等值面为z2=（x2y2）sin2c,（x2y2=0），
当sine=0时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外）；
当sinc=0时，是除原点外的xOy平面。
X2+y2
2•求数量场u经过点M1,1,2的等值面方程。
z
解：
经过点M1,1,2等值面方程为
x2十y212十12
u1,
z2
即x2y2，是除去原点的旋转抛物面。
3•已知数量场u=xy，求场中与直线x•2y-4=0相切的等值线方程。
解：
设切点为x0,y0，等值面方程为xyncnxoyo，因相切，则斜率为
Z，即X。
二2y°
X。
2
点Xo，y°在所给直线上，有
Xo2y°-4=0
解之得y0=1,x0=2
故xy=2
4•求矢量A=xy2ix2yjzy2k的矢量线方程。
解矢量线满足的微分方程为
Adr=0,
亠dxdydz
或222
xyxyzy
厶dxdz
有xdx=ydy,=.
5.求矢量场^x2iy2j（xy）zk通过点M（2,1,1）的矢量线方程。
、x_y=z
习题3
232<24
1.求数量场u二xz2yz在点M2,0,-1处沿|二2xi-xyj3zk的方
向导数。
解：
因IM=（2xi—xy2j+3z°kL=4i+3k，其方向余弦为
4內v3
cos,cos0,cos
5
5
所以出二4・（_4）0«03.12二4
a55
2.求数量场u=3x2z-xy•z2在点M1,-1,1处沿曲线x=t,y--t2,z=t3朝t
增大一方的方向导数。
曲线上点
解：
所求方向导数，等于函数u在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。
M所对应的参数为t=1,从而在点M处沿所取方向，曲线的切向方向导数为
_x
于是所求方向导数为
3•求数量场u=x2yz3在点M2,1,-1处沿哪个方向的方向导数最大?
cu0
解：
因一=（gradu）“1=graducosT,T
当v-0时，方向导数最大。
cu-k）cz
=（2xy£i+x2z3j+3x2yz2k）M=-如—4j+12k,
即函数u沿梯度graduM=—4i—4j+12k方向的方向导数最大
最大值为gradu|M=J176=4丿11。
113L
4.画出平面场u（x2-y2）中u=0,—,1,—,2的等值线，并画出场在皿1（2八2）与点
222
M2（3八7）处的梯度矢量，看其是否符合下面事实：
（1）梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小；
（2）在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向u增大的方向。
2x
2-y
2
=0,x
2-y
=1,
解：
所述等值线的方程为：
2x
2-y
=2,x2
2-y
-3,其中第一个又可以写为
2x
2-y
=4,
（如下图，
图中G^graduMi,
G2-gradum2,）
由于gradu=xi一yj,
故
gradu=2i-jQj,
gradum2=3i—J7j,
由图可见，其图形都符合所论之事实。
5.用以下二法求数量场u二xy•yz，zx在点P1,2,3处沿其矢径方向的方向导数。
1直接应用方向导数公式；
2作为梯度在该方向上的投影。
解：
（1）点P的矢径r=i+2j+3k,其模r=其方向余弦为
cos：
1:
23
cos=,cos.又141414
.x
+-^k.
6，求数量场u=x22y23z2xy3x_2y_6z在点0（0,0,0）与点A（1,1,1）
处梯度的大小和方向余弦。
又问在哪些点上梯度为0?
解：
gradu=（2xy3）i（4yx-2）j（6z-6）k,
graduO=3i-2j_6k,graduA=6i+3j+0k,
其模依次为：
32（一2）2•（一6）2=7八62•32•02二3、..5
graduA的方向余弦为
co的=^L,cos0=丄,cosY=0.
、5\5
2x+y+3=0,
求使gradu=0之点，即求坐标满足』4y+x_2=0,之点，由此解得
6z—6=0
x=-2,y=1,z=1故所求之点为（-2,1,1）.
7•通过梯度求曲面x2y2xz二4上一点M（1,-2,3）处的法线方程。
2
解：
所给曲面可视为数量场u=xy•2xz的一张等值面，因此，场u在点
M处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即
graduM=（2xy+2z）i+x2j+2xk皿=2i+j+2k,
习题4
1.设S为上半球面x2y2z2=a2（z_0）,求矢量场r=xi■yjzk向上穿过S的通量
:
-：
J。
【提示：
注意S的法矢量n与r同指向】
解：
①=仃rdS=仃rndS=仃|rdSdS=a2g2=2a3.
