山东新高考数学模拟猜题专项汇编10圆锥曲线.docx
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山东新高考数学模拟猜题专项汇编10圆锥曲线
2020年山东新高考数学模拟猜题专项汇编（10）圆锥曲线
学校：
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
注意事项：
注意事项：
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题
1.抛物线的焦点为，准线为是抛物线上的两个动点，且满足
．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（）
A．B．C．D．
1.答案：
C
解析：
画出示意图.设，连接.
由抛物线定义，得，.
在梯形中，.
由余弦定理得，
配方得，.
又，
，
得到.
所以，即
的最大值为.
故选C.
2.已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，是双曲线在第一象限上的点，，则双曲线的渐近线方程为（）
A．B．
C．D．
2.答案：
D
解析：
双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，是双曲线在第一象限上的点，
，
可得,,所以，
则,即，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为：
.
故选：
D.
3.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（）
A．B．3C．6D．
3.答案：
C
解析：
如图所示,设椭圆的长半轴长为，
双曲线的实半轴长为，焦距为，
由题意可知：
，
又,，
∴,，
两式相减,可得：
，
∵，
∴
当且仅当时等号成立，
则的最小值为6，
故答案为：
C.
4.已知点是抛物线的焦点，点为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过作抛物线C的切线，切点为A，若点A恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
4.答案：
C
解析：
由题意，得，
设过的抛物线C的切线方程为，
联立，，
令，解得，
即，解得，
不妨设，
由双曲线的定义得，，
则该双曲线的离心率为．
5.已知抛物线的焦点为为C上一点且在第一象限,以F为圆心,为半径的圆交C的准线于两点,且三点共线,则=（）
A.16B.10C.12D.8
5.答案：
C
解析：
因为三点共线,
所以为圆F的直径,.
由抛物线定义知,
所以.
因为F到准线的距离为6,
所以.
二、填空题
6.已知椭圆，双曲线.若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为___________;双曲线的离心率为__________.
6.答案：
解析：
如图，六边形为正六边形，直线是双曲线的渐近线，则是正三角形.∴直线的倾斜角为，∴其斜率，∴双曲线的离心率.连接.∵正六边形的边长为c，∴.由椭圆定义得，即，∴椭圆的离心率.
7.直线l过抛物线的焦点，且与交于两点，则_____________,________________.
7.答案：
2;1
解析：
由,得.当直线l的斜率不存在时,,与联立解得,此时,所以;当直线l的斜率存在时,设,代入抛物线方程,得,设,,则,.
三、多项选择题
8.已知双曲线过点且渐近线为,则下列结论正确的是（）
A.的方程为
B.的离心率为
C.曲线经过的一个焦点
D.直线与有两个公共点
8.答案：
AC
解析：
因为渐近线方程为,所以可设双曲线方程为,代入点,得,所以双曲线方程为,选项A正确;该双曲线的离心率为,选项B不正确;双曲线的交点为,曲线经过双曲线的焦点,选项C正确;把代入双曲线方程,得,解得,故直线与曲线只有一个公共点,选项D不正确。
9.已知点P在双曲线上，是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则下列说法正确的有（）
A．点P到x轴的距离为B．
C．为钝角三角形D．等于
9.答案：
BC
解析：
因为双曲线，所以，
又因为，所以，所以选项A错误；
将其代入得，即，
由对称性，不妨取P的坐标为，可知，
由双曲线定义可知
所以，所以选项B正确；
由对称性，对于上面点P，
在中，，
且，所以为钝角三角形，选项C正确；
因为，所以，
即，所以，所以选项D错误（余弦定理也可以解决）；
四、解答题
10.如图，已知抛物线，点，抛物线上的点.过点B作直线的垂线，垂足为Q.
（1）求直线斜率的取值范围；
（2）求的最大值.
10.答案：
（1）；
（2）
解析：
（1）设直线AP的斜率为k，，
因为，
所以直线AP斜率的取值范围是.
（2）设直线AP的斜率为k，则直线BQ的斜率为.
则直线AP的方程为，即，
直线BQ的方程为，即，
联立
解得点Q的横坐标.
因为，
，
所以.
令，
因为，
所以在区间上单调递增，上单调递减，
因此当时，取得最大值.
