高一数学函数的定义域与值域的常用方法.docx
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高一数学函数的定义域与值域的常用方法
高一数学求函数的定义域与值域的常用法
:
求函数解析式
1、换元法：
例1.已知
题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。
心）
X
t
解：
设
2
f（x）XX
X,则
1,x1
。
x2X1x2,试求f（X）。
1
t1,代入条件式可得:
f（t）t2t1，t≠1。
故得:
说明：
要注意转换后变量围的变化，必须确保等价变形。
2、构造程组法：
对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出
另一个程，联立求解。
f（X）
例2.
（1）已知
（2）已知f（X）2f（
2f
（1）3x24x5X
X）
3x2
解：
（1）由条件式，以
•1
消去X,则得:
X代
2_
X
X,则得
8
3x
4x5
f
（1）
X
X2
4x
3
（2）
由条件式，以一
X代X则得：
X24x-
3。
f（
去
说明：
定义域由解析式确定，不需要另外给出。
例4.求下列函数的解析式：
（1）
（2）
（3）
试求f（X）；
f（x）.
3厶
X
试求
2f（x）
5
3
O
X）2f（X）
3x24x
5
与条件式联立,
与条件式联立，消
则得:
本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系,
故所求函数的
已知
已知
已知
f（X）是二次函数，且f（0）f（∙一X1）心）
X
3f（x）
2,f（X1）f（X）X
1,求f（X）；
2X,求f（x），f（x1），f（x2）
11亠
2,求
XX
f（X）；
（4）
【题意分析】
（1）设法求出a,b,c即可。
若能将X2-X适当变形，用.X
X1
设为一个整体，不妨设为
X
X，
已知
2f（x）X3,求f（x）。
由已知f（X）是二次函数，所以可设f（X）
ax2bxc（a0），
（2）
（3）
1的式子表示就容易解决了。
然后用t表示X，代入原表达式求解。
（4）就行了。
【解题过程】
X同时使得f（X）有意义,
X代替X建立关于f（X），f（
X）的两个程
⑴设f（X）
ax2bx
c（a
由f（X1）
f（X）X
1,得恒等式
2aX
0）,由f（0）2,得C2，
1
abX1,得a,b
2
故所求函数的解析式为
f（x）1X2
2
J—fi9*I9
（2）f（.x1）X2..X（..X）22、X11（'..X1）21,
又、、XO,.X1
1,
f（x）
X21（x
1）。
X1
（3）设t,则X-
1,t
1,
X
t
1
…，X1
2X
11
1
122
则f（t）f（）
2
12
1（t1）（t1）tt1
X
X
X
X
X
所以f（x）X2X
1（x
1）。
（4）因为3f（X）2f（X）X
3①
用X代替X得3f（
X）
2f（x）
X3
②
解①②式得f（X）X3。
5
【题后思考】求函数解析式常见的题型有：
（1）解析式类型已知的，如本例⑴，一般用待定系数法。
对于二次函数问题要注意一
22
般式yaxbxc（a0）,顶点式ya（xh）k和标根式ya（xXI）（XX2）
的选择；
（2）已知f[g（x）]求f（X）的问题，法一是配凑法，法二是换元法，如本例
（2）（3）；
（3）函数程问题，需建立关于f（X）的程组，如本例（4）。
若函数程中同时出现f（x），
11
f（―）,则一般将式中的X用一代替，构造另一程。
XX
特别注意：
求函数的解析式时均应格考虑函数的定义域
二：
求函数定义域
1、由函数解析式求函数定义域：
由于解析式中不同的位置决定了变量不同的围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。
y、X2
例3.求
X—3
X4
的定义域。
X2
解：
由题意知：
X4
{x∣x>—2且x≠±4}°
例2.求下列函数的定义域:
0
从而解得:
x>—2且x≠±4.故所求定义域为:
（1）f（x）
（2）f（X）
【题意分析】求函数的定义域就是求自变量的取值围，应考虑使函数解析式有意义,这里需考虑分母不为零，开偶次被开数为非负数。
【解题过程】
（1）要使函数有意义，则
:
X30,即:
，在数轴上标出，即
3,或3x3,或3X5。
故函数的定义域为（
3）（3,3）（3,5].当然也可
表示为XX3,或3X3,或3X
X1
（2）要使函数有意义，则
1X
0X1
0,即X1,所以X1,从而函数的定义域为
X|X1。
【题后思考】求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题，如果一个函数有几
个限制条件时，那么定义域为解各限制条件所得的X的围的交集，利用数轴可便于解决问
题。
求函数的定义域时不应化简解析式；定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接。
2、求分段函数的定义域：
对各个区间求并集。
X
1
2
3
4
5
6
Y
22
3
14
35
—6
17
例4.已知函数由下表给出，求其定义域
解：
｛1，2，3，4，5，6｝。
3、求与复合函数有关的定义域：
由外函数从而解得X∈∣1,又由g（X）定义域可以解得先求出复合函数的表达式后再行求解。
f（U）的定义域可以确定函数g（X）的围,X∈∣2则∣1∩∣2即为该复合函数的定义域。
也可
例8已知f（x）.,X3,g（X）
■X2
4x
由f（x）X3
解：
又由于X—4x+3>0联立*、**两式可解得:
933
X1或3
4
g（x）
二,求yf（g（χ））的定义域-
3
X
3
4x3
故所求定义域为X
4
.933
F
4
例9.若函数f（2χ）的定义域是［—解：
由f（2χ）的定义域是［—1,
93、3
4
1],求f（log2χ）的定义域。
1,
1］可知：
2—1≤2χ≤2,所以f（x）的定义域为［2—1,
/√2,4
X4,故定义域为。
2］,故l0g2χ∈［2—1,2］,解得J2
三：
求函数的值域与最值
求函数的值域和最值的法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的法。
1、分离变量法
2x3
例11.
