国内外数学教育的改革与发展.docx
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国内外数学教育的改革与发展
国内外数学教育的改革与发展
一、数学与数学教育的发展
数学是一门古老而“神秘”的科学。
数学在人类社会的发展进程中起着重要的作用。
数学也是每一位公民所必备的基本素养。
人们的社会生活离不开数学，数学也促进人的个体发展。
因而，数学教育是学校教育的每一个阶段所必需的，特别是基础教育阶段更是如此。
人类对数学的认识与研究和人类自身的发展是同步的，数学教育也随着人类的发展而发展。
认识和理解数学与数学教育的发展对研究小学数学教育有重要意义。
（一）数学的研究对象、特征与发展
小学数学学科是按照一定的需要遵循一定的原则，从数学科学中精心选择和编排形成的。
作为学科的数学与作为科学的数学有密切的联系，又有很大的区别。
认识数学科学的研究对象、主要特征和发展过程有助于人们确定和理解数学教育的目的，认识数学教育的规律和特点。
1．数学的研究对象
数学是人们认识自然与社会的重要工具。
千百年来，人们不断地探索和认识数学、理解和运用数学解决现实问题，对数学的认识也在不断地演变和发展。
数学家、哲学家和数学教育家都有自己对数学研究对象的认识和看法。
恩格斯在《反杜林论》中指出：
“纯数学是以现实世界的空间形式和数量关系，也就是说，以非常现实的材料为对象的。
”这是对数学研究对象的一种经典的理解，也是对数学十分概括和深刻的解释。
数学是对现实世界的事物在数量关系和空间形式方面的抽象，数学来源于人们的生产和生活实践，反过来又为人们的社会实践和日常生活服务，是人类从事各项活动不可缺少的工具。
“数量关系”是算术、代数等领域研究的内容，用来表现现实世界各种数量及其关系。
空间形式主要是几何学研究的内容，研究物体的形状、大小及其相互关系。
人类在社会和生产实践中，不断揭示数量关系和空间形式的规律，并将其不断抽象化、系统化，形成数学科学体系。
随着数学科学的发展，人们对数学本质的认识在发展，数学的研究对象也有很大的扩展，对数学的认识也在不断深入。
人们从不同的角度阐述对数学本质的认识和理解。
一种受到普遍关注的观点认为，数学是关于客观世界的模式的科学。
数学通过揭示各种隐藏着的模式来帮助我们理解周围的世界。
无论是数、关系、形状、推理，还是概率、数理统计，都是人类发展进程中对客观世界某些侧面的数学把握的反映。
数学思维是从抽象开始的，人们用数学的方法认识周围世界时，可以忽视某些无关因素而思考更为本质的问题。
这样的过程，数学家称之为定量思维。
人们从实际中提炼数学问题，抽象为数学模型，再回到现实中进行检验。
从这个意义上，我们可以把数学看做一种技术或一种模型。
“如今的数学远非只是算术和几何，而是由许多部分组成的一门学科。
它处理各种数据、度量和科学观察；进行推理、演绎和证明；形成关于各种自然现象、人类行为和社会体系的数学模型。
人们在从数据到演绎再到应用这个周而复始的周期中运用着数学；从日常家庭生活，如计划一次长途汽车旅行，到一些大型管理问题，安排航空交通或设计投资组合。
‘做数学’的方法远非只是计算或演绎，还包括观察模式、验证猜想和估计结果。
”
数学还是关于客观世界的数学化的过程。
数学家们发现，在数学研究过程中，一个基本的数学过程的循环，它反复出现，形成了最基本的模式，这就是抽象、符号和应用。
而这与人类的基本认识规律是一致的。
荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为，数学化就是数学地组织现实世界的过程。
“数学化是一个过程，只要现实世界在一系列因素的影响下进行着变化、延拓和深化，这个过程就在持续着，这些因素也包括数学，而且数学反过来被变化着的现实所吸收。
”数学化的过程包括横向数学化与纵向数学化。
横向数学化的过程是把生活世界引向符号世界，并将实际的问题抽象为数学问题的过程。
