因数与倍数.docx
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因数与倍数
因数与倍数
热点考点讲析
例1自然数1~10中,既是奇数又是合数的是( ),既是偶数又是质数的是( ).
解:
在10以内的自然数中,既是奇数又是合数的数是9;在10以内的自然数中,既是偶数又是质数的是2;
故答案为:
9,2.故答案为:
9;2
解析根据题意在10以内的自然数中,合数有4、6、8、9、10,其中奇数是9;在10以内的自然数中,质数有2、3、5、7,其中偶数是2,据此可答.本题主要考查质数与合数、奇数与偶数的意义,在自然数中,除了1和它本身外,没有别的因数的数为质数;自然数中,除了1和它本身外,还有别的因数的数为合数;自然数中,能被2整除的数为偶数,不能被2整除的数为奇数.
举一反三训练1
1.在自然数中最小的偶数是( ),最小的奇数是( ),最小的合数是( ),最小的质数是( ).
解:
在自然数中最小的偶数是0,最小的奇数是1,最小的合数是4,最小的质数是2.故答案为:
0;1;4;2
解析在自然数中,是2的倍数的数叫做偶数(0也是偶数),不是2的倍数的数叫做奇数,0是最小的偶数,1是最小的奇数;一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数,除了1和它本身还有别的因数的数叫做合数,4是最小的合数,2是最小的质数.
本题重点考查了自然数、奇数与偶数、合数与质数的意义.在自然数中,是2的倍数的数叫做偶数(0也是偶数),不是2的倍数的数叫做奇数;一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数,除了1和它本身还有别的因数的数叫做合数.
2.在1、2、3、5、6、9、15中,( )是奇数,( )是偶数,( )是质数,( )是合数.
解:
在1、2、3、5、6、9、15中,(1、3、5、9、15)是奇数,(2、6)是偶数,(2、3、5)是质数,(6、9、15)是合数.
故答案为:
1;3;5;9;15,2;6,2;3;5,6;9;15
解析在自然数中,奇数俗称单数,偶数俗称双数,而只有1和它本身两个因数的数叫做质数,除了1和它本身,还有其它因数的数叫做合数.
3.警察叔叔在查找一辆肇事汽车的车牌号(四位数).一位目击者提供说:
“第一位数字最小,最后两位数是最大的两位偶数,前两位数字的乘积的4倍刚好比后两位数少2.”你能帮警察叔叔猜出这个车牌号吗?
解:
98-2=96=24×4,故前两位数字乘积为24,又∵3×8=24,4×6=24,且第一位数字最小,∴车牌号为3898或4698.
故答案为:
3898或4698(98-2=96=24×4,24=3×8或4×6)
此题需清楚最大的两位偶数是什么,考查了学生的分析、推理能力.
解析最大的两位偶数98,98-2=96,即前两位数字的乘积的4倍96,则前两位数字的乘积为96÷4=24,由3×8=24,4×6=24,又算一位数字最小,可推测出车牌号.
例224因数共有几个?
其中质数有几个?
答案因数共有1,2,3,4,6,8,12.质数有1,2,3.
举一反三训练1
1.已知m=2×3×5,那么m的全部因数共有 ()个.
解:
(1+1)×(1+1)×(1+1)=8.故答案为:
8
此题考查了一个数的因数个数的计算.
解析把每个质因数的次方数加1,再把所得的和相乘即可.
2.
3.A=2×3×n²,B=3×n²×5,那么A与B共有()个因数.
解析根据题目分析,A的因数有1、2、3、6、2n²、3n²、6n²、n²、n、3n、2n、6n,有12个,B的因数有1、3、5、15、3n²、5n²、15n²、n²、n、3n、5n、15n,有12个,去除重复的个数,A和B一共有18个因数.
解:
A的因数:
1、2、3、6、2n²、3n²、6n²、n²、n、3n、2n、6n,有12个;
B的因数:
1、3、5、15、3n²、5n²、15n²、n²、n、3n、5n、15n,有12个,
重复的个数有6个,
所以A与B共有因数的个数是:
12+12-6=18(个)故答案为:
18
例37()3()既是2的倍数,又是5的倍数,同时又是3的倍数,求出这个四位数.
答案这个题是检测你是否能灵活运用2、3、5的倍数的特征来解体的一道综合应用题.一个数要是2的倍数,个位上必须是0,2,4,6,8中的一个数;是5的倍数,个位上必须是0或5;是3的倍数,这个数个位上的数字的和必须是3的倍数.首先,个位上必须填0,这样就满足了同时是2和5的倍数这两个条件.在考虑是3的倍数,
10是3的3倍多1,或是3的4倍少2,所以加上2就是3的倍数,
这四位数就是:
7230,7530或7830
举一反三训练3
1.
