高一数学函数的定义域与值域的常用方法.docx

1、高一数学函数的定义域与值域的常用方法高一数学求函数的定义域与值域的常用法:求函数解析式1、换元法：例1.已知题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。 心）Xt解：设2f（x） X XX ,则1,x 1。x2 X 1 x2 ,试求 f （X）。1t 1 ,代入条件式可得:f（t） t2 t 1，t 1。故得:说明：要注意转换后变量围的变化，必须确保等价变形。2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个程，联立求解。f (X)例2. ( 1)已知(2)已知 f (X) 2f(2f(1) 3x2 4x 5 XX）3x2解：（1）由条件

2、式，以 1消去 X ,则得:X代2_XX,则得83x4x 5f(1)XX24x3(2)由条件式，以一X代X则得：X2 4x -3。f(去说明：定义域由解析式确定，不需要另外给出。 例4.求下列函数的解析式：（1）(2)(3),试求f (X)；f(x).3厶X试求2f(x)53OX) 2f (X)3x2 4x5,与条件式联立,与条件式联立，消,则得:本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数的已知已知已知f （X）是二次函数，且f （0） f（一 X 1） 心）X3f（x）2, f (X 1) f(X) X1 ,求 f(X)；2 X ,求 f (x)， f (x 1)，

3、f (x2)1 1 亠2 ,求X Xf (X)；（4）【题意分析】（1） 设法求出a,b,c即可。若能将X 2 - X适当变形，用.XX 1设 为一个整体，不妨设为XX，已知2 f ( x) X 3 ,求 f (x)。由已知f (X)是二次函数，所以可设 f(X)ax2 bx c(a 0)，(2)(3)1的式子表示就容易解决了。然后用t表示X，代入原表达式求解。（4） 就行了。【解题过程】X同时使得f （X）有意义,X代替X建立关于f （X），f （X）的两个程设f (X)ax2 bxc(a由 f (X 1)f(X) X1 ,得恒等式2aX0),由 f(0) 2,得 C 2，1a b X 1

4、,得 a ,b2故所求函数的解析式为f(x) 1X22J f i 9 * I 9(2) f(.x 1) X 2.X (.X)2 2、X 1 1 (.X 1)2 1 ,又、X O, . X 11,f(x)X2 1(x1)。X 1(3)设 t,则X -1 ,t1 ,Xt1 ，X 12 X1 1112 2则 f(t) f( )21 21 (t 1) (t 1) t t 1XXXXX所以 f (x) X2 X1(x1)。(4)因为 3f (X) 2f( X) X3用 X代替X得3f (X)2f(x)X 3解式得f(X) X 3。5【题后思考】 求函数解析式常见的题型有：(1)解析式类型已知的，如本例，

5、一般用待定系数法。对于二次函数问题要注意一2 2般式 y ax bx c(a 0),顶点式 y a(x h) k 和标根式 y a(x XI)(X X2)的选择；(2) 已知fg(x)求f (X)的问题，法一是配凑法，法二是换元法，如本例( 2)( 3)；(3) 函数程问题，需建立关于f (X)的程组，如本例(4)。若函数程中同时出现 f(x)，1 1f (),则一般将式中的 X用一代替，构造另一程。X X特别注意：求函数的解析式时均应格考虑函数的定义域二：求函数定义域1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的围，所以解 题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解

6、不等式组确定自变量的取值集合。y 、X 2例3.求X3X 4的定义域。X 2解：由题意知：X 4xx 2 且 x4例2.求下列函数的定义域:0,从而解得:x 2且x4.故所求定义域为:(1) f(x)(2) f (X)【题意分析】 求函数的定义域就是求自变量的取值围，应考虑使函数解析式有意义, 这里需考虑分母不为零，开偶次被开数为非负数。【解题过程】(1)要使函数有意义，则:X3 0,即 :，在数轴上标出，即3,或 3x3,或3 X 5。故函数的定义域为(3) ( 3,3) (3,5.当然也可表示为X X 3,或3 X 3,或3 XX 1(2)要使函数有意义，则1 X0 X 10,即X 1,所

