等值面为z2=(x2y2)sin2c,(x2y2=0),
当sine=0时,是顶点在坐标原点的一族圆锥面(除顶点外);
当sinc=0时,是除原点外的xOy平面。
X2+y2
2•求数量场u经过点M1,1,2的等值面方程。
z
解:
经过点M1,1,2等值面方程为
x2十y212十12
u1,
z2
即x2y2,是除去原点的旋转抛物面。
3•已知数量场u=xy,求场中与直线x•2y-4=0相切的等值线方程。
解:
设切点为x0,y0,等值面方程为xyncnxoyo,因相切,则斜率为
Z,即X。
二2y°
X。
2
点Xo,y°在所给直线上,有
Xo2y°-4=0
解之得y0=1,x0=2
故xy=2
4•求矢量A=xy2ix2yjzy2k的矢量线方程。
解矢量线满足的微分方程为
Adr=0,
亠dxdydz
或222
xyxyzy
厶dxdz
有xdx=ydy,=.
5.求矢量场^x2iy2j(xy)zk通过点M(2,1,1)的矢量线方程。
、x_y=z
习题3
232<24
1.求数量场u二xz2yz在点M2,0,-1处沿|二2xi-xyj3zk的方
向导数。
解:
因IM=(2xi—xy2j+3z°kL=4i+3k,其方向余弦为
4內v3
cos,cos0,cos
5
5
所以出二4・(_4)0«03.12二4
a55
2.求数量场u=3x2z-xy•z2在点M1,-1,1处沿曲线x=t,y--t2,z=t3朝t
增大一方的方向导数。
曲线上点
解:
所求方向导数,等于函数u在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。
M所对应的参数为t=1,从而在点M处沿所取方向,曲线的切向方向导数为
_x
于是所求方向导数为
3•求数量场u=x2yz3在点M2,1,-1处沿哪个方向的方向导数最大?
cu0
解:
因一=(gradu)“1=graducosT,T
当v-0时,方向导数最大。
cu-k)cz
=(2xy£i+x2z3j+3x2yz2k)M=-如—4j+12k,
即函数u沿梯度graduM=—4i—4j+12k方向的方向导数最大
最大值为gradu|M=J176=4丿11。
113L
4.画出平面场u(x2-y2)中u=0,—,1,—,2的等值线,并画出场在皿1(2八2)与点
222
M2(3八7)处的梯度矢量,看其是否符合下面事实:
(1)梯度在等值线较密处的模较大,在较稀处的模较小;
(2)在每一点处,梯度垂直于该点的等值线,并指向u增大的方向。
2x
2-y
2
=0,x
2-y
=1,
解:
所述等值线的方程为:
2x
2-y
=2,x2
2-y
-3,其中第一个又可以写为
2x
2-y
=4,
(如下图,
图中G^graduMi,
G2-gradum2,)
由于gradu=xi一yj,
故
gradu=2i-jQj,
gradum2=3i—J7j,
由图可见,其图形都符合所论之事实。
5.用以下二法求数量场u二xy•yz,zx在点P1,2,3处沿其矢径方向的方向导数。
1直接应用方向导数公式;
2作为梯度在该方向上的投影。
解:
(1)点P的矢径r=i+2j+3k,其模r=其方向余弦为
cos:
1:
23
cos=,cos.又141414
.x
+-^k.
6,求数量场u=x22y23z2xy3x_2y_6z在点0(0,0,0)与点A(1,1,1)
处梯度的大小和方向余弦。
又问在哪些点上梯度为0?
解:
gradu=(2xy3)i(4yx-2)j(6z-6)k,
graduO=3i-2j_6k,graduA=6i+3j+0k,
其模依次为:
32(一2)2•(一6)2=7八62•32•02二3、..5
graduA的方向余弦为
co的=^L,cos0=丄,cosY=0.
、5\5
2x+y+3=0,
求使gradu=0之点,即求坐标满足』4y+x_2=0,之点,由此解得
6z—6=0
x=-2,y=1,z=1故所求之点为(-2,1,1).