SSSS
2.设S为曲面x2•y2•z2二a2（0-z-h）,求流速场v=（x•y•z）k在单位时间内下
侧穿S的流量Q
22
解：
Q=（xyz）dxdy（xyxy）dxdy其中d为s在xOy面上的
SD
投影区域：
2
x2h.用极坐标计算，有Q=-（rcosrsinr）rdrd
D
i22-
3.设S是锥面z=.xy在平面z=4的下方部分，求矢量场A=4xzi•yzj3zk向
下穿出S的通量”。
解：
略
4.求下面矢量场A的散度。
（1）A=（x3yz）i（y2xz）j（z3xy）k;
（2）A=（2z-3y）i（3x-z）j（y-2x）k;
（3）A=（1ysinx）i（xcosyy）j.
22
解：
（1）divA=3x2y3z
（2）divA=0
（3）divA=ycosx-xsiny1
5.求divA在给定点处的值：
（1）=x3iy3jz3k在点M（1,0,-1）处；
（2）A=4xi-2xyjz2k在点M（1,1,3）处；
（3）A二xyzn（r二xiyjzk）在点M（1,3,2）处；
解：
（1）divAM=（3x2+3y2+3z2）M=6
（2）divA”=（4—2x+2z）m=8
（3）divA=xyzdivrgrad（xyz）r=3xyz（yzixzjxyk）（xiyjzk）
=6xyz,故divA^6xyz^36。
6.已知u=xy2z3,A=x2ixzj-2yzk,求div（uA）。
解：
divA=2x_2y
gradu=y2z3i2xyz3j3xy2z2k
=xy2z3（2x-2y）（y2z3i2xyz3j3xy2z2k）（x2ixzj-2yzk）
2232332232433
二2xyz-2xyzxyz2xyz-6xyz
=3x2y2z3-8x2y3z32x2yz4.
（1）A
=x3iy3jz3k,S为球面x2y2z2=a2;
（2）A
=（x-y•z）i•（y-z•x）j•（z-x•y）k,S为椭球面
2x
~2
a
z2）dV
12a5
5
①=口AdS=HldivAdV=Iff3（x2
s门门
,2222
其中二为S所围之球域xyz_a今用极坐标
=rsincos,y=rsinrsin,z=rcos计算，有
=3ir2r2sindrdd=3dsindr4dr=
oo-
Q
4
（2）①=ffAdS=JJJdivAdV=3JJJdV=3^—^iabc=4iabc
SdQ3
习题五
1.求一质点在力场F=-yi-zj•xk的作用下沿闭曲线I:
x=acost,y=asint.
z=a（1-cost）从t=0到t=2运动一周时所做的功。
解：
功W=Fdl--ydx-zdyxdz
=0a2sin21一a2（4一cost）costa2costsintdt
22二2
=a0（4—cost+costsint）dt=2n：
a
2.求矢量场-yixjCk（C为常数）沿下列曲线的环量：
（1）圆周x2-y2二R2,z=0；
（2）圆周（X-2）2y2二R2,z=0。
二R2,z=0的方程成为
解:
（1）令x二Rcosr，则圆周x2y2
x=Rcost,y=Rsinv,z=0，于是环量
（2）令x-2二Rcosr，则圆周（x-2）2•y2=R2,z=0的方程成为
x=RcosJ2,y=Rsin^z=0，于是环量
2兀22
-二A・dl二-ydxxdyCdz二o[Rsin（Rcosv2）Rcosv]d）
1l
2■22
（R22RcosR-2R2
3.用以下两种方法求矢量场A=x（z-y）i•y（x-z）j•z（y-x）k在点M（4,2,3）处沿方向n=i2j2k的环量面密度。
（4）直接应用环量面密度的计算公式；
（2）作为旋度在该方向上的投影。
解：
（1）n0=黑=4i+2j+2k,故n的方向余弦为co护=4,cosP=2,cos^=2.ni333333
又P=x（z「y）,Q二y（x-z）,R二z（y-x）根据公式，环量面密度
叫M=[（Ry-Qz）co炉+（Pz—Rx）cos0+（Qx—Py）cos?
