微分方程及其应用.docx

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微分方程及其应用

第九章微分方程及其应用

§9.1微分方程及其相关概念

所谓微分方程，就是含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程。

例如，以下各式都是微分方程：

⑸F（x,y,y-y（n））=0.

只含一个自变量的微分方程，称为常微分方程，自变量多于一个的称为偏微分方程。

本章只研究常微分方程，因而以后各节提到微分方程时均指常微分方程。

微分方程中所含有的未知函数最高阶导数的阶数，称为该微分方程的阶。

例如，⑴、⑶为一阶方程，⑵、⑷为二阶方程，而⑸为n阶方程。

微分方程中可以不含有自变量或未知函数，但不能不含有导数，否则就不成为微分方程。

微分方程与普通代数方程有着很大的差别，建立微分方程的目的是寻找未知函数本身。

如果

P196

有一个函数满足微分方程，即把它代入微分方程后，使方程变成（对自变量的）恒等式，这个

若方程解中含有独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则称此解为微分方程的通解,

13

女口yx-就是⑴的通解。

3

1

从通解中取定任意常数的一组值所得到的解，称为微分方程的特解。

例如yx3•二就是⑴

3

的一个特解。

用来确定通解中任意常数值的条件称为定解条件，当自变量取某个值时，给出未知函数及其导

数的相应值的条件称为初始条件。

在本章中，我们遇到的用来确定任意常数值的条件一般为初始条

“13

件。

例如，如果⑴的初始条件为y0二二，则在代入到通解yx3c后，可以求得c=”：

，从

3

13

而得到特解yx3*二。

3

一般的，因为n阶微分方程的通解中含有n个独立的任意常数。

需要有n个（一组）定解条件，

所以n阶方程的初始条件为：

y（x°）=y°,y（x°）=力,y"（x°）=y?

…，y"""。

）=y^

其中yo,y1,y2,…，yz为n个给定常数。

微分方程的解所对应的几何图形叫做微分方程的积分曲线。

通解的几何图形是一族积分曲线,特解所对应的几何图形是一族积分曲线中的某一条。

就是满足初始条件y0=二的

13

例如，方程⑴的积分曲线族如图9—1所示。

其中yx•二

3

特解。

§9.2微分方程的经典案例

例1自由落体运动的规律

自由落体运动是指物体在仅受到地球引力的作用下，初速度为零的运动。

根据经典力学的牛顿

第二定律：

物体动量变化的大小与它所受到的外力成正比，其方向与外力的方向一致。

当物体的运

—■5

动速度v的绝对值不大（与光速=310km/s相比较）时，其质量m可以是一恒量。

于是这一运动

定律能表达成

ddv

mv=F,或mF

（1）

dtdt

其中F表示物体所受外力的合力。

对于仅受到地球引力作用的自由落体的运动，则有:

2

g=9.8m/s；

-__dS-

F二mg,v这里g表示重力加速度，其大小一般取为:

dt

S表示自由落体运动的路程，其大小以S表示之。

-__--dS

注意到S的方向与g的方向一致，将F=mg,v=dS代入式⑴后得到自由落体运动立场大小

运动规律式⑵表示一个微分方程问题。

等式

（2）的左端是路程大小S的二次微商它的右端是

常数g。

这里S和g之间不是普通的函数关系，而是二微商的关系。

例2单摆运动

单摆又称为钟摆或数学摆。

所谓单摆运动是指一质量为m>0的小球，用长度为I的柔软细绳

拴住，细绳的一端固定在某点O处。

小球在铅垂平面内运动，略去空气的阻力和细绳在O点处的

摩擦力。

并且认为细绳的长度I不变，仅考虑地球的引力和细绳对小球的拉力（见图9—2）。

在铅垂平面内引进以O为坐标原点的极坐标系统，由于细绳长度不变且细绳总是直的，所以

小球的位置用一个坐标t就能表示。

这里二表示细绳|和铅垂方向之间的夹角。

铅垂方向即是小

球的平衡方向，它对应的二为零。

作用在小球上的地球引力的大小f为mg,其方向铅垂向下。

重力沿细绳方向的分力的大小为

mgcos二，其方向沿细绳指向外。

这个力与小球运动所需要的向心力刚好平衡。

所以小球沿细

绳方向没有运动。

重力在垂直于细绳方向的分力的大小为mgsi，它的方向与角二增加的方向相

反。

根据牛顿第二定律得到单摆运动的规律为:

关系式（4）是包含r及其二接微商的方程，并且二不是线性而是非线性地出现在方程中（以sin=这种非线性形式）。

从方程（4）来求出二随着时间变化规律的分析表达式是困难的。

当I二|比较小时，对微分方程（4）能够进行线性化出处理，即用二代替sin,，或者说，用-

来近似sinr。

这样得到式（4）的线性化微分方程:

在相同初始条件下服从微分方程5"求得的二随时间t变化的规律二t是单摆运动的近似规

（5）

律。

通常将式5"写成如下的规范形式:

dt2

其中k2」。

l

例3真空中的抛射体运动

在真空中运动的抛射体，它的运动规律十分复杂。

这里仅考虑在真空中抛射体的运动规律。

即

忽略抛射体所受的空气阻力，而仅考虑质量为m的抛射体受地球引力作用而引起的运动。

取一直角坐标系Oxyz，Ox轴沿水平方向；Oy轴垂直于Ox轴；Oz轴垂直于xOy平面，并

与Ox轴、Oy轴一起组成右手坐标系。

依牛顿第二定律，抛射体的运动规律为:

d2x

m—2=0

dt2

d2z

m—2mg

dt2

d2y小

m—2=0

dt2

抛射体的初始状态取为:

xO二yO二zO=0;

dx

其中Vo是抛射体的初始速度，位于xOy平面内，Vo表示Vo的大小；〉表示Vo与水平方向（即

Ox轴）之间的夹角（见图9-4）。

例4深水炸弹的水下运动

一质量为m的深水炸弹，从高为hm处自由下落到海中。

这里不考虑深水炸弹在水平方向的

运动，而仅考虑它在铅直方向的运动。

由经典力学知：

物体由高为hm处自由下落至海平面时，

其铅垂方向的速度Vo为：

Vo=.2gh

这里g为重力加速度。

按如下方式取定坐标系：

坐标原点O取在海平面上某处，Ox轴沿铅垂向下，（见图9-5）。

深水炸弹m自高度为hm处自由下落至海平面的时间为t0。

于是深水炸弹的初始状态为：

dx|

xto=0,|t=to=Vo=.2gh

dt

深水炸弹在海中运动时，我们不考虑海水对它的浮力，这时炸弹受到两个力的作用，：

一是地

球引力mg，其方向铅垂向下；另一个是海水对炸弹的摩擦力。

这个摩擦力是很复杂的，它和炸弹的形状、速度等因素有关，这里近似的认为摩擦力的大小和炸弹的速度v成正比，比例系数即摩擦

系数u为常数。

摩擦力的方向与炸弹的速度方向相反，因而是铅垂向上的。

于是摩擦力f能表示

dx

二一uv=-u

dt

解铀的衰变速度就是Mt对时间t的导数钊，由于铀的衰变速度与其含量成正比，故得dt

微分方程型

dt=—几M

dt

其中’■0是常数，叫做衰变系数。

■前置符号是由于当t增加时M单调减少，即型：

：

：

0的缘故。

按题意，初始条件为M|t=0二M0

例6指数增长模型（马尔萨斯人口模型）

英国人口学家马尔萨斯（Malthus，1766-1834）根据百余年的人口统计资料，于1798年提出

了著名的人口指数增长模型。

这个模型的基本假设是：

人口的增长率是常数，或者说，单位时间内

人口的增长量与当时的人口成正比。

记时刻t的人口为xt，当考察一个国家或一个很大地区的人口时，xt是很大的整数。

为了

利用微积分这一数学工具，将xt视为连续、可微函数。

记初始时刻t=0的人口为X。

，人口增长

率为r，r是单位时间内xt的增量与xt的比例系数。

于是，xt满足如下的微分方程：

dx

rx

«dt

込（0）=Xoe"