纵向数学化的过程是在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用。
学生不仅要认识已经抽象化了的数学公式与原理，而且要认识数学化的过程，从问题情境出发，了解建立数学模型的过程。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》对数学的描述是：
“数学是研究数量关系和空间形式的科学。
数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。
数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。
”
认识和理解数学的研究对象，有助于我们准确地把握数学科学的基本问题，正确地认识数学在社会进步和个体发展中的作用。
数学所揭示的现实世界中的数量关系和空间图形，并且通过数学化的过程使人们对事物的规律和模型产生一定的认识。
这对于每个公民和每种行业都是需要的，从这个意义上讲，数学教育的重要性是不言而喻的。
2．数学的主要特征
一般认为，数学科学具有抽象性、严谨性和广泛的应用性等特征。
数学的抽象性是指数学来源于实践，是现实世界的事物在数量关系和空间形式上的抽象，在表现形式和处理方法上都具有抽象的特征。
从最简单的数学概念，到比较复杂的函数和图形，都具有抽象性的特征。
如自然数就是现实中具体数量的抽象，“4”这个数可以代表4只羊，4棵树，一年的季度数，一匹马的4条腿等。
一切数量上具有4的特征的事物都可以用4这个数来表示。
因此，4这个抽象的符号抛弃了事物的其他特性，只保留数量这一特征。
几何中的线和图形也同样具有抽象性。
数学中的抽象又有不同的水平和不同的层次。
代数中用字母表示数。
字母相对于数字是一种较高层次的抽象，可以表示一定范围内的任何数。
在研究方法上，从有限的量到无限的量，也是一种抽象的过程。
认识无限的变化过程，比有限数量的运算过程要抽象得多。
数学的抽象过程是随着人们认识水平的提高而不断深化的。
数学的严谨性是指数学中每个定理、定律都要经过严格的证明才能得以成立。
数学的语言和思考过程都要求具有严谨性，合乎逻辑。
数学的证明要从公理出发，经过严格的推导过程，得出合乎逻辑的结论。
平面几何的论证与推理就是这种严谨性的突出代表。
当然，在小学数学教学中，由于学生的年龄特点，并不要求每一个结论都用严格的逻辑证明来实现，但在思考方式上应体现逻辑性。
数学具有广泛的应用性。
由于数学的抽象特征，使其应用的范围十分广泛。
特别是在现代科学技术飞速发展的今天，数学的应用越来越广，不仅在自然科学中得到广泛的应用，而且在许多社会科学领域也越来越多地用到数学的原理和方法。
随着计算机技术的发展，数学的应用会更加广泛。
数学还具有形式化、简单化和符号化等特征。
数学的形式化表现在数学在处理问题时，往往脱离具体的内容，用一种形式的方法解题。
例如，四则运算的运算法则，面积和体积的计算公式。
数学的简单化表现在用数学方法处理和表达事物时，往往要摒弃许多具体的特性，而用一种简单的形式表现出来。
“数学化”的过程是将现实的问题变成数学问题的一种简单化的过程。
引用符号来表示数学中的概念和方法，将符号作为一种语言在数学研究过程中运用也是数学的一个特征。
3．数学的发展过程
数学科学的发展经历了漫长的历史，从人类早期对数学认识开始，大致可以分为五个时期，即萌芽时期、初等数学时期、变量数学时期、近代数学时期和现代数学时期。
在不同时期，人类对数学的认识从低级到高级不断发展。
了解数学的发展过程，有助于我们研究小学数学学科的有关问题。
（1）萌芽时期（公元前5世纪以前）。
数学的产生与人类文明的发展紧密相联，数学的萌芽时期开始于几个文明古国，包括古巴比伦、古埃及和中国。
这个时期，由于生产力的逐步发展，人们要对获取物资和生活资料作出量的估计，于是就产生了自然数、分数和四则运算。
而由于测量土地的需要，人们逐步形成了对几何概念的认识和几何方法的研究。
