二次函数的图象与性质教学设计.docx

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二次函数的图象与性质教学设计

26．1二次函数的图象与性质

（1）

[本课知识要点]

会用描点法画出二次函数

的图象，概括出图象的特点及函数的性质．

[MM及创新思维]

我们已经知道，一次函数

，反比例函数

的图象分别是、

，那么二次函数

的图象是什么呢？

（1）描点法画函数

的图象前，想一想，列表时如何合理选值？

以什么数为中心？

当x取互为相反数的值时，y的值如何？

（2）观察函数

的图象，你能得出什么结论？

[实践与探索]

例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？

有何不同点？

（1）

（2）

解列表

x

…

-3

-2

-1

0

1

2

3

…

…

18

8

2

0

2

8

18

…

…

-18

-8

-2

0

-2

-8

-18

…

分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1．

共同点：

都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．

不同点：

的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．

的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．

回顾与反思在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．

例2．已知

是二次函数，且当

时，y随x的增大而增大．

（1）求k的值；

（2）求顶点坐标和对称轴．

解

（1）由题意，得

，解得k=2．

（2）二次函数为

，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．

例3．已知正方形周长为Ccm，面积为Scm2．

（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；

（2）根据图象，求出S=1cm2时，正方形的周长；

（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2．

分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．

解

（1）由题意，得

．

列表：

C

2

4

6

8

…

1

4

…

描点、连线，图象如图26．2．2．

（2）根据图象得S=1cm2时，正方形的周长是4cm．

（3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4cm2．

回顾与反思

（1）此图象原点处为空心点．

（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y．

（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．

[当堂课内练习]

1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．

（1）

（2）

（3）

2．

（1）函数

的开口，对称轴是，顶点坐标是；

（2）函数

的开口，对称轴是，顶点坐标是．

3．已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象的草图．

[本课课外作业]

A组

1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

（1）

（2）

2．填空：

（1）抛物线

，当x=时，y有最值，是．

（2）当m=时，抛物线

开口向下．

（3）已知函数

是二次函数，它的图象开口，当x时，y随x的增大而增大．

3．已知抛物线

中，当

时，y随x的增大而增大．

（1）求k的值；

（2）作出函数的图象（草图）．

4．已知抛物线

经过点（1，3），求当y=9时，x的值．

B组

5．底面是边长为x的正方形，高为0．5cm的长方体的体积为ycm3．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8cm3时底面边长x的值；（4）根据图象，求出x取何值时，y≥4．5cm3．

6．二次函数

与直线

交于点P（1，b）．

（1）求a、b的值；

（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．

1．一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且过M（-2，2）．

（1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；

（2）写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出⊿MON的面积．

[本课学习体会]

26．2二次函数的图象与性质

（2）

[本课知识要点]

会画出

这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．

[MM及创新思维]

同学们还记得一次函数

与

的图象的关系吗？

，你能由此推测二次函数

与

的图象之间的关系吗？

，那么

与

的图象之间又有何关系？

．

[实践与探索]

例1．在同一直角坐标系中，画出函数

与

的图象．

解列表．

x

…

-3

-2

-1

0

1

2

3

…

…

18

8

2

0

2

8

18

…

…

20

10

4

2

4

10

20

…

描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．

回顾与反思当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？

反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？

探索观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？

又有哪些不同？

你能由此说出函数

与

的图象之间的关系吗？

例2．在同一直角坐标系中，画出函数

与

的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线

得到抛物线

．

解列表．

x

…

-3

-2

-1

0

1

2

3

…

…

-8

-3

0

1

0

-3

-8

…

…

-10

-5

-2

-1

-2

-5

-10

…

描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示．

可以看出，抛物线

是由抛物线

向下平移两个单位得到的．

回顾与反思抛物线

和抛物线

分别是由抛物线

向上、向下平移一个单位得到的．

探索如果要得到抛物线

，应将抛物线

作怎样的平移？

例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与

相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．

解由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，-2），

因此所求函数关系式可看作

，又抛物线经过点（1，1），

所以，

，解得

．

故所求函数关系式为

．

回顾与反思

（a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：

开口方向

对称轴

顶点坐标

[当堂课内练习]

1．在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：

，

，

．

观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线

的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？

2．抛物线

的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线

向平移个单位得到的．

3．函数

，当x时，函数值y随x的增大而减小．当x时，函数取得最值，最值y=．

[本课课外作业]

A组

1．已知函数

，

，

．

（1）分别画出它们的图象；

（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；

（3）试说出函数

的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．

2．不画图象，说出函数

的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数

通过怎样的平移得到的．

3．若二次函数

的图象经过点（-2，10），求a的值．这个函数有最大还是最小值？

是多少？

B组

4．在同一直角坐标系中

与

的图象的大致位置是（）

5．已知二次函数

，当k为何值时，此二次函数以y轴为对称轴？

写出其函数关系式．

[本课学习体会]

26．2二次函数的图象与性质（3）

[本课知识要点]

会画出

这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．

[MM及创新思维]

我们已经了解到，函数

的图象，可以由函数

的图象上下平移所得，那么函数

的图象，是否也可以由函数

平移而得呢？

画图试一试，你能从中发现什么规律吗？

[实践与探索]

例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

，

，

，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．

解列表．

x

…

-3

-2

-1

0

1

2

3

…

…

2

0

2

…

…

0

2

8

…

…

8

2

0

…

描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．

它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线x=-2和直线x=2；顶点坐标分别是

（0，0），（-2，0），（2，0）．

回顾与反思对于抛物线

，当x时，函数值y随x的增大而减小；当x时，函数值y随x的增大而增大；当x时，函数取得最值，最值y=．

探索抛物线

和抛物线

分别是由抛物线

向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线

，应将抛物线

作怎样的平移？

例2．不画出图象，你能说明抛物线

与

之间的关系吗?

解抛物线

的顶点坐标为（0，0）；抛物线

的顶点坐标为（-2，0）．

因此，抛物线

与

形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y轴和直线

．抛物线

是由

向左平移2个单位而得的．

回顾与反思

（a、h是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：

开口方向

对称轴

顶点坐标

[当堂课内练习]

1．画图填空：

抛物线

的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线

向平移个单位得到的．

2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

，

，

，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．

[本课课外作业]

A组

1．已知函数

，

，

．

（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；

（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（3）分别讨论各个函数的性质．

2．根据上题的结果，试说明：

分别通过怎样的平移，可以由抛物线

得到抛物线

和

？

3．函数

，当x时，函数值y随x的增大而减小．当x时，函数取得最值，最值y=．

4．不画出图象，请你说明抛物线

与

之间的关系．

B组

5．将抛物线

向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2，且新抛物线经过点

（1，3），求

的值．

[本课学习体会]

26．2二次函数的图象与性质（4）

[本课知识要点]

1．掌握把抛物线

平移至

+k的规律；

2．会画出

+k这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．

[MM及创新思维]

由前面的知识，我们知道，函数

的图象，向上平移2个单位，可以得到函数

的图象；函数

的图象，向右平移3个单位，可以得到函数

的图象，那么函数

的图象，如何平移，才能得到函数

的图象呢？

[实践与探索]

例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

，

，

，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．

解列表．

x

…

-3

-2

-1

0

1

2

3

…

…

2

0

2

…

…

8

2