y
求函数
2x
X1的值域。
2X11
2—
X1,因为
解：
≠2｝。
说明：
这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量现在分母中，再行求解。
2、配法
2例12.求函数y=2χ+4x的值域。
22
解：
y=2χ+4x=2（X+2χ+1）—2=2（χ+1）
X，
0
故y≠2,所以值域为｛y∣y
可通过等价变形，让变量只出
2≥—2,故值域为｛y∣y≥—2｝。
说明：
这是一个二次函数，可通过配的法来求得函数的值域。
类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此法求解，如
3、判别式法
2
y=af（x）+bf（x）+CO
例13.求函数
x：
2χ3的值域。
4x5x6
X22x3
y
解:
2
4x5x6可变形为：
（4y—1）X+（5y—2）x+6y—3=0,由Δ≥0可解
y
得：
266、.3266、.3
71,71
O
说明：
对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。
要注意两点：
第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值
域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于X的一元二次程
后，该程的解集就是原函数的定义域，故Δ≥0。
4、单调性法
2
例14.求函数y3，X€［4,5］的值域。
X
2
y—3
解：
由于函数X为增函数，故当
513
J
所以函数的值域为25。
5、换元法
例15.求函数y2X4斤匸的值域。
X=4时,
5
ymin=；当X=5时，
2
ymax=
13
解：
令t'-1X0,贝yy=—2t2+4t+2=—（t—1）
2
+4,t≥0,
故所求值域为
{y∣y
≤4}o
例3.求下列函数的值域：
（1）y2x1,x1,2,3,4,5
（2）y
X
1
1X2
2X
2x
3,（5X
2）
（3）y2（4）y
1X
【题意分析】求函数的值域问题首先必须明确两点
:
一是值域的概念，
即对于定义域
A
上的函数y
f（x）,其值域就是指集合C
yyf（x）,XA；二是函数的定义域,
对应关系是确定函数值的依据。
【解题过程】
（1）将X1,2,3,4,5分别代入y2x1中计算，得出函数的值域为3,5,7,9,11。
（2）XX0,X11,即所求函数的值域为［1,）或用换元法，令
X（t0）,yt1（t0）的值域为［1,）。
（3）<法一>
1X2yΓV
1X2
函数的定义域为RO
1
X21,012x2
2,y
（1,1]o
＜法二
1
2X
2
“2
一>y
2y
yx
1X
1
X
2
（1y）x1y
X2J0,得到y（1,1]。
1y
故所求函数的值域为（—1,1］o
（X1）24,5X2,4X1
2
（4）＜构造法＞yX2x3
l0g2（IX）,X0,则（2009）的值为（
f（X1）f（x2）,x0
X24x
2.设函数f（X）
X6,x
习题讲解:
A.-1
B.0
C.1
D.2
答案:
C.