7、以X 1 ,从而函数的定义域为X | X 1 。【题后思考】 求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题，如果一个函数有几个限制条件时，那么定义域为解各限制条件所得的 X的围的交集，利用数轴可便于解决问题。求函数的定义域时不应化简解析式；定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用 区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“ ”连接。2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。X123456Y2231435617例4.已知函数由下表给出，求其定义域解：1，2，3，4，5，6。3、求与复合函数有关的定义域：由外函数 从而解得X 1,又由g( X)定义域可以解得 先求出复合函数的表达式后再行

8、求解。f( U)的定义域可以确定函数 g ( X)的围, X 2则1 2即为该复合函数的定义域。也可例8 已知 f (x) ., X 3, g(X) X24x由f(x) X 3解：又由于X 4x+ 30 联立*、*两式可解得:9 3 3X 1或34g(x)二,求y f(g()的定义域-3X34x 3故所求定义域为X4.9 3 3F4例9.若函数f (2)的定义域是 解：由f (2)的定义域是1,9 3、341 ,求f (log2)的定义域。1,1 可知：21 2 2 ,所以f (x)的定义域为21 ,/ 2,4X 4 ,故定义域为 。2,故 l0g2 21, 2,解得 J2三：求函数的值域与最

9、值求函数的值域和最值的法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的法；随着高中学 习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的法。1、分离变量法2x 3例11.y求函数2xX 1的值域。2 X 1 12 X 1 ,因为解： 2。说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量 现在分母中，再行求解。2、 配法2 例12.求函数y = 2 + 4x的值域。2 2解：y= 2 + 4x= 2 (X + 2+ 1) 2 = 2 (+ 1)X，0,故y 2 ,所以值域为yy可通过等价变形，让变量只出2 2,故值域为yy 2。说明：这是一个二次函数，可通过配的法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为 二次函

10、数的函数的值域也可采用此法求解，如3、 判别式法2y= af (x)+ bf (x)+ CO例13.求函数x： 2 3的值域。4x 5x 6X2 2x 3y解:24x 5x 6 可变形为：(4y 1) X +( 5y 2) x+ 6y 3 = 0 ,由 0 可解y得：26 6、. 3 26 6、. 371 , 71O说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注 意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另 外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函

11、数变形为一个关于 X的一元二次程后，该程的解集就是原函数的定义域，故 0。4、单调性法2例14.求函数y 3，X 4, 5的值域。X2y 3解：由于函数 X 为增函数，故当5 13J所以函数的值域为 2 5 。5、换元法例15.求函数y 2X 4斤匸的值域。X= 4 时,5ymin = ；当 X= 5 时，2ymax =13解：令 t -1 X 0 ,贝y y= 2t2 + 4t + 2 = ( t 1)2+ 4, t 0,故所求值域为yy 4 o例3.求下列函数的值域：(1) y 2x 1,x 1,2,3,4,5 (2) yX11 X22 X2x3,( 5 X2)(3) y 2 (4) y1

12、 X【题意分析】求函数的值域问题首先必须明确两点:一是值域的概念，即对于定义域A上的函数yf(x),其值域就是指集合 Cy y f (x ), X A ；二是函数的定义域,对应关系是确定函数值的依据。【解题过程】(1)将X 1,2,3,4,5分别代入y 2x 1中计算，得出函数的值域为3,5,7,9,11。(2 ) XX 0, X 1 1 ,即所求函数的值域为1,)或用换元法，令X(t 0), y t 1(t 0)的值域为1,)。(3) 1 X2 y V1 X2函数的定义域为RO1X2 1, 0 1 2x22, y(1,1 o法二12 X2“ 2一 y2 yyx1 X1X2(1 y)x 1 y

13、X2 J 0,得到 y ( 1,1。1 y故所求函数的值域为(1 , 1o(X 1)2 4, 5 X 2, 4 X 12(4) 构造法 y X 2x 3l0g2(I X),X 0 ,则(2009)的值为(f (X 1) f (x 2),x 0X2 4x2.设函数f(X)X 6,x习题讲解:A.-1B. 0C.1D. 2答案:C.【解析】:由已知得f (1) log 22 1, f (0) 0, f(1) f(0) f (1) 1 ,f(2)f(1)f(0)1,f(3)f (2) f (1) 1 ( 1) 0,f(4)f(3)f(2)0 ( 1)1,f(5) f (4) f(3) 1,f(6)f