例如，由于尼罗河的泛滥，两岸田地经常被冲刷而分不清界线，需要重新测量，就促进了几何学的发展。
这一时期数学的发展十分缓慢，形成的知识也是片断的、零碎的和缺乏逻辑的，没有严密的体系。
（2）初等数学时期（公元前5世纪至17世纪中叶）。
这一时期由于生产力的发展，促进了数学的发展，逐步创立了系统的初等数学体系。
欧几里得在前人研究的基础上完成了《几何原本》，在这本书中建立了一套严格的论证体系，用公理、定义和严密的逻辑方法进行论证。
这标志着数学从具体的实验阶段过渡到抽象的理论阶段，数学逐步成为一门独立的演绎学科。
这一时期出现了阿拉伯数字系统。
这套数字系统从5世纪左右开始在印度使用，后来经过阿拉伯传到欧洲大陆，对数学的发展产生了相当大的影响。
这一时期中国的数学取得了辉煌的成就。
在公元前2世纪左右成书的《周髀算经》中就有关于勾股定理的记载。
公元前1世纪左右成书的《九章算术》中，已有一元方程组的解法和正负数加减法等内容。
这标志着中国古代已经形成了一定的数学体系。
这一时期数学的主要特点是：
建立了初等数学体系；开始运用比较科学的计数方法；运用较严格的数学论证方法。
小学阶段的数学内容，大部分形成于数学发展史的前两个阶段，包括整数、小数、分数及其四则运算，十进制计数法，平面几何的主要内容等。
（3）变量数学时期（17世纪中叶至19世纪初）。
17世纪初，欧洲开始进入资本主义社会，生产方式逐步由手工业向机器工业过渡，大大推进了科学技术的发展。
当时的航海、军事、运河开凿等都需要复杂的计算，初等数学方法已经满足不了日益发展的需要。
于是就开始研究变量数学，研究函数的变化规律。
解析几何和微积分的出现是变量数学发展的重要标志。
笛卡儿创立的直角坐标系，为变量数学的发展提供了有力的工具。
有了变量，运动进入了数学，有了变量和运动的观念，为微积分的建立提供了条件。
牛顿和莱布尼兹同时建立的微积分学，是这一时期数学发展的最辉煌的成就，对近代数学的发展起非常重要的作用。
这一阶段概率论和影射几何等数学分支的出现，也使数学涉及的内容更加丰富，数学的应用也越来越广泛。
（4）近代数学时期（19世纪初至二战以前）。
19世纪20年代以后，数学发生了一系列重要的变化，数学的研究领域也在不断扩展。
俄国的罗巴切夫斯基创立的非欧几何，使几何学的研究有了新的进展。
近世代数、拓扑学、概率论等新的研究领域的发展，使数学科学研究面貌一新，数学进入了近代数学时期。
非欧几何否定了欧氏几何的平行公理的演绎系统，为几何学的研究开创了更广阔的领域。
近世代数将代数学的研究对象扩展为向量、矩阵等，转向了对代数系统结构本身的研究。
这些都使数学的研究更加深入，数学解决问题的范围更加广泛。
（5）现代数学时期（二战以后）。
二战以后，世界发生了巨大的变化，特别是科学技术有了突飞猛进的发展。
空间技术的发展，计算机的出现和飞速发展，都为人类社会的发展带来了前所未有的变化。
科技和社会的发展，对数学科学的要求不断提高，一方面要求用新的数学方法解决科学技术上的问题，另一方面数学方法也应用于更加广阔的领域。
以往的数学只是应用于物理学、天文学、化学、工程学等领域，而随着现代科学技术的发展，数学还应用于生物学、神经系统、思维规律和语言学等学科的研究。
计算机的发展对数学自身的发展和广泛的运用起了重要作用，改变了数学的整个面貌，数学家运用数学和计算机技术解决各种各样的实际问题。
随着经典数学的繁荣和统一，许多新的应用数学方法的产生，特别是计算机的出现及其与数学的结合，使得20世纪中叶以来，数学与社会的联系更加直接，对社会的发展起着空前巨大的作用。
数学与计算机的结合，有助于人们收集、整理、描述信息，建立模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。
计算机的出现，正在改变以往数学家主要利用纸、笔进行工作的方式，如今观察、实验、模拟、猜测、矫正和调控等，已经成为人们应用数学的重要策略。