11.已知椭圆的短轴长为，左右焦点分别为，点是椭圆上位于第一象限的任一点，且当时，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上点与点关于原点对称，过点作垂直于x轴，垂足为，连接并延长交于另一点，交y轴于点.
（i）求面积最大值；
（ii）证明：
直线与斜率之积为定值.
11.答案：
（1）设，由，得.
将代入，得即，
由，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设，则
（i）易知为的中位线，所以，
所以，
又满足，所以
，得，
故，当且仅当，即时取等号，
所以面积最大值为.
（ii）记直线斜率为，则直线斜率为，所以直线方程为.
由，得，
由韦达定理得，所以，代入直线方程，得，
于是，直线斜率，
所以直线与斜率之积为定值
解析：
12.给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“卫星圆”.若椭圆的离心率，点在上．
（1）求椭圆的方程和其“卫星圆”方程；
（2）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线使得与椭圆与椭圆都只有一个交点，且分别交其“卫星圆”于点，证明：
弦长为定值．
12.答案：
解：
（1）由条件可得:
解得
所以椭圆的方程为，
卫星圆的方程为
（2）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，
因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，
当方程为时，此时与“卫星圆”交于点和，
此时经过点且与椭圆只有一个公共点的直线是
或，即为或，
线段应为“卫星圆”的直径，
②当都有斜率时，设点，其中，
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为,
则，消去得到，
所以，满足条件的两直线垂直.
线段应为“卫星圆”的直径，
综合①②知：
因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直，
所以线段准圆的直径，为定值
解析：
13.设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆过点，且离心率为．为的右焦点，为上一点，轴，的半径为．
（1）求和的方程；
（2）若直线与交于两点，与交于两点，其中在第一象限，是否存在k使？
若存在，求l的方程；若不存在，请说明理由．
13.答案：
（1）设椭圆的方程为．由，从而得，从而，即．
又椭圆过点，从而得，解得，从而所求椭圆的方程为．
所以，令，得，所以的方程为；
（2）不存在，理由如下：
若，则．
联立，整理，得．
设，则．
从而
．
由，从而，从而，矛盾．
从而满足题设条件的直线l不存在．
解析：
14.已知椭圆的离心率为，且椭圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，且与圆：
过点，求的取值范围．
14.答案：
（1）由已知可得，所以
所以椭圆的方程为将点代入方程得，所以
所以椭圆的标准方程为
（2）椭圆的右焦点为，若直线的斜率不存在,方程为，
则
所以,
若直线的斜率存在，设方程为，设
由得
则
所以
圆心到直线的距离
所以
所以
综上.
解析：
15.已知椭圆，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点，线段的中点为M．
（1）证明：
直线的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（2）若l过点，延长线段与C交于点P，判断四边形能否为平行四边行？
若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
15.答案：
（1）设直线，，，．
将代入得，
故，．
于是直线的斜率，即．
所以直线的斜率与l的斜率的乘积为定值．
（2）四边形能为平行四边形．
因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是，．
由第1问得的方程为．设点P的横坐标为．由得，
即
将点的坐标代入直线l的方程得，
因此．四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即．
于是．解得．
因为，，
所以当l的斜率为或时，四边形为平行四边形．
解析：
16.已知分别为椭圆的左、右焦点,为该椭圆的一条垂直于x轴的动弦,直线与x轴交于点A,直线与直线的交点为B.
（1）证明:
点B恒在椭圆C上.
（2）设直线n与椭圆C只有一个公共点P,直线n与直线m相交于点Q,在平面内是否存在定点T,使得恒成立?
若存在,求出该点坐标;若不存在,说明理由.
16.答案：
（1）由题意知,设,则.
直线的方程为,直线的方程为
联立可得,即B的坐标为.
因为,
所以B点恒在椭圆C上.
（2）当直线n的斜率不存在时,不符合题意.不妨设直线n的方程为,
由对称性可知,若平面内存在定点T,使得恒成立,则T一定在x轴上,故设,
由可得.
因为直线n与椭圆C只有一个公共点,
所以,
所以.
又因为,所以,
即.
所以对于任意的满足的恒成立,
所以解得.
故在平面内存在定点,使得恒成立.
解析：
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