一元一次方程应用题培优班.docx
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一元一次方程应用题培优班
一元一次方程的应用
1、列方程解应用题的基本步骤和方法：
步骤
要求
注意事项
审题
读懂题目、弄清题意、找出能够表示应用题全部含义的相等关系
审题是分析解题的过程，解答过程中不用体现出来
设元
①设未知数
②把各个量用含未知数的代数式表示出来
①设未知数一般是问什么，就直接设什么为x，即直接设元
②直接设元有困难时,可以间接设元
列方程
根据等量关系列出方程
避免列出恒等式
解方程
解这个方程,求出未知数的值
如果是间接设元，求出的未知数还需要利用其他算式得到所求的量
检验
把方程的解代入方程检验，或根据实际问题进行检验
列一元一次方程解应用题检验的步骤在解答过程中不用写出来
方程的解要符合实际问题
作答
写出答案,作出结论
这一步在列方程解应用题中必不可少，是一种规范要求
注意：
（1）初中列方程解应用题时，怎么列简单就怎么列（即所列的每一个方程都直接的表示题意），不用担心未知数过多，简化审题和列方程的步骤，把难度转移到解方程的步骤上．
（2）解方程的步骤不用写出，直接写结果即可．
（3）设未知数时，要标明单位,在列方程时，如果题中数据的单位不统一，必须把单位换算成统一单位，尤其是行程问题里需要注意这个问题．
2、设未知数的方法：
设未知数的方法一般来讲，有以下几种:
（1）“直接设元":
题目里要求的未知量是什么，就把它设为未知数,多适用于要求的未知数只有一个的情况；
（2）“间接设元"：
有些应用题，若直接设未知数很难列出方程,或者所列的方程比较复杂，可以选择间接设未知数，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用．
（3）“辅助设元”:
有些应用题不仅要直接设未知数，而且要增加辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是为了帮助列方程，同时为了求出真正的未知量，可以在解题时消去．
（4）“部分设元”与“整体设元"转换：
当整体设元有困难时，可以考虑设其一部分为未知数，反之亦然，如：
数字问题．
模块一：
数字问题
（1）多位数字的表示方法：
一个两位数的十位数字、个位数字分别为a、b，（其中a、b均为整数，,）则这个两位数可以表示为．
一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，（其中均为整数，且，，）则这个三位数表示为：
．
（2）奇数与偶数的表示方法：
偶数可表示为2k，奇数可表示为（其中k表示整数）．
（3）三个相邻的整数的表示方法:
可设中间一个整数为a，则这三个相邻的整数可表示为．
【例1】一次数学测验中，小明认为自己可以得满分，不料卷子发下来一看得了96分，原来是由于粗心把一个题目的答案十位与个位数字写颠倒了,结果自己的答案比正确答案大了36，而正确答案的个位数字是十位数字的2倍．正确答案是多少？
【解析】此题中数据96与列方程无关．与列方程有关的量就是小明粗心后所涉及的量．
设正确答案的十位数字为，则个位数字为，
依题意，得，解之得．
于是．所以正确答案应为48．
【答案】
【例2】某年份的号码是一个四位数，它的千位数字是2,如果把2移到个位上去，那么所得的新四位数比原四位数的2倍少6，求这个年份．
【解析】设这个年份的百位数字、十位数字、个位数字组成的三位数为x，则这个四位数字可以表示为，根据题意可列方程：
，解得
【答案】2499年
【例3】有一个四位数，它的个位数字是8，如果将个位数字8调到千位上，则这个数就增加117，求这个四位数．
【解析】设由原数中的千位数字、百位数字和十位数字组成的三位数为x,则这个四位数可以表示为,则调换后的新数可以表示为，根据题意可列方程，解得，所以这个四位数为8758
【答案】8758
【例4】五一放假，小明的爸爸开车带着小明和妈妈去郊游，他们在公路上匀速行驶，下表是小明每隔1小时看到的路边里程碑上数的信息．你能确定小明在7：
00时看到的里程碑上的数是多少吗?