现代数学的空前发展以及对社会的突出作用，势必对数学教育产生重大的影响，使人们认识到数学课程应该通过丰富的客观世界中的问题，体现数学刻画世界的过程和全貌，使学生体会数学与现实世界和人类进步的密切联系。
数学教学应该让学生体会数学研究的基本方法：
观察、尝试、收集信息、合情推理、建立猜想、验证与证明。
这种研究方法的熏陶，将使人终生受益。
当代数学和计算机技术的发展，为基础教育数学课程内容的选择提供了重要的依据，也为我们反思什么是学生应该掌握的基础知识和基本技能提供了指导。
统计与概率、图形与几何、计算器的应用等在数学课程中应当有所体现和加强，建模、变换、算法等数学思想在数学课程中应有所体现。
从数学的发展过程中我们可以看出，数学的产生和发展与人类生产实践密切相关，数学来源于人们的生活和生产实际。
同时，科学技术的发展促进了数学学科的发展。
生产和科学技术的发展向数学提出了新的要求，而数学领域的扩展和数学方法的进步，也为科学技术的发展提供了有力的工具。
（二）数学科学与小学数学学科
数学科学以研究客观世界的数量关系和空间形式的规律为目的，具有严谨的科学体系和逻辑的系统方法。
小学数学学科以培养学生，使学生了解数学，形成一定的数学素养为目的，是学生全面发展教育的一个组成部分。
作为学科的小学数学，是从数学科学中选择而形成的，但小学数学学科内容并不是将数学科学某些内容简单地组合在一起形成的。
小学数学学科有自己的目的、内容结构和呈现方式。
作为学科的小学数学与数学科学有着密切的联系，但又存在明显的区别。
充分认识两者之间的联系与区别，对于我们认识和理解小学数学教育规律有十分重要的意义。
作为学科的小学数学是数学科学的一部分，包括算术、几何初步、代数初步和统计初步知识，以及与这些知识有关的技能和方法等。
这些内容与数学科学有密切的关系。
它们源于数学科学，遵循数学自身的科学性，同数学科学有相似之处。
比如．数学本身的抽象性、形式化、符号化等特征，在数学学科中都有不同程度的反映。
正是这些才保持了数学学科的基本性质。
但这些内容又不同于数学科学，因为学科数学是以培养人为目标的，数学科学是以阐述数学的原理为目标的。
学科数学需要考虑如何使学生理解和掌握数学的有关内容，并通过这些内容的学习发展他们的思维水平，提高他们的认知能力。
因此，作为学科的数学在内容的选择、内容的组织和呈现方式上，都要考虑教育对象的年龄特点和接受水平。
数学科学与数学学科的主要区别表现在以下几个方面。
第一，数学科学要对数学的理论与方法进行系统阐述，一般从基本的概念和原理出发，全面完整地、系统地表述某一个数学领域的内容和方法。
而数学学科要考虑学生的心理特点和认识规律，从学生的学习需要和可能出发，安排和呈现有关的内容和方法。
因此，数学学科一般要从学生的生活实际出发，让学生充分感知所学的内容和方法。
比如，对于数学概念的认识，不是从数概念体系论述，而是从学生熟悉的实际，通过具体的实物，让学生通过操作、演示等方式直观具体地学习。
第二，数学科学对所有的定理、公式、法则等都要进行严格的论证和推导，以保证其逻辑性和严谨性。
而数学学科要从学生的接受能力出发，往往不作严格的论证，只是通过列举的方式，用归纳的方法得出结论，让学生具体地认识有关的原理。
比如，加法和乘法的运算定律，就是用列举实例的方法，通过归纳得出的。
让学生观察实例，列出有关的算式：
4×5＝20 5×4＝20 所以4×5＝5×4
12×5＝60 5×12＝60 所以12×5＝5×12
35×4＝140 4×35＝140 所以35X4＝4×35
进而可以得出这样的结论，两个数相乘，交换因数的位置，结果不变，这就是乘法的交换律，用字母可以写成：
a×b＝b×a
这样的阐述过程，对于学生是可以接受的，虽然不是数学科学意义的严格证明，但也不违反数学的科学性。
在数学学科内容的阐述上是允许的，也是必要的。
第三，数学科学可以完全按照数学自身的理论体系和逻辑顺序安排，尽量使内容完整化、系统化和科学化。
而数学学科在不影响内容的科学性的前提下，应当考虑儿童的认知规律，一些内容的呈现顺序和编排方式可作适当的调整。