(1)同时是2和3的倍数的数,个位上一定是偶数,同时这个数各个数位上的数相加之和是3的倍数,所以同时是2和3的倍数最大三位数是996。
2.从0,7,5,3四张数字卡片中挑三张排成同时是2,3,5的倍数的三位数,这样的三位数共有() 个.
解:
要使0,7,5,3组成的三位数能被2、3、5除数能被整数,则三位数能被30整除则,此三位数末尾有零,由题可知只有750和570符合题意.故答案为:
2
解析先求出2、3、5的最小公倍数,符合条件的由0,7,5,3组成的三位数的个数.
掌握求最小公倍数的方法是解答此题的关键.
3.在 ()里填上合适的数字.
(1)同时是2和3的倍数.52(), 1() 70
(2)同时是3和5的倍数. ()70,9() 0
(3)同时是2,5和3的倍数. ()40,5 ()0
解:
(1)同时是2和3的倍数的是522 和1170
(2)同时是3和5的倍数的是270和930
(3)同时是2,5和3的倍数的是240和510
故答案为:
(1)522 ; 1170
(2)270 ; 930(3)240 ; 510
解析根据题意可知,该题可以利用2、3、5的倍数的特征的相关知识点来进行解答,根据题意可知,2、3和5的特征可知道,这个数的个位数字应该是0该题主要是考查学生对2、3、5的倍数的特征的相关知识点的掌握及其应用能力,该题的出题难度是比较基础的,但是题目很灵活,所以在解题的时候要谨慎
例4有四个小朋友,他们的年龄一个比一个大一岁,将他们的年龄数相乘,积是5040,求这四个小朋友的年龄.
解:
5040=2×2×2×2×3×3×5×7=(2×2×2)×(3×3)×(5×2)×7=8×9×10×7;
所以这四个小朋友的年龄分别7岁、8岁、9岁、10岁.
故答案为:
7岁;8岁;9岁;10岁.
解析这四个小朋友的年龄,一个比一个大一岁,实际就是告诉我们这是四个连续的自然数,它们的积是5040,我们可以先把5040分解质因数,再把这些质因数进行组合,把5040写成4个连续自然数相乘的形式.
此题考查运用自然数列的规律和分解质因数的方法解决问题,已知四个连续自然数的积是多少,先把这个积分解质因数,再把这些质因数进行恰当地组合,把它写成4个连续自然数相乘的形式,这四个连续的自然数就是要求的数.
举一反三训练4
1.张明是个初中生,有一次,它参加数学竞赛所得的成绩、名次和他的年龄三者的积是3312.张明的成绩、名次和年龄分别是多少?
解:
3312=2×2×2×2×3×3×23 =3×12×92
因为张明是个初中生,所以张明12岁,
答:
张明的成绩是92分,名次是第三名,年龄是12岁.
故答案为:
92分;第三名;12岁
解析将3312分解质因数:
3312=2×2×2×2×3×3×23=12×276,根据张明是初中生,所以张明的年龄在12岁左右,那么他的名次和成绩的积是276,再将276分解质因数,找到合适的名次和成绩即可.
把一个合数分解质因数,先用一个能整除这个数的质数(通常从最小的质数开始)去除,除得的商如果是质数,就把除数和商写成相乘的形式;除得的商是合数,按照上面的方法继续除下去,直到得出的商是质数为止,然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式.
2.有4名学生恰好一个比一个1岁,他们年龄的乘积为3024.如果把4名学生的年龄按从小到大的顺序排列,那么第二个学生多少岁?
解:
3024=2 4 ×3 3 ×7=6×7×8×9,第二个学生7岁.
此题需掌握合数分解质因数的方法;考查了学生的分析、推骨骼肌能力.
解析先将3024分解质因数,然后再组合成符合题意的一组因数.
3.王老师带领同学们擦玻璃,同学们恰好平均分成3组.如果师生每人擦的块数同样多,且一共擦了111块,那么平均每人擦了多少块?
解:
答:
那么平均每人擦了3块.
解析由题意可知,平均每人擦的块数
参加的总人数
(块),把111分解质因数可得:
再由“王老师带领同学们擦玻璃,同学们恰好平均分成3组”这句话可挖掘一个隐含条件:
师生总人数是被3除余1的数;而在37和3中,只有37被3除余1,即参加擦玻璃的师生总人数为37人;所以平均每人擦了3块.
