两人速度间的关系，同时因为两人运动所用的时间相同，因此两人所行路程的关系与速度的关系完全相同。
由此即可推出甲所行的路程。
解答：
因为，65÷70=
，可以看出当甲行了13份的路程时，乙就行了14份的路程，因此当甲走了13个全程时，乙就走了14个全程。
当甲走了13×2=26（个）全程时，乙同时走了14×2=28（个）全程。
两人才各自回到出发的地点，所以，甲走了200×26=5200（米）。
说明：
值得注意的是，当甲走了13个全程，乙走了14个全程时，甲并没有回到出发的地点，要想回到出发地，全程的个数必须是偶数个。
8．甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行，6小时后相遇在C点，如果甲车的速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还是从A、B两地同时出发相向而行，则相遇地点D距点C12千米，如果乙车的速度不变，甲车每小时多行5千米，则相遇地点E距点C16千米。
甲车原每小时行多少千米？
分析：
题中“如果甲车的速度不变，乙车每小时多行5千米”与“如果乙车的速度不变，甲车每小时多行5千米”，说明两次改速后两车的速度和相同，因此，改变速度后，从出发到相遇所需要的时间相同。
解答：
如图，两次改变速度后，相遇地点相距16＋12=28（千米），所以从出发到两车相遇的时间为：
28÷5=5.6（时）根据甲车的速度不变，6小时行到C点，而5.6小时只能行到点D，相差12千米，所以甲车原速为：
12÷（6－5.6）=30（千米）。
说明：
在改速后“速度和”相同，抓住这一特点，就能迅速简便的达到解题的目的，这就是我们在分析问题中常提到的“变中抓不变”的思想。
9．甲、乙两个班的学生同时从学校出发去距学校24千米的某公园。
学生的步行速度是每小时5千米。
学校有一辆汽车，它的速度是每小时35千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。
问：
两个班的学生在最短的时间内同时到达公园用多少时间？
（上下车的时间忽略不计）
分析：
要想使两个班的同学在最短时间同时到达，就应该尽可能的利用汽车，就是汽车先载一个班的学生，而另一个班先步行，在汽车行驶到途中某地时将先乘车的同学放下步行，汽车再返回在途中接上先步行的班级，并与后步行的班级同时到达公园。
根据前面的设计，观察线段图，可以看出，由于汽车的速度是步行速度的7倍，也就是，如果从学校到A为1份的话，汽车从学校到B然后再回到A就是7份，那么，AB的长度就相当于（7－1）÷2=3（份）。
由于B到公园与学校到A的长度应该是相同的，因此全程为1＋3＋1=5（份）。
因此，每班的步行距离是24÷5=4.8（千米），乘车距离为24－4.8=19.2（千米）。
所以，所用的时间为：
4.8÷5＋19.2÷35=
（时）。
说明：
合理的安排，并利用线段图进行观察，确定汽车与步行之间的关系是这道题目研究的关键。
10．有150名同学要到相距90千米的某地参加活动，但只有一辆可乘50人的汽车接送学生，汽车的时速是70千米，若同学们的步行速度是每小时10千米，请设计一种乘车和步行的方案，使150名同学全部在最短的时间内同时到达。
（上下车的时间忽略不计）
分析：
这道题目的特点与上一道题基本相同，可将150人平均分成3组，每组50人，再利用汽车往返接送。
这道题也可以利用方程的方法进行解答。
解答：
设每组步行2千米，则乘车（90－2）千米，汽车送第一组走完（90－2）千米后，再返回接第二组，与第二组在距出发地千米处相遇。
由此，汽车走了90－2＋90－2－=180－5（千米）。
因为时间=路程÷速度，因此，（180－5）÷70=÷10，=15。
则步行30千米，乘车60千米。
所以，所用时间为：
60÷70＋30÷10=
（时）。
说明：
这道题目，解决乘车与步行的速度是解决问题的关键。
因为可能出现两段步行的现象，因此设步行路程为2比较合适。
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