时间
里程碑上数的特征
7：
00
是一个两位数，它的个位数字与十位数字之和是7
8：
00
十位数字和个位数字与7：
00时所看到的正好颠倒了
9:
00
比7:
00时看到的两位数中间多一个0
【解析】设小明在7：
00时看到的两位数的十位数字是x，则个位数字是,根据题意可列方程：
，解得，所以．
【答案】小明在7：
00时看到的两位数是16．
模块二：
日历问题
（1）、在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖列相邻两数相差7．
（2）、日历中一个竖列上相邻3个数的和的最小值时24,最大值时72，且这个和一定是3的倍数．
（3）、一年中，每月的天数是有规律的，一、三、五、七、八、十、十二这七个月每月都是31天，四、六、九、十一这四个月每月都是30天，二月平年28天，闰年29天,所以，日历表中日期的取值是有范围的．
【例5】下表是2011年12月的日历表，请解答问题:
在表中用形如下图的平行四边形框框出4个数，
【例6】
（1）若框出的4个数的和为74,请你通过列方程的办法，求出它分别是哪4天？
【例7】
（2）框出的4个数的和可能是26吗？
为什么？
【解析】
（1）设第一个数是x,则根据平行四边形框框出4个数得其他3天可分别表示为，，．
根据题意可列方程：
解得;
所以它分别是：
15,16，21，22；
（2）设第一个数为x,则,，本月3号是周六，由平行四边形框框出4个数,
得出结论：
无法构成平行四边形．
【答案】
（1）15，16，21，22；
（2）无法构成平行四边形．
【例8】如图，框内的四个数字的和为28，请通过平移长方形框的方法,使框内的数字之和为68，这样的长方形的位置有几个？
能否使框内的四个数字之和为49？
若能，请找出这样的位置；若不能，请说明理由．
【解析】
（1）设四个数字是a，,，,根据题意可列方程：
，解得．则平移后的四个数是13、14、20、21．
（2）设四个数字是x，，，，则,．不合题意，舍去．
【答案】平移后的四个数是13、14、20、21，这样的长方形的位置只有1个；不存在能使四个数字的和为49的长方形．
【例9】把2012个正整数1，2，3，4，…，2012按如图方式排列成一个表．
【例10】
（1）用如图方式框住表中任意4个数，记左上角的一个数为x，则另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是________________．
（2）由
（1）中能否框住这样的4个数，它们的和会等于244吗？
若能,则求出x的值；若不能，则说明理由．
【解析】
（1）∵记左上角的一个数为x，∴另三个数用含x的式子表示为：
，，．
（2）不能．假设能够框住这样的4个数，则：
解得．
∵49是第七行最后一个数，∴不可以用如图方式框住．
【答案】
（1）,，；
（2）不能．
模块三：
和差倍分问题
和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几．
（1）当较大量是较小量的几倍多几时，；
（2）当较大量是较小量的几倍少几时，．
【例11】一部拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的；第二天耕了剩下部分的，还剩下42公顷没耕完,则这片地共有多少公顷？
【解析】设这片地共有x公顷，第一天耕了这片地的，则耕地公顷，第二天耕了剩下部分的，则第二天耕地（公顷）,根据题意可列方程：
，解得．
【答案】189．
【例12】牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方,一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来，他对牧羊人说：
“你赶的这群羊大概有100只吧!
”牧羊人答道:
“如果这群羊增加一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊一半的一半，连你这只羊也算进去，才刚好凑满100只．”问牧羊人的这群羊共有多少只？
【解析】设这群羊共有只,根据题意可列方程：
，解得。
【答案】36
【例13】有粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛之长时粗蜡烛之长的倍,细蜡烛点完需小时，粗蜡烛点完需小时，有一次停电，将这样的两支未使用过的蜡烛同时点燃，来电时，发现两支蜡烛所剩的长度一样,问停电的时间有多长?