“王老师带领同学们擦玻璃,同学们恰好平均分成3组”这句话可挖掘一个隐含条件:
师生总人数是被3除余1的数,是解答本题的关键.
冲刺自我检测
一、判断。
(对的打“√”,错的打“×”)(10分)
1.
,所以说50是0.5的倍数,0.5是50的因数。
()
2.把2004分解质因数是
。
()
3.
的积一定是2、3、5的倍数。
(a是大于0的自然数)()
4.a是一个非0的自然数,那么2a+1一定是个奇数。
()
5.除2外,所有的质数都是奇数。
()
6.两个合数一定不是互质数。
()
7.因为
,所以3、4、5都是60的质因数。
()
8.三个连续非0自然数的积一定是6的倍数。
()
9.一个自然数不是奇数就是偶数,不是合数就是质数。
10.如果a是x,y,z的公因数,那么x,y,z的积一定是a的倍数。
()
二、选择(20分)
1.一个质数的因数有 () 个,一个合数的因数至少有 ()个.
C.无数.
解:
一个质数的因数有2个,一个合数的因数至少有3个.
所以A选项是正确的,B.
解析根据质数与合数的意义:
一个数如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数.一个数如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数.据此解答.
2.两个奇数的和一定是()数,积一定是()。
A.奇B.偶C.质D.合
解:
两个奇数的和一定是偶数,积一定是奇数.故答案为:
B,A
解析根据奇数加奇数,奇数乘奇数的特点来求解.
3.已知
,那么
的因数有()个。
答案a=2×2×3×3×5
a的因数有1、2、3、4、5、6、9、10、12、15、18、20、30、36、45、60、90、180,共18个。
故答案为:
18
4.1、3、7都是21的()
A.质因数B公因数C奇数D因数
答案D
解析因为1×3×7=21,说明1、3和7是21的因数,只有3和7是质数,所以3和7是21的质因数,但是1既不是质数,也不是合数,由此选出答案即可.
解答:
因为1×3×7=21,所以1、3、7是21的因数;
因3、7都是质数,3、7是21的质因数,但1既不是质数,也不是合数,.
故选D.
点评:
此题主要考查质因数与因数的区别:
是一个数的因数,如果都是质数,这样的数就是这个数的质因数,注意一个数的因数可以有1.
5.列各数,分解质因数后,只含有质因数3的是
A.12
B.18
C.81
D.105
答案C
6.两个不同的非0自然数相乘,所得的积().
A.一定是质数B.一定是合数C.可能是质数,也可能是合数
解:
1×2=2,2×6=12,由以上可个等式可知,两个不同的非0自然数相乘,所得的积可能是质数,也可能是合数.故答案为:
c
解析此题可举例子,进行排除.此题考查了质数与合数的知识.
7有168名学生参加夏令营活动,把他们平均分成若干队,每队的人数不少于10人,也不多于30人,有()种不同的分法.
A.2B.3C.4D.5
解:
168=2×2×2×3×7,又因为每队的人数在10人和30人之间,所以每队的人数可以为12人,14人,21人,24人,28人,所以共有5种不同的分法,D选项正确.故答案为:
d
本题运用了分解质因数的方法的知识点解题.
解析:
将168进行质因数分解,再判断分法的种类.
8在自然数1~1000中,不是7和13的倍数的数有()个.
A.218B.772C.782D.792
【解析】先求出在1~1000这1000个自然数中7的倍数的个数,再求出13的倍数的个数,以及7和13的公倍数的个数,根据容斥原理解答即可.
解:
在1~1000的自然数中,7的倍数有:
1000÷7=142(个),
13的倍数有:
1000÷13=76(个),
7×13=91的倍数共有:
1000÷(7×13)=10(个),
故是7或是13的倍数共有:
142+76-10=208(个),
从而既不是7的倍数,又不是13的倍数的数共有:
1000-208=792(个);
故答案为:
D.故答案为:
d
【点评】解答此题的关键是先找出7的倍数和13的倍数,再找出7和13的倍数,再根据容斥原理解答即可.
9.用2、3、4这三张数字卡片组成一个三位数,使这个三位数既是2的倍数,又有因数3,一共可以组成( )个符合要求的三位数.
A.2B.3C.4
解:
用2、3、4三个数字组成一个三位数有:
234、243、324、342、432、423.
既是2的倍数,又有因数3的有:
234、324、342、432.
所以,符合要求的数有4个,故选C.故答案为:
c
解析本题要运用到数的整除特征即能被2、3整除数的特征,能被2整除数的特征是数的末尾是0、2、4、6、8;各个数位上数的和能被3整除这个数就能被3整除,用2、3、4三个数字组成一个三位数有6个,使它既是2的倍数,又有因数3,即可解答.