比如，小数作为数学概念系统的一部分，从科学体系的角度看，可以理解为十进分数。
因此，完全按照数学的逻辑顺序，应当是先学习分数，再学习小数。
但是从学生的认识特点来看，小数与整数联系密切，学生学习整数之后，再学习小数比较容易。
因此，在数学学科体系中，往往在学习整数之后，先学习小数再学习分数。
这样安排符合学生的认识规律，也不违背数学的科学性，只是呈现的次序与严格的数学系统不同。
（三）数学教育的改革与发展
数学教育有悠久的历史。
古希腊与古埃及的几何学，我国《周礼》中提出的“六艺”（礼、乐、射、御、书、数），都体现数学教育思想。
而真正作为国民教育的数学教育，则始于西方工业革命时代。
1760年，英国的普里斯特利（JosephPriestly）首先提出基础的学术性课程，其中包括数学课程。
从此以后，数学作为基础教育的一个重要组成部分，在不同的国度，在不同的教育体系，扮演着越来越重要的角色，对数学教育的研究表现出不同观点和流派。
不同的国家和地区都十分重视数学教育的改革与发展。
数学教育的改革往往是基础教育改革的先导，从数学教育改革的理念和做法，也可以透视整个基础教育改革的动向和趋势。
二、国外数学教育改革的特点与趋势
20世纪50年代以来，数学课程在世界范围内产生很大的变化，出现了令人瞩目的发展。
“新数学”运动的兴起与发展，以及由此而产生的一系列影响与反思，带动了世界范围内数学教育的改革。
这些改革虽然千姿百态，对其评价也褒贬不一，但确实推动了国际范围内数学课程的发展，使人们不懈地以新的观点和不同的视角来审视数学课程的发展，设计数学课程的未来。
二战后，国际的政治、经济发展进入一个新的阶段。
国际上的竞争也日趋激烈。
1957年，苏联的第一颗人造卫星上天，使美国人感到了教育改革的迫切性。
这就成为进行新数学改革运动的直接原因。
而“新数学”运动的更深层的主要原因，是“大学数学课程和中学数学课程的严重脱节”。
随着普及义务教育的推行，越来越多的人接受中等和高等教育。
因而，需要改变以往的那种精英式的教育。
这就需要从教育的目标、内容和方法等多方面进行全面的反思与改革。
“新数学”运动就是在这样一个大的背景下提出和发展起来的，以至成为二战后国际数学教育改革的一个重要标志。
“新数学”或者叫数学教育现代化，主要表现在数学教育思想和数学教育的内容结构上的转变。
在教育思想上，它重视学生能力的培养，重视学生学习数学的知识结构，表现数学科学的最新进展。
它在教学内容的改革方面表现出这样几个特点：
一是精简和调整传统的数学内容，如烦琐的计算，脱离实际的问题等；二是增加现代数学的内容，如集合、函数、统计等；三是强调教授学科的基本结构。
“新数学”的功与过自有评论，但它所强调的重视知识的结构，使学生更早地接触和了解现代数学的概念和方法，提倡运用发现法和问题解决的策略进行数学教学等主张都是积极的，并在以后的课程改革中产生不可忽视的影响。
而“新数学”过于强调数学的结构和表现形式的过分抽象化，忽视了学生的学习能力，以至于使学生数学基础大大下降。
这引起许多人的批评和强烈反对。
从20世纪70年代起人们提出要“回到基础”，重新重视对学生的基础知识和基本技能的培养。
但我们可以发现，这种“回到基础”并不是对以往做法的简单重复，而是在对“新数学”运动进行反思的基础上的一种再思考。
它在重视学生基础的同时，也将改革过程中的一些观念渗透其中。
例如，美国全国数学监察议事会1975年认为基本的数学技能包括以下10个主要项目：
●解答在陌生情况之下所产生的数学问题；
●把数学知识应用到日常生活中；
●审查所得到的答案是否合理；
●估计数量、长度、距离、重量等的近似值；
●进行整数、小数、分数和百分数的四则运算；
●认识简单的几何图形和性质；
●以公制和英制量度各种分量；
●制作和理解简单图表；
●认识概率在预测偶然事件发生的用途；
●认识计算机在社会上的种种用途，并且知道计算机所能做到的和所不能做到的事情。
“回到基础”是对“新数学”运动所带来的问题的反思，也是对数学教育的一种重新思考。