表明人口将按指数规律无限增长r0。

例7阻滞增长模型（Logistic模型）

例6中的指数增长模型在19世纪前比较符合人口增长情况，但从19世纪以后，就与人口事实

上的增长情况产生了较大的差异。

产生上述现象的主要原因是，随着人口的增加，自然资源，环境条件等因素对人口继续增长的

阻滞作用越来越显著。

如果当人口较少时（相对于资源而言）人口增长率还可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量后，增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减少。

为了使人口预报特别是

长期预报更好的符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设。

将增长率r表示为人口xt的函数rx，按照前面的分析，rx应该是x的减函数。

一个最

简单的假定是设rx为x的线性函数

rx=r-sx，（r,s0）

这里r相当于x=0时的增长率，称固有增长率。

它与指数模型中的增长率r不同（虽然用了

相同的符号）。

显然对于任意的x•0,增长率rx:

：

:

r，为了确定系数s的意义，弓I入自然资源和

环境条件所能容纳的最大人口数量

常微分方程在数学建模中的应用

摘要

随着科学技术的发展，国内资金积累量在不断增加，但是中国人口近几

年还是呈增加的趋势，这样就会影响人均收入。

由于国民收入是资金积累的一部分，国民收入变化可以反映资金积累的变化。

因此研究资金积累、国民

收入与人口增长的关系可以转化成研究资金积累与人口增长的关系。

若国民

平均收入与按人口平均资金积累成正比，说明仅当资金积累的相对增长率大

于人口的相对增长率时，国民平均收入才是增长的。

本文通过微分方程建立有关人口增长与资金积累、国民收入的关系的模型。

关键词：

总资金积累人口平均资金积累国民平均收入资金积累增长人口增长

一、人口预测模型

由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.而此次讨论的则是资金积累、国民收入与人口增长的关系。

在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r,而若国民平均收入x与按人口平均资金积累y成正比，说明反当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的。

在此假设下,推导并求解人口增长与资金积累、国民收入的关系。

二、问题的重述

资金积累、国民收入、与人口增长的关系：

（1）若国民平均收入x与按人口平均资金积累y成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的.

（2）作出k（x）和r（x）的示意图，分析人口激增会引起什么后果.

三、问题分析

人均国民收入主要与国家资金总积累量和总人口数有关，若总人口数的增长率大于资金积累增长率，则增长的资金不能使每一位国民增加收入，只能使少量国民收入增加，因此，总体来说，国家人均收入实际上是减少的。

四、模型假设

假设总资金增长和人口增长均为指数增长，资金积累增长率和人口增长率为二次曲线模型。

五、符号说明

a为国民收入在总资金积累中所占比例；

y（t）为总资金积累量；

N（t）为总人口数；

Nm为人口的峰值；

x（t）为人均国民收入；

r为人口增长率；

k为资金积累增长率。

解：

若国民平均收入x与按人口平均资金积累y成正比，说明反当总资金

积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的

N（k）=Noer（ks

N（t）「e：

J106

所以，当k大于r时，国民收入才会增加

总资金积累的相对增长率示意图

人口相对增长示意图

1980198519901995200020052010

可见，当人口激增时，在一定程度上，人口资金积累和人均国民收入相对减少，人们生活水平就会下降。

因此，国家应该实施宏观调控，以控制人口增长，以保证人们的生活水平进一步提高。

分析人口激增所引起的后果：

1、人口激增会加速资金积累的矛盾。

2、人口激增会提高劳动生产率的矛盾。

3、人口激增会带来工业原料的矛盾。

4、人口激增会影响人们生活水平的提高。

5、人口激增会影响科学事业发展，从而影响中国的发展。

6、人口激增加重环境问题，也是造成环境问题的主要原因。

解决措施：

1、进行一次人口普查，以制定科学的人口政策。

2、大力宣传，使广大人民群群众都了解计划生育的意义，强调国家有

行使干涉生育和控制人口的权力。

3、继续实施计划生育的政策，宣传避孕。

4、加强人与自然的和谐共处，保护环境，人人有责。