】M
⑵rotAm二[（zy）i（xz）j（xy）k]^5i4j3k,于是
122
.（5i4j3k）.（-i-j-k）
19
3
58
=—+_+_
33
4•用雅可比矩阵求下列矢量场的散度和旋度。
（1）
=（3x2yz）i（y3-xz2）j2xyzk;
rotA二4xzi（1-2yzj-（z3x2）k.
rotA二x（2y-x）iy（2z-y）jz（2x-z）k.
rotA=0。
解：
rotuA=urotAgraduA,
gradu二exyz（yzixzjxyk）,graduA
xyz
=eyzxz
22
zx
k
xy=exyz[（xyz—xy）j+（xyz2—y3z）j+（x2yz—xz3）k],
2
y
rotuA二exyf（2yx^z-x3y）i（2zxyz-y3z）j（2xx2yz-x£）k|
习题六
1.证明下列矢量场为有势场，并用公式法和不定积分法求其势函数。
（1）A=ycosxyixcosxyjsinzk;
22
（2）
A=（2xcosy-ysinx）i（2ycosx-xsiny）j.解：
（1）记P=ycosxy,Q=xcosxy,R=sinz.
所以A为有势场。
下面用两种方法求势函数V:
0xyZ
1公式法：
v-°P（x,0,0）dx-°Q（x,y,0）dy-0R（x,y,z）dzC
xy2z
=-02xdx—0（2ycosx—xsiny）dy-J00dz+C--x2-y2cosx-x2cosyx2C--y2cosx-x2cosyC.
2°不定积分法：
因势函数v满足A二-gradv，即有
22
vx--2xcosyysinx,vy--2ycosxxsiny,vz=°,
将第一个方程对x积分，得v--x2cosy-y2cosx亠「（y,z）,
对y求导，得vy=x2siny-2ycosx•「y（y,z），与第二个方程比较，知
（z）=°，故'（z）=C.
y（y,z）=°,于是（y,z）=r（z）,从而v--x2cosy-y2cos'（z）.
再对z求导，得vz』W（z）,与第三个方程比较，知所以v=-x2cosy-y2cosxC.
2.下列矢量场A是否保守场？
若是，计算曲线积分.Adl:
l
（1）A=（6xyz2）i（3x2-z）j（3xz2-y）k，l的起点为A（4,°,1）,终点为
B（2,1,-1）;
222
（2）A=2xzi2yzj（x2yz-1）k，l的起点为A（3,°,1）,终点为B（5,-1,3）.
6y6x3z2
解：
（1）DA=<6x°-1>,有
3z2-16xz
22
rotA=[
（1）（T）j（3z3z）j（6x6x）k=Q故a为保守场。
因此，存在
A*dl的原函数u。
按公式
xyz
u=P（x,0,0）dx亠IQ（x,y,0）dy亠IR（x,y,z）dz
000
xy2z223
=0Odx+03x2dy+^（3xz-y）dz=3x2y+xz-yz,于
u=-0P（x,0,0）dx-0Q（x,y,0）dy-0R（x,y,z）dz
B（5,」,3）
A（3,0,1）=73-。
=o^Ddxo”0dy：
（x22y2z—1）dz=x2zy2z2—z,于
jAdl=（x2z十y2z2_z）
l
3.求下列全微分的原函数u
（1）du=（x2-2yz）dx（y2-2xz）dy（z2-2xy）dz;
2223
（2）du=（3x6xy）dx（6xy4y）dy.
xyz
解：
由公式u=oP（x,0,0）dx°Q（x,y,0）dy°R（x,y,z）dzC
1313131333
^x3y?
z-2xyzC=?
（xyz）-2xyzC；
xy
（2）u3x2dxo（6x2y4y3）dyC=x33x2y2y4C
9.证明矢量场A=（2x-y）i-（4yx-2z）j•（2y「6z）k为调和场，并求其调和函数。
210'
解：
DA=142，有
<02-6」
divA=24-6=0,rotA=（2-2）i（0-0）j（1-1）k=0故A为调和场。
xyz
其调和函数u由公式uP（x,0,0）dx亠iQ（x,y,0）dy亠IR（x,y,z）dzC
yz22
0（4yx）dy。
（2y-6z）dzC=x2y
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