【解析】设停电时间为小时,粗蜡烛长米，则细蜡烛长米，那么细蜡烛每小时点燃米,粗蜡烛没小时点燃米，根据题意可列方程:
，解得
【答案】停电时间为小时
【例14】2006年我市在全国率先成为大面积实施“三免一补”的州市，据悉,2010年我市筹措农村义务教育经费与“三免一补"专项资金3.6亿元【由中央、省、市、县（区）四级共同投入，其中，中央投入的资金约2.98亿元，市级投入的资金分别是县（区）级、省级投入资金的1。
5倍、18倍】,且2010年此项资金比2009年增加1。
69亿元．
【例15】
（1）2009年我市筹措农村义务教育经费与“三免一补"专项资金多少亿元？
【例16】
（2）2010年省、市、县（区）各级投入的农村义务教育经费与“三免一补"专项资金各多少亿元?
【例17】（3）如果按2009—2010年筹措此项资金的年平均增长率计算，预计2011年,我市大约需要筹措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金多少亿元（结果保留一位小数）？
【解析】
（1）（亿元）．
（2）设市级投入x亿元，则县级投入亿元，省级投入亿元，
由题意得：
解得．所以（亿元），（亿元）．
（3）（亿元）．
【答案】
（1）1.91亿元；
（2）省、市、县分别投入0.02亿元、0.36亿元、0。
24亿元；（3）6.8亿元．
模块四：
行程问题
一、行程问题
路程=速度×时间相遇路程=速度和×相遇时间追及路程=速度差×追及时间
二、流水行船问题
顺流速度=静水速度+水流速度逆流速度=静水速度－水流速度
水流速度=×（顺流速度－逆流速度）
三、火车过桥问题
火车过桥问题是一种特殊的行程问题，需要注意从车头至桥起，到车尾离桥止，火车所行距离等于桥长加上车长,列车过桥问题的基本数量关系为：
车速×过桥时间=车长+桥长．
【例18】有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走,甲与乙、丙背向而行．甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米．出发后，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇，求花圃的周长．
【解析】设甲、乙相遇时间为t分钟,则甲、丙相遇时间为分钟，根据题意，由相遇路程相等可列方程
【答案】8892米
【例19】某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟,若每小时行18千米,则比火车开车时间迟到15分钟,现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站,则此人此时骑摩托车的速度应为多少？
【解析】设此人从家里出发到火车开车的时间为小时，
根据题意可列方程:
解得，
此人打算在火车开车前10分钟到达，骑摩托车的速度应为（千米/时）
【答案】27
【例20】甲、乙两车同时从A,B两地出发，相向而行,在A，B两地之间不断往返行驶．甲车到达B地后，在B地停留了2个小时，然后返回A地；乙车到达A地后，马上返回B地;两车在返回的途中又相遇了，相遇的地点距离B地288千米．已知甲车的速度是每小时60千米，乙车的速度是每小时40千米．请问:
A,B两地相距多少千米？
【解析】设A、B两地相距x千米，根据题意可列方程：
，解得
【答案】420千米
【例21】某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，再以每小时9千米的速度走平路到B地，共用了55分钟．回来时，他以每小时8千米的速度通过平路后，再以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用小时,问A、B两地相距多少千米?
【解析】间接设未知数，设从A地到B地共用x小时,根据题意可列方程：
，解得,所以A、B两地相距（千米）
【答案】9千米
【例22】一人步行从甲地去乙地,第一天行若干千米,自第二天起，每一天都比前一天多走同样的路程,这样10天可以到达乙地；如果每天都以第一天所行的相同路程步行，用15天才能到达乙地；如果每天都以第一种走法的最后一天所行的路程步行到乙地，需要几天?
【解析】设a是第一次第一天走的路程，
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