14、(5) W) 01.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=所以函数f(x)的值以6为期重复性出现,所以f (2009)= f( 5)=1,故选C. 【命题立意】：本题考查归纳推理以及函数的期性和对数的运算6,X 0则不等式f(x) f(1)的解集是()0A ( 3,1) (3,)B ( 3,1) (2,)答案:1,1) (3,)【解析】由已知,f(x) 2 f(1)D ( , 3) (1,3)函数先增后减再增3 令 f (X) 3,解得 X 1,x 3。X 6 3, X 3 故 f (X) f (1) 3 ,解得 3 X 1 或X 3O【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元

15、二次不等式的求解。3.已知函数f(x)是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数X都有Xf(X1)(1 x)f(x),则 f(-)的值是(2A.B.C. 15D.-2答案:【解析】若X 0,则有f(x 1)Jf(X)X2，则有:f(2)1)1 1_212f(I)f(I)1f(2)(f (X)是偶函数，1fG1fQ 0f(5) f(32 21)1 _2 323f(I)5 f(-) 5 f(1 1)3 2 3 212 1 1Zf$) 5f(-) 04若 f(X)12X 1a是奇函数，则【解析】解法1 f ( x)2X2Xa, f (X) f(X)2XX a1 2a)2a11 2X2X1

16、2X5已知函数f (X)3X, XX) X11若f (X)2 ,则答案log3 2【解析】本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 X的值属于基础知识、基本运算的考查X 1由3X 2X 0g3 2,2无解，故应填log 3 2.1 16记f(x) l0g3(X 1)的反函数为y f (x),则程f 1(x) 8的解X .V 1 1答案2 【解法1】由y f(x) l0g3(x 1),得X 3 ,即f (X) 3x 1 ,于是由3x 1 8 ,解得 X 2【解法2】因为f 1(x) 8,所以X f (8) log3(8 1) 2三、知识要点1、 奇偶函数定义：(1) 偶函数：一般地，对于函数 f

17、 (x)的定义域的任意一个 X,都有f ( x) =f (x), 那么f ( X)就叫做偶函数(2) 奇函数：一般地，对于函数f(X)的定义域的任意一个 X,都有f( x) = f (x), 那么f (X)就叫做奇函数.注意：函数是奇函数或偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；2奇偶函数的定义域的特征：关于原点对称。3由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域的任意 一个X,则X也一定是定义域的一个自变量(即定义域关于原点对称)4奇函数若在X 0时有定义，则f (O) 02、 根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶 函

18、数。3、 具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于 y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.说明：一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点 对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于 y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。4、 判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定f (- X)与f (X)的关系；作出相应结论：若 f ( X) = f (X)或 f ( X)- f (X) = O ,贝U f (X)是偶函数；若 f ( X) = f (X) 或 f ( X)+ f (X) = O

19、,则 f (X)是奇函数.5、 判断函数的奇偶性也可以用下列性质在公共定义域，(1)两个奇函数的和为奇函数；两个奇函数的积为偶函数.(2)两个偶函数的和为偶函数；两个偶函数的积为偶函数.(3)个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.1(4)函数f (X)与fX同奇或同偶.【典型例题】-、判断函数的奇偶性例1、判断函数的奇偶性时易犯的错误(1)因忽视定义域的特征致错X X1fX1、X1 :f(X)=X +(X+1 )X X 1f XX错解:X 1, f(X)是奇函数f ( X)=(X) 2+(X+1 )0=2+ ( x+1 ) 0=f (X) f (X)是偶函数.分析：一个函数是奇函数或偶函数的必要条

20、件是定义域关于原点对称.正解：定义域(汽 1 )( 1, + )关于原点不对称，f (X)是非奇非偶函数.定义域( 8, 1 )( 1 , + ) , f (X)为非奇非偶函数.(2)因缺乏变形意识或法致错.1 1f X -X _2、判断 5 1 2的奇偶性.X错解： 5 1 0, x 0.0, + ),关于原点对称.f (x)的定义域为(一a, 0)5x 1 21 5xf ( X)f (X), f ( X) f (X), f (X)是非奇非偶函数.分析：因演变过程不到位导致错误，所以要注意进行恒等变形.1 1 5x 1正解: 对称.O) ( O, + )关于原点5 1 2 2 5 1 ,定义