但这种反思的结果是否真的被人们接受，是否能解决数学教育所面临的一系列问题，也还是一个未知数。
20世纪80年代以来，人们对数学教育的改革又提出许多新问题和新的思考。
诸如“大众数学”的提出和发展；“问题解决”的深入研究；计算机（计算器）在数学教育中的作用等方面的问题，都越来越受到人们的重视和研究。
同时，在世界范围内对数学教育的全面评价也引起人们的充分重视。
从80年代起，国际教育成就评价协会（IEA）对数学教育进行了三次大规模的评估，使人们对国际数学教育的发展情况有一个总体的认识。
东亚地区，特别是华人地区在数学教育方面所取得的成就，也受到人们的重视和研究。
其间先后发表的两份重要的文献，对数学教育的改革起了重要的作用。
一是1987年英国的《科克罗夫特报告》（MathematicsCounts，中译为《数学算数》），对英国数学教育中的问题进行了深入的调查和分析。
这里摘录几段文字，从中可以看出研究者对数学教育问题的认识与思考。
比如，对“为什么教数学”的认识。
“毫无疑问，人们普遍都同意每个儿童在学校都应该学习数学；其实，大多数人认为学习数学，加上学习英语，是必不可少的。
”“数学只是学校课程所包括的很多学科之一，但是对儿童来说，在数学上取得成功比在其他学科（例如，历史或地理）压力更大，即使人们普遍认可这些学科也应该成为学校课程的一部分。
”“我们认为，所有这些对数学有用性的理解都来源于这样的事实，即数学提供了一种有力的、简洁的和准确无误的交流信息的手段。
”“教数学的第二个重要理由一定是它在其他很多领域的重要性和有用性。
”
二是1989年美国出版的《人人关心数学教育的未来》（EverybodyCounts）一书中提出未来数学教育的七个转变。
其中之一就是学校数学教育要从双重使命（多数人学很少的数学，少数人学进一步数学）转到单一使命，即使所有学生都要学习共同的核心数学。
在普及义务教育条件下，要把数学作为每一个公民必须掌握的工具，而不是作为选拔人才的标准。
在教学上要注重学生的年龄特点和个别差异，使数学成为学生喜欢的学科，而不是令人望而生畏的学科。
20世纪80年代以来，人们对数学教育的改革与发展提出了以下两个重要问题。
1．大众数学
数学历来被认为是抽象的和神秘的。
“新数学”运动之所以失败，一个重要的原因就在于将本来就令人望而生畏的数学，蒙上一层更加神秘的面纱。
这从数学自身来看似乎是合理的，但对于广大的学生和走向社会的公民来说，却是难以接受的。
而在普及教育的大背景下，数学教育应该走什么样的路，如何让更多的人学习数学，喜欢数学，应用数学，成为数学教育改革的一个重要的问题。
一般认为，大众数学提出的主要背景有两个方面。
一是普及教育发展的需要。
数学常常与人才的选拔联系在一起，成为选择尖子生的一个重要依据。
学生学习数学的主要目标就是为升学和找到好的工作做准备。
数学成绩好也是衡量一个人实力的重要标志。
而随着普及教育的提出，更多的人有接受教育的机会，设计为更多的人的数学就成为人们关心的课题。
大量的学生不是为了学习数学专业而学习数学，而是因为一般的工作和日常生活的需要而学习数学。
因此，学校应该为大部分学生的这种需要设计和实施数学教育。
二是“回到基础”的推动。
人们通过对“新数学”运动的反思，自然会提出以下问题。
学校数学应该是什么样的？
学生应该学习什么样的数学？
是只有少数人能懂的数学，还是多数人都能学会的数学？
是培养数学家的数学，还是为普通公民的数学？
因此，一些学者提出“为大众的数学”（MathematicsforAll）。
大众数学或为大众的数学所要解决的是以下问题：
●学校数学是否应当为大多数人而设？
●为大多数人的数学是什么样的数学？
●如何设计为大多数人的数学课程？
大众数学的主要特征表现为以下几点：
●“人人学习有用的数学”；
●“不同的人学习不同的数学”；
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