7•通过梯度求曲面x2y2xz二4上一点M(1,-2,3)处的法线方程。
2
解:
所给曲面可视为数量场u=xy•2xz的一张等值面,因此,场u在点
M处的梯度,就是曲面在该点的法矢量,即
graduM=(2xy+2z)i+x2j+2xk皿=2i+j+2k,
习题4
1.设S为上半球面x2y2z2=a2(z_0),求矢量场r=xi■yjzk向上穿过S的通量
:
-:
J。
【提示:
注意S的法矢量n与r同指向】
解:
①=仃rdS=仃rndS=仃|rdSdS=a2g2=2a3.
SSSS
2.设S为曲面x2•y2•z2二a2(0-z-h),求流速场v=(x•y•z)k在单位时间内下
侧穿S的流量Q
22
解:
Q=(xyz)dxdy(xyxy)dxdy其中d为s在xOy面上的
SD
投影区域:
2
x2h.用极坐标计算,有Q=-(rcosrsinr)rdrd
D
i22-
3.设S是锥面z=.xy在平面z=4的下方部分,求矢量场A=4xzi•yzj3zk向
下穿出S的通量”。
解:
略
4.求下面矢量场A的散度。
(1)A=(x3yz)i(y2xz)j(z3xy)k;
(2)A=(2z-3y)i(3x-z)j(y-2x)k;
(3)A=(1ysinx)i(xcosyy)j.
22
解:
(1)divA=3x2y3z
(2)divA=0
(3)divA=ycosx-xsiny1
5.求divA在给定点处的值:
(1)=x3iy3jz3k在点M(1,0,-1)处;
(2)A=4xi-2xyjz2k在点M(1,1,3)处;
(3)A二xyzn(r二xiyjzk)在点M(1,3,2)处;
解:
(1)divAM=(3x2+3y2+3z2)M=6
(2)divA”=(4—2x+2z)m=8
(3)divA=xyzdivrgrad(xyz)r=3xyz(yzixzjxyk)(xiyjzk)
=6xyz,故divA^6xyz^36。
6.已知u=xy2z3,A=x2ixzj-2yzk,求div(uA)。
解:
divA=2x_2y
gradu=y2z3i2xyz3j3xy2z2k
=xy2z3(2x-2y)(y2z3i2xyz3j3xy2z2k)(x2ixzj-2yzk)
2232332232433
二2xyz-2xyzxyz2xyz-6xyz
=3x2y2z3-8x2y3z32x2yz4.
(1)A
=x3iy3jz3k,S为球面x2y2z2=a2;
(2)A
=(x-y•z)i•(y-z•x)j•(z-x•y)k,S为椭球面
2x
~2
a
z2)dV
12a5
5
①=口AdS=HldivAdV=Iff3(x2
s门门
,2222
其中二为S所围之球域xyz_a今用极坐标
=rsincos,y=rsinrsin,z=rcos计算,有
=3ir2r2sindrdd=3dsindr4dr=
oo-
Q
4
(2)①=ffAdS=JJJdivAdV=3JJJdV=3^—^iabc=4iabc
SdQ3
习题五
1.求一质点在力场F=-yi-zj•xk的作用下沿闭曲线I:
x=acost,y=asint.
z=a(1-cost)从t=0到t=2运动一周时所做的功。
解:
功W=Fdl--ydx-zdyxdz
=0a2sin21一a2(4一cost)costa2costsintdt
22二2
=a0(4—cost+costsint)dt=2n:
a
2.求矢量场-yixjCk(C为常数)沿下列曲线的环量:
(1)圆周x2-y2二R2,z=0;
(2)圆周(X-2)2y2二R2,z=0。
二R2,z=0的方程成为
解:
(1)令x二Rcosr,则圆周x2y2
x=Rcost,y=Rsinv,z=0,于是环量
(2)令x-2二Rcosr,则圆周(x-2)2•y2=R2,z=0的方程成为
x=RcosJ2,y=Rsin^z=0,于是环量
2兀22
-二A・dl二-ydxxdyCdz二o[Rsin(Rcosv2)Rcosv]d)
1l
2■22
(R22RcosR-2R2
3.用以下两种方法求矢量场A=x(z-y)i•y(x-z)j•z(y-x)k在点M(4,2,3)处沿方向n=i2j2k的环量面密度。
(4)直接应用环量面密度的计算公式;
(2)作为旋度在该方向上的投影。
解:
(1)n0=黑=4i+2j+2k,故n的方向余弦为co护=4,cosP=2,cos^=2.ni333333
又P=x(z「y),Q二y(x-z),R二z(y-x)根据公式,环量面密度
叫M=[(Ry-Qz)co炉+(Pz—Rx)cos0+(Qx—Py)cos?
