特殊平行四边形与相似练习.docx
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特殊平行四边形与相似练习
特殊平行四边形与相似练习
1．已知菱形在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，，点是对角线上的一个动点，，当最短时，点的坐标为
A．B．C．，D．，
2．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论：
①垂直平分；②；③；④．其中正确结论的个数是
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：
①；②；③；④；⑤，
其中正确的有
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与，交于点，，连接交于点，连接，．若，，则下列结论：
①，；
②；
③四边形是菱形；
④．
其中正确结论的个数是
A．1B．2C．3D．4
5．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：
四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
6．已知：
如图所示，为等腰直角斜边的中点，平分，交于点，延长到点，使，连接，交的延长线于点，连接．
（1）求证：
；
（2）与有什么数量关系？
证明你的结论；
（3）若，求的面积．
7．如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．
（1）探究1：
小强看到图后，很快发现，这需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点是边的中点，因此可以选取的中点，连接后尝试着去证就行了，随即小强写出了如下的证明过程：
证明：
如图1，取的中点，连接．
又
点，分别为正方形的
边和的中点
又可知是等腰直角三角形
又是正方形外角的平分线
（2）探究2：
小强继续探索，如图2，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，发现仍然成立，请你证明这一结论．
（3）探究3：
小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点是边的中点”改为“点是边延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论是否成立呢？
若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．
8．如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．
（1）求证：
；
（2）若，，，求的长．
9．在中，，，，现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段也向点方向运动，如果点的速度是秒，点的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．求：
（1）当时，这时，，两点之间的距离是多少？
（2）若的面积为，求关于的函数关系式．
（3）当为多少秒时，以点，，为顶点的三角形与相似？
10．如图1，在中，，，，动点从点开始沿边向点以1个单位长度的速度运动，动点从点开始沿边向点以每秒2个单位长度的速度运动，过点作，交于点，连接分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．
（1）直接用含的代数式分别表示：
， ．
（2）是否存在的值，使四边形为菱形？
若存在，求出的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求点的速度；
（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段中点所经过的路径长．
11．如图，矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是．矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与、轴分别交于点、．
（1）求点的坐标；
（2）若点是平面内任一点，在轴上是否存在点，使、、、为顶点的四边形是菱形？
若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，动点从点出发，沿轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点从点出发，沿射线方向以每秒1个单位的速度运动，以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上一动点，且满足．
（1）当点在线段上运动时，求证：
四边形为平行四边形；
（2）点在运动过程中，是否存在某个时刻（秒，使得四边形是矩形？
若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
特殊平行四边形与相似练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．已知菱形在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，，点是对角线上的一个动点，，当最短时，点的坐标为
A．B．C．，D．，
【解答】解：
如图连接，，分别交于、，作于．
四边形是菱形，
，，，、关于直线对称，
，
此时最短，
在中，，
，
，
，，
点坐标，
直线解析式为，直线解析式为，
由解得，
点坐标，．
故选：
．
2．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论：
①垂直平分；②；③；④．其中正确结论的个数是
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：
①矩形中，为中点，
，
，
是等边三角形，
，
，
垂直平分，
故①正确；
②为等边三角形，，
，，
，
，
与不全等；
故②错误；
③易知，，
，，
，，
，
，
故③正确；
④易知，
，
，
，
，
，，
，
，
故④正确；
所以其中正确结论的个数为3个；
故选：
．
3．如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：
①；②；③；④；⑤，
其中正确的有
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：
在矩形中，平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，
，（对顶角相等），
，
，
，，
，
，
，故②正确；
，
，
在和中，
，
，
，，故③正确；
，
．故④正确；
，，
不是等边三角形，
，
即，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选：
．
4．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与，交于点，，连接交于点，连接，．若，，则下列结论：
①，；
②；
③四边形是菱形；
④．
其中正确结论的个数是
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：
连接，
四边形是矩形，
，、互相平分，
为中点，
也过点，
，
，，
是等边三角形，
，，
在与中
，
与关于直线对称，
，；
①正确，
，
，
，
，
，
，
，
，
易证，
，
，
四边形是菱形，
③正确，
，
错误．
②错误，
，，
，，
，
，
④正确；
故选：
．
二．解答题（共8小题）
5．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：
四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【解答】解：
（1），
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形；
（2）四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
6．已知：
如图所示，为等腰直角斜边的中点，平分，交于点，延长到点，使，连接，交的延长线于点，连接．
（1）求证：
；
（2）与有什么数量关系？
证明你的结论；
（3）若，求的面积．
【解答】
（1）证明：
在与中，
，
．
（2）解：
．
理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
为的中点，
，
是的中位线，
．
（3）解：
设，则，，
由
（2）知，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，正方形的面积是4个平方单位．
个平方单位．
7．如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．
（1）探究1：
小强看到图后，很快发现，这需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点是边的中点，因此可以选取的中点，连接后尝试着去证就行了，随即小强写出了如下的证明过程：
证明：
如图1，取的中点，连接．
又
点，分别为正方形的边和的中点
又可知是等腰直角三角形
又是正方形外角的平分线
（2）探究2：
小强继续探索，如图2，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，发现仍然成立，请你证明这一结论．
（3）探究3：
小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点是边的中点”改为“点是边延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论是否成立呢？
若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．
【解答】
（2）探究2，证明：
在上截取，连接，
由
（1）知，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
在和中，，
，
；
（3）探究3：
成立，
证明：
延长到，使，连接，
，
，
，
又，
，
即，
在和中，
，
，
．
8．如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．
（1）求证：
；
（2）若，，，求的长．
【解答】
（1）证明：
四边形是平行四边形，，，
，．
，，
．
在与中，
．
（2）解：
四边形是平行四边形，．
由
（1）知，
，．
在中，由勾股定理得：
．
9．在中，，，，现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段也向点方向运动，如果点的速度是秒，点的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．求：
（1）当时，这时，，两点之间的距离是多少？
（2）若的面积为，求关于的函数关系式．
（3）当为多少秒时，以点，，为顶点的三角形与相似？
【解答】解：
由题意得，，则，
（1）当秒时，，，
由勾股定理得；
（2）由题意得，，则，
因此的面积为；
（3）分两种情况：
①当时，，即，解得秒；
②当时，，即，解得秒．
因此秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似．
10．如图1，在中，，，，动点从点开始沿边向点以1个单位长度的速度运动，动点从点开始沿边向点以每秒2个单位长度的速度运动，过点作，交于点，连接分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．
（1）直接用含的代数式分别表示：
， ．
（2）是否存在的值，使四边形为菱形？
若存在，求出的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求点的速度；
（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段中点所经过的路径长．
【解答】解：
（1）根据题意得：
，，
，
在中，，，，，
，
，
．
故答案为：
（1），．
（2）不存在
在中，，，，
，
，
，即，
，
，
，
当时，四边形是平行四边形，
即，解得：
．
当时，，，
，
不能为菱形．
设点的速度为每秒个单位长度，
则，，，
要使四边形为菱形，则，
当时，即，解得：
当，时，即，解得：
当点的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形是菱形．
（3）如图2，以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．
依题意，可知，当时，点的坐标为，当时点的坐标为．
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为．
点，
在运动过程中，线段中点的坐标，．
把代入得，
点在直线上．
过点作轴于点，则，．
线段中点所经过的路径长为单位长度．
11．如图，矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是．矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与、轴分别交于点、．
（1）求点的坐标；
（2）若
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