【解析】
:
由已知得f（
1）log2
21,f（0）0,f
（1）f（0）f（
1）1,
f
（2）
f
（1）
f（0）
1,f（3）
f
（2）f
（1）1
（1）0,
f（4）
f（3）
f
（2）
0
（1）
1,f（5）f（4）f（3）1,f（6）
f（5）W）0
1.定义在R上的函数f（x）满足f（x）=
所以函数f（x）的值以6为期重复性出现•,所以f（2009）=f（5）=1,故选C.【命题立意】：
本题考查归纳推理以及函数的期性和对数的运算
6,X0则不等式f（x）f
（1）的解集是（）
0
A（3,1）（3,）
B（3,1）（2,）
答案:
1,1）（3,）
【解析】由已知,
f（x）2f
（1）
D（,3）（1,3）
函数先增后减再增
3令f（X）3,解得X1,x3。
X63,X3故f（X）f
（1）3,解得3X1或X3
O
【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。
以及一元二次不等式的求解。
3.已知函数
f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数
X都有
Xf（X
1）
（1x）f（x）,则f（-）的值是（
2
A.
B.
C.1
5
D.-
2
答案:
【解析】
若X≠0,则有f（x1）
Jf（X）
X
2，则有:
f
（2）
1）
11
_2
1
2
f（
I）
f（I）
1
f
（2）（
f（X）是偶函数，
1
fG
1
fQ0
f（5）f（3
22
1）
1_2^^3^
2
3
f（I）
5f（-）5f（11）
3232
1
211
Z]f$）5f（-）0
4•若f（X）
1
2X1
a是奇函数，则
【解析】
解法1f（x）
2X
2X
a,f（
X）f（X）
2X
Xa
12
a）
2a
1
12X
2X
12X
5•已知函数f（X）
3X,X
X）X
11若
f（X）
2,则
答案log32【解析】
本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求X的值•属于基础知识、
基本运算的考查•
X1
由3X2
X∣0g32,
2无解，故应填log32.
11
6•记f（x）l0g3（X1）的反函数为yf（x）,则程f1（x）8的解X.
V11
答案2【解法1】由yf（x）l0g3（x1）,得X3,即f（X）3x1,于是由
3x18,解得X2
【解法2】因为f1（x）8,所以Xf（8）log3（81）2
三、知识要点
1、奇偶函数定义：
（1）偶函数：
一般地，对于函数f（x）的定义域的任意一个X,都有f（—x）=f（x）,那么f（X）就叫做偶函数•
（2）奇函数：
一般地，对于函数f（X）的定义域的任意一个X,都有f（—x）=—f（x）,那么f（X）就叫做奇函数.
注意：
①函数是奇函数或偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
2奇偶函数的定义域的特征：
关于原点对称。
3由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域的任意一个X,则—X也一定是定义域的一个自变量（即定义域关于原点对称）
4奇函数若在X0时有定义，则f（O）0
2、根据奇偶性可将函数分为四类：
奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
3、具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.
说明：
一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。
偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图
象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。
4、判断函数奇偶性的格式步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f（-X）与f（X）的关系；
作出相应结论：
若f（—X）=f（X）或f（—X）-f（X）=O,贝Uf（X）是偶函数；
若f（—X）=—f（X）或f（—X）+f（X）=O,则f（X）是奇函数.
5、判断函数的奇偶性也可以用下列性质
在公共定义域，
（1）两个奇函数的和为奇函数；两个奇函数的积为偶函数.
（2）两个偶函数的和为偶函数；两个偶函数的积为偶函数.
（3）—个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.
1
（4）函数f（X）与fX同奇或同偶.
【典型例题】
-、判断函数的奇偶性
例1、判断函数的奇偶性时易犯的错误
（1）因忽视定义域的特征致错
XX
1
f
X
1、①
X
1:
②f
（X）=X+
（X+1）
XX1
fX
X
错解:
①
X1
∙f
（X）是奇函数
②•••
f（—X）=
=（—X）2+
（—X+1）
0=χ2+（x+1）0=f（X）
∙∙∙f（X）是偶函数.
分析：
一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称.
正解：
①定义域（―汽1）∪（1,+∞）关于原点不对称，f（X）是非奇非偶函数.
②定义域（—8,—1）∪（—1,+∞）,∙f（X）为非奇非偶函数.
（2）因缺乏变形意识或法致错.
11
fX-X_
2、判断512的奇偶性.
X
错解：
•••5—1≠0,∙x≠0.
0,+∞）,关于原点对称.
f（x）的定义域为（一a,0）∪
5x12
15x
f（—X）≠f（X）,f（—X）≠—f（X）,f（X）是非奇非偶函数.
分析：
因演变过程不到位导致错误，所以要注意进行恒等变形.
115x1
正解:
对称.
O）∪（O,+∞）关于原点
512251,定义域为（—
fX
5X
1
1
5χ
5χ
1
25χ
1
21
5χ
25χ
1
•f（x）是奇函数.