本题考查了数的整除特征,即能被2、3整除的数的特征,同时考查了数的排列.先写出三个数能组成的三位数,再根据能被2和3整除数的特征依次选出符合要求的数即可.
10.用
四个数字组成的所有四位数都是
的倍数
无法确定
答案故选(B)。
各位数字之和=0+1+3+5=9,能被3整除,组成的所有的四位数都是3的倍数。
2的倍数,只有个位数是偶数才可以,个位数为0时才可以,其余都不可以;5的倍数只有个位数是0或5可以
三、填空
1.最小的质数是( ),最小的合数是( ),奇数中最小的合数是( ),最小的偶数是( ).
解:
由思路启发可知,最小的质数是
(2),最小的合数是(4),奇数中最小的合数是(9),最小的偶数是
(2).故答案为:
2;4;9;2.
解析奇数:
不是2的倍数的数是奇数;
偶数:
是2的倍数的数是偶数;
质数:
一个自然数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫质数;
合数:
一个自然数,如果除了一和它本身,还有别的因数,这样的数叫合数;根据上述概念来解答本题.
2.同时是3和5的倍数的两位数中,最大的奇数是(),最小的偶数是()
解:
由分析知:
1个两位数,能同时被3和5整除,这个数如果是奇数,最大是75,如果是偶数,最小是30;故答案为:
75,30.
解析
(1)能被5整除,又因为是奇数,所以这个数的个位是5;又因为这个数能被3整除,所以该数各个数位上数的和能被3整除,因为
12能被3整除,即得出该两位数的十位为7;
(2))能被5整除,又因为是偶数,所以这个数的个位是0;又因为这个数能被3整除,所以该数各个数位上数的和能被3整除,因为
3能被3整除,即得出该两位数的十位为3;
解答此题的关键是根据能被3和5整除的数的特征进行解答即可得出结论.
3.同时是2、3、5倍数的最小三位数是 () ,把它分解质因数是()
解:
是2和5的倍数的最小三位数是100,又因为
所以同时是2、3、5倍数的最小三位数是120.
故答案为:
120,
解析求同时是2、3、5倍数的最小三位数,首先知道这个数的个位上是0,再看看三个位上的数字和是3的倍数即可,再把这个合数写成几个质数的连乘形式.
4.写出21~30各数的因数,再把它们分别填入圈里
21的因数有(),22的因数有(),
23的因数有(),24的因数有(),
25的因数有(),26的因数有(),
27的因数有(),28的因数有(),
29的因数有(),30的因数有().
答案【解析】解答本题时,我们首先要知道一点,合数指自然数中除了能被1和本身整除外,还能被其他的数整除(不包括0)的数,质数指自然数中只能被1和本身整除的数.【答案】解:
21的因数有(1、3、7、21),
22的因数有(1、2、11、22),
23的因数有(1、23),
24的因数有(1、2、3、4、6、8、12、24),
25的因数有(1、5、25),
26的因数有(1、2、13、26),
27的因数有(1、3、9、27),
28的因数有(1、2、4、7、14、28),
29的因数有(1、29),
30的因数有(1、2、3、5、6、10、15、30).
故答案为:
1、3、7、21;
1、2、11、22;
1、23;
1、2、3、4、6、8、12、24;
1、5、25;
1、2、13、26;
1、3、9、27;
1、2、4、7、14、28;
1、29;
1、2、3、5、6、10、15、30;
【点评】本题主要考查了质数和合数的意义,合数指自然数中除了能被1和本身整除外,还能被其他的数整除(不包括0)的数,质数指自然数中只能被1和本身整除的数,据此即可解答本题.
5.在1到9这九个数中,相邻的两个质数是()和()
答案2,3解:
在1到9这九个数中,相邻的两个质数是2和3;故答案为:
2,3.
解析根据质数、合数的意义,一个自然数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数.一个自然数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数.1既不是质数也不是合数.据此解答.
此题考查的目的是理解和掌握质数与合数的意义.
6.一个三位数的最高位上是最小的合数,最低位上是最小的质数,它还同时是2和3的倍数,它最大是() ,最小是 ()
解:
最小的合数是4,所以这个三位数的百位是4;最小的质数是2,确定这个三位数的个位是2,这个三位数必是2的倍数;根据3的倍数的特征:
各位数字之和是3的倍数,可知这个三位数可能为402,432,462,492,所以它最大是492,最小是402.故答案为:
492;402
解析根据最小的合数和最小的质数,确定这个三位数的个位是2,百位是4,再根据2、3的倍数的特征解答.