21、域为(f X5 X1155125 12152 51 f (x)是奇函数.(3)因忽视f (x) =O致错.3、判断函数4 4 2的奇偶性.X2 4 0错解：由 f ( X)X20 得 X= 2,的定义域为 2, 2,关于原点对称.f X X 2 4 4 X 2 , X2 4 , 4 X2 f X f (X)为偶函数正解：f (X)的定义域为 2, 2,此时，f (X) =0, f (X)既是奇函数又是偶 函数.点评：函数f ( x) =O ( x O)是f (x)既是奇函数又是偶函数的一个必要条件，任 一个关于原点对称的区间都可以作为解析式为 f ( X) =0 (x 0)函数的定义域.(4)

22、因分段函数意义不清致错二、函数的奇偶性与单调性的关系例3、已知：函数y f (X)在R上是奇函数，而且在(0,)上是增函数,证明：y f (X)在(，O)上也是增函数。证明：设X1x2 0 ,则x1 x2 O.f (X)在(0,)上是增函数。.f ( X1)f( X2)又f (X)在R上是奇函数。.f (X1)f X),即f(xj f (X2)所以，yf (X)在(，O)上也是增函数。规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上 单调性一致.例4、f (X)为R上的奇函数，当X0时，f(x)2x23x 1 ,当 x0 时，求 f (X)解:设X 0 ,由于f (X

23、)是奇函数,故 f (X)f( X)又X 0 ,由已知有f( X)2(X)23( X)21 2x2 3x12x23x1 XOf(x)OXO从而解析式为2x23x1 XO例5、(1)已知 f (X)的定义域为x|IX 0,且2f(X)1f() XX,试判断f (X)的奇偶性。(2)函数f (X)的定义域为R ,且对于一切实数X，y都有f(x y) f (X) f(y), 试判断f (X)的奇偶性。f (X)的定义域为xx,且2f(x)1 1一 2 f () f (X)令式中X为X得： X解得f(X)2x2 13x定义域为x|x 0关于原点对称f(又f(x)2x2 13x f (x)X)2 12(

24、3( X)2x2 1x)3x 是奇函数。(2)定义域关于原点对称，y 0 得 f(0)X得 f(0) f (X) f( X)，f(x)又令X再令y f( X)f(0) f(0)则 f(0)所以，原函数为奇函数(一)函数单调性的定义1增函数与减函数般地，设函数y= f (x)的定义域为I,X1 , X2，当 X1V X2 时，都有 f( X1)VX1 , X2 ,当 X1f如果对于定义域I的某个区间D的任意两个自变量 f (X2),那么就说f (X)在区间D上是增函数。如果对于定义域I的某个区间D的任意两个自变量 (X2),那么就说f (X)在区间D上是减函数。注意:1函数的单调性是在定义域的某

25、个区间上的性质，是函数的局部性质;2必须是对于区间 D的任意两个自变量 X1, X2；当X1 X2时，总有f ( X1 ) f ( X2)。2.函数的单调性的定义y = f (X)在这一如果函数y= f (X)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数 区间具有(格的)单调性，区间 D叫做y = f (X)的单调区间。3.判断函数单调性的法和步骤利用定义证明函数f ( X)在给定的区间 D上的单调性的一般步骤:1任取 X1 , X2 D ,且 X1 X2；2作差 f ( X1 ) f ( X2)；3变形(通常是因式分解和配)；4定号(即判断差f ( X1) f ( X2)的正负)；5下结论(即

26、指出函数 f (X)在给定的区间 D上的单调性)。(二)函数最大(小)值的定义1.最大值与最小值一般地，设函数y= f( X)的定义域为I ,如果存在实数 M满足:(1)对于任意的 x I ,都有f (x) M ；(2)存在 xo I ,使得 f (xo) = M 那么，称M是函数y= f (X)的最大值。一般地，设函数y= f( X)的定义域为I ,如果存在实数 M满足:(1)对于任意的x I ,都有f (x) M ；(2)存在 xo I ,使得 f (xo) = M 那么，称M是函数y= f (x)的最小值。1函数的最大(小)值首先应该是某一个函数值，即存在 X0 I,使得f (X0)= M ;2函数的最大(小)值应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的 x I,都有f(x) M( f( x) M )。2.利用函数的单调性判断函数的最大(小)值的法1利用二次函数的性质(配法)求函数的最大(小)值2利用图象(数形结合法)求函数的最大(小)值3利用函数的单调性判断函数的最大(小)值