（3）因忽视f（x）=O致错.
3、判断函数
44χ2的奇偶性.
X240
错解：
由
∙∙∙f（X）
X2
0得X=±2,
的定义域为｛—2,2｝,关于原点对称.
fXX244X2,X24,4X2fX
∙f（X）为偶函数
正解：
f（X）的定义域为｛—2,2｝,此时，f（X）=0,∙∙∙f（X）既是奇函数又是偶函数.
点评：
函数f（x）=O（x≠O）是f（x）既是奇函数又是偶函数的一个必要条件，任一个关于原点对称的区间都可以作为解析式为f（X）=0（x≠0）函数的定义域.
（4）因分段函数意义不清致错
二、函数的奇偶性与单调性的关系
例3、已知：
函数yf（X）在R上是奇函数，而且在（0,）上是增函数,
证明：
yf（X）在（，O）上也是增函数。
证明：
设X1
x20,则
x1x2O..
f（X）在（0,）上是增函数。
...f（X1）
f（X2）又
f（X）在R上是奇
函数。
...f（X1）
fX）,即
f（xjf（X2）
所以，y
f（X）在（，O）上也是增函数。
规律：
偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致.
例4、
f（X）为R上的奇函数，当
X
0时，
f（x）
2x2
3x1,当x<0时，求f（X）
解:
设X0,由于
f（X）是奇
函数,
故f（X）
f（X）
又
X0,由已知有
f（X）
2（
X）2
3（X）
2
12x23x
1
2x2
3x
1X
O
f（x）
O
X
O
从而解析式为
2x2
3x
1X
O
例5、
（1）已知f（X）
的定义域为｛x|
IX0}
且2f（X）
1
f（—）X
X
试判断f（X）的奇
偶性。
（2）函数f（X）的定义域为R,且对于一切实数X，y都有f（xy）f（X）f（y）,试判断f（X）的奇偶性。
f（X）的定义域为｛x∣x
°},且
2f（x）
11
一2f（—）f（X）
令①式中X为X得：
X
解①②得f（X）
2x21
3x
•••定义域为｛x|x0｝关于原点对称
f（
又•••
f（x）
2x21
3xf（x）
X）21
2（
—3（X）
2x21
x）
3x是奇函数。
（2）τ定义域关于原点对称，
y0得f（0）
X得f（0）f（X）f（X），
f（x）
又•••令X
再令y
•f（X）
f（0）f（0）则f（0）
所以，原函数为奇函数
（一）函数单调性的定义
1•增函数与减函数
般地，设函数y=f（x）的定义域为I,
X1,X2，当X1VX2时，都有f（X1）V
X1,X2,当X1f
如果对于定义域I的某个区间D的任意两个自变量f（X2）,那么就说f（X）在区间D上是增函数。
如果对于定义域I的某个区间D的任意两个自变量（X2）,那么就说f（X）在区间D上是减函数。
注意:
1函数的单调性是在定义域的某个区间上的性质，是函数的局部性质;
2必须是对于区间D的任意两个自变量X1,X2；当X1（X1）>f（X2）。
2.函数的单调性的定义
y=f（X）在这一
如果函数y=f（X）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数区间具有（格的）单调性，区间D叫做y=f（X）的单调区间。
3.判断函数单调性的法和步骤
利用定义证明函数f（X）在给定的区间D上的单调性的一般步骤:
1任取X1,X2∈D,且X12作差f（X1）—f（X2）；
3变形（通常是因式分解和配）；
4定号（即判断差f（X1）—f（X2）的正负）；
5下结论（即指出函数f（X）在给定的区间D上的单调性）。
（二）函数最大（小）值的定义
1.最大值与最小值
一般地，设函数y=f（X）的定义域为I,如果存在实数M满足:
（1）对于任意的x∈I,都有f（x）≤M；
（2）存在xo∈I,使得f（xo）=M那么，称M是函数y=f（X）的最大值。
一般地，设函数y=f（X）的定义域为I,如果存在实数M满足:
（1）对于任意的x∈I,都有f（x）≥M；
（2）存在xo∈I,使得f（xo）=M那么，称M是函数y=f（x）的最小值。
1函数的最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在X0∈I,使得f（X0）=M;
2函数的最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I,都有f
（x）≤M（f（x）≥M）。
2.利用函数的单调性判断函数的最大（小）值的法
1利用二次函数的性质（配法）求函数的最大（小）值
2利用图象（数形结合法）求函数的最大（小）值
3利用函数的单调性判断函数的最大（小）值
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