本题关键是要利用以下知识:
最小的合数是4,最小的质数是2,3的倍数的特征:
各位数字之和是3的倍数,2的倍数的特征:
数的个位是0、2、4、6、8的数.
7.四个连续奇数的积是945,这四个数中最小的是(),最大的是()
答案3
9解:
因为
所以在四个数中最小的是3,最大的是9.故答案为:
3、9.
解析将945写为四个连续奇数的积:
由此知道在四个数中最大的是9,最小的是3.
关键是将945写为四个连续奇数的积,找出符合条件的四个奇数,即可得出
8.一个长方形的面积是132平方厘米,长和宽的长度是相邻的两个自然数,这个长方形的周长是多少厘米?
解:
设这个长方形的宽为x厘米,则长为
厘米,则
解得:
长方形的周长:
(厘米)
答:
这个长方形的周长是46厘米.
解析由“长和宽的厘米数是两个连续的自然数”可以设这个长方形的宽为x厘米,则长为
厘米,再据“长方形的面积是132平方厘米”可得:
解此方程即可.
解答此题的关键是:
设出未知数,求出长方形的长和宽,进而求其周长.
9、
解析根据质数的意义,一个自然数,然后只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数.据此解答.此题考查的目的是理解掌握质数的意义.
能力创新
四、解决问题
1.在1~60的整数中,是3,4和5的倍数的数有多少个?
答案先分别算出是3、4、5的倍数的数有多少个,再减去重叠的数.
解:
60÷3=20(个),60÷4=15(个),60÷5=12(个),3、4、5的最小公倍数是60,60÷60=1(个),3和4的最小公倍数是12,60÷12=5(个).3和5的最小公倍数是15,60÷15=4(个).4和5的最小公倍数是20,60÷20=3(个).20+15+12-5-4-3+1=36(个).
故答案为:
【点评】此题考查了最小公倍数的应用.
2.有四位小朋友,他们的年龄一个比一个小一岁.将他们的年龄数相乘,积是11880,年龄最小的一个是( )岁.
解:
11880=2×2×2×3×3×3×5×11,
所以11880可以写成:
9×10×11×12的形式,
所以四个人的年龄分别是9岁、10岁、11岁、12岁;
答:
最小的一个是9岁.故答案为:
9.故答案为:
9.
解析这题可先把11880分解质因数,根据相邻自然数相差1,从11880的质因数中找出这四个数,然后找出最小即可.
本题考查合数分解质因数的方法以及在实际问题中的灵活应用.四个小朋友的年龄数是四个连续自然数,把11880分解质因数后,把它写成4个连续自然数的乘积的形式即可.
3.学习与应用.
(1)数一数下面各等式中等号左边的2和5的对数(一个“2”和一个“5”为一对),再数
一数等号右边积的末尾0的个数,把结果填在括号里.比一比,想一想,你发现了什么?
a.2×3×5=302和5有()对,积的末尾有()个0;
b.2×3×7×5×5×2×2=42002和5有()对,积的末尾有()个0;
c.2 4 ×11×5 3 =220002和5有()对,积的末尾有()个0;
……
(2)我发现的规律是____________________.
(3)猜一猜,1×2×3×4×…×99×100的积的末尾有()个0.
解:
(1)a.1,1;b.2,2;C.3,3
(2)因数中共含有多少对质因数2和5,积的末尾就有多少个0
(3)1×2×3×4×……×99×100中所含有的质因数2多于质数5,1至100个含有1个,质因数5的数有 1005 =20(个),从1开始每5个数中都至少有一个质因数4.含有两个质因数5的倍数有 10025 =4(个),这4个数中的质因数5,有一个已知20个里计算了一次,所以1至100中共有20+4=24(个)质因数5,即1×2×3×4×……×99×100的积的末尾有24个0.
此题考查了学生的分析、推理能力.
解析通过填写,发现其中的规律,再由发现的规律进行猜想.
4.将下列8个数平均分成两组,使这两组数的乘积相等,应怎样分?
14,33,35,30,75,39,143,169
解析【解答】1、解:
8个数中有6个不同质因数2、3、5、7、11、13,并且质因数3、5、13各有4个,质因数2、7、11各有2个。
再仔细看看,注意到有2个5、2个13分别在同一个数中,因此,可以从这2个数入手分组,把169=13×13分在第一组,那么含有13的另2个数39=3×13、143=11×13就得分在第二组;由于质因数11只有2个,因而含有质因数11的另一个数即33=3×11分在第一组。
把75=3×5×5分在第一组,那么,含有质因数