】M
⑵rotAm二[(zy)i(xz)j(xy)k]^5i4j3k,于是
122
.(5i4j3k).(-i-j-k)
19
3
58
=—+_+_
33
4•用雅可比矩阵求下列矢量场的散度和旋度。
(1)
=(3x2yz)i(y3-xz2)j2xyzk;
rotA二4xzi(1-2yzj-(z3x2)k.
rotA二x(2y-x)iy(2z-y)jz(2x-z)k.
rotA=0。
解:
rotuA=urotAgraduA,
gradu二exyz(yzixzjxyk),graduA
xyz
=eyzxz
22
zx
k
xy=exyz[(xyz—xy)j+(xyz2—y3z)j+(x2yz—xz3)k],
2
y
rotuA二exyf(2yx^z-x3y)i(2zxyz-y3z)j(2xx2yz-x£)k|
习题六
1.证明下列矢量场为有势场,并用公式法和不定积分法求其势函数。
(1)A=ycosxyixcosxyjsinzk;
22
(2)
A=(2xcosy-ysinx)i(2ycosx-xsiny)j.解:
(1)记P=ycosxy,Q=xcosxy,R=sinz.
所以A为有势场。
下面用两种方法求势函数V:
0xyZ
1公式法:
v-°P(x,0,0)dx-°Q(x,y,0)dy-0R(x,y,z)dzC
xy2z
=-02xdx—0(2ycosx—xsiny)dy-J00dz+C--x2-y2cosx-x2cosyx2C--y2cosx-x2cosyC.
2°不定积分法:
因势函数v满足A二-gradv,即有
22
vx--2xcosyysinx,vy--2ycosxxsiny,vz=°,
将第一个方程对x积分,得v--x2cosy-y2cosx亠「(y,z),
对y求导,得vy=x2siny-2ycosx•「y(y,z),与第二个方程比较,知
(z)=°,故'(z)=C.
y(y,z)=°,于是(y,z)=r(z),从而v--x2cosy-y2cos'(z).
再对z求导,得vz』W(z),与第三个方程比较,知所以v=-x2cosy-y2cosxC.
2.下列矢量场A是否保守场?
若是,计算曲线积分.Adl:
l
(1)A=(6xyz2)i(3x2-z)j(3xz2-y)k,l的起点为A(4,°,1),终点为
B(2,1,-1);
222
(2)A=2xzi2yzj(x2yz-1)k,l的起点为A(3,°,1),终点为B(5,-1,3).
6y6x3z2
解:
(1)DA=<6x°-1>,有
3z2-16xz
22
rotA=[
(1)(T)j(3z3z)j(6x6x)k=Q故a为保守场。
因此,存在
A*dl的原函数u。
按公式
xyz
u=P(x,0,0)dx亠IQ(x,y,0)dy亠IR(x,y,z)dz
000
xy2z223
=0Odx+03x2dy+^(3xz-y)dz=3x2y+xz-yz,于
u=-0P(x,0,0)dx-0Q(x,y,0)dy-0R(x,y,z)dz
B(5,」,3)
A(3,0,1)=73-。
=o^Ddxo”0dy:
(x22y2z—1)dz=x2zy2z2—z,于
jAdl=(x2z十y2z2_z)
l
3.求下列全微分的原函数u
(1)du=(x2-2yz)dx(y2-2xz)dy(z2-2xy)dz;
2223
(2)du=(3x6xy)dx(6xy4y)dy.
xyz
解:
由公式u=oP(x,0,0)dx°Q(x,y,0)dy°R(x,y,z)dzC
1313131333
^x3y?
z-2xyzC=?
(xyz)-2xyzC;
xy
(2)u3x2dxo(6x2y4y3)dyC=x33x2y2y4C
9.证明矢量场A=(2x-y)i-(4yx-2z)j•(2y「6z)k为调和场,并求其调和函数。
210'
解:
DA=142,有
<02-6」
divA=24-6=0,rotA=(2-2)i(0-0)j(1-1)k=0故A为调和场。
xyz
其调和函数u由公式uP(x,0,0)dx亠iQ(x,y,0)dy亠IR(x,y,z)dzC
yz22
0(4yx)dy。
(2y-6z)dzC=x2y