标准偏差与相对标准偏差.docx

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标准偏差与相对标准偏差

标准偏差与相对标准偏差（总

11页）

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标准偏差

标准偏差（也称标准离差或均方根差）是反映•组测量数据离散程度的统计指标。

是指统计结果在某•个时段内误差上下波动的幅度。

是正态分布的重要参数之-O是测量变动的统计测算法。

它通常不用作独立的指标而与其它指标配合使用。

标准偏差在谋差理论、质量管理、计量型抽样检验等领域中均得到r广泛的应用。

因此，标准偏差的计算十分重妥，它的准确与否对器具的不确定度、测虽的不确定度以及所接收产品的质量有重要影响。

然而在对标准偏差的计算中，不少人不论测量次数多少，均按贝塞尔公式计算。

样本标准差的表示公式

数学农达式：

S-标准偏差（%）

n-试样总数或测量次数，•般n值不应少于20-30个

i-物料中某成分的各次测量值，1〜n：

标准偏差的使用方法

在价格变化剧烈时，该指标值通常很高。

・如果价格保持平稳，这个指标值不高，

・在价格发生剧烈的上涨/下降之前，该指标值总是很

低，

标准偏差的计算步骤

标准偏差的计算步骤是：

步骤一、（每个样本数据-样本全部数据之平均值几

步骤二、把步骤一所得的各个数值相加’

步骤三、把步骤二的结果除以（n-1）（"n”指样本数目）。

步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。

六个计算标准偏差的公式⑴

标准偏差的理论计算公式

设对真值为X的某量进行一组等精度测量，其测得值为厶、6/“。

令测得值I与该量真

值X之差为真差占G,则有^=1,

X

X

6=h

X

1斤

111=1

我们定义标准偏差（也称标准差）G为

=lim

由于真值X都是不可知的，因此真差O占也就无法求得,故式只有理论意义而无实用价值。

标准偏差G的常用估计一贝塞尔公式

由于真值是不可知的，在实际应用中，我们常用n次测量的算术平均值

l（L=‘一1+仏+…*气

n'来代表真值。

理论上也证明，随着测量次数的增多，算

术平均值杲接近真值，当冗一400时，算术平均值就是真值。

于是我们用测得值C与算术平均值Z之差——剩余误差（也叫残差）匕来代替真差G,即

设一组等精度测量值为爪匕……I.

通过数学推导可得真差o与剩余误差v的关系为

将上式代入式

（1）有

i=1

（2）

式⑵就是着名的贝塞尔公式（Bessel）。

它用于有限次测量次数时标准偏差的计算，由于当兀tOO时，

L—/（仇一1）—°°•可见贝塞尔公式与o的定义式

（1）是完全一致的。

应该指出，在n有限时，用贝塞尔公式所得到的是标准偏差o的一个估计值；它不是总体标准偏差6因此，我们称式

（2）为标准偏差g的常用估计。

为了强调这一点，我们将g的估计值用"S"表示。

于是，将式

（2）改写为

在求s时，为免去求算术平均值E的麻烦，经数学推导（过程从略）有

于是，式（2‘）可写为

—（罠上）,

71丿（2”）

nn

E?

（E）2

按式（2”）求S时,只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺«=1,即

可。

标准偏差a的无偏估计

数理统计中定义V为样本方差

数学上已经证明S，是总体方差L的无偏估计。

即在大量重复试验中，S「围绕L散布，它们之间没有系统误塞而式（2‘）在n有限时,S并不是总体标准偏差o的无偏估计，也就是说S和g之间存在系统误差；概率统计告诉我们，对于服从正态分布的正态总体，总体标准偏差o的无偏估计值&为

则$=S1=I\frS

即$和S仅相差一个系数是与样本个数测呈次数有关的一个系数,Kc值见表,计算K。

时用到

r（n+1）=nr（；o

r（D=i

n

n

2

⑶3

1

20

1.0132

60

tows

3

1.1284

81

11.0362

25

1.0105

TO

1.0036

4

1.0854

9I

..1.0317

30

1.0087

1.0032

5

1.0638

10

1.0281

40

1.0064

90

1.0028

6

1.0509

15

1.0180

50

L0051

100

L0025

由表1知，当n>30时,心=1.0087Vlo因此，当n>30时，式（3）和式

（2）之间的差异可略而不计。

在n=30~50时，杲宜用贝塞尔公式求标准偏差》当n<10时，由于K°值的影响已不可忽略，宜用式（3'）,求标准偏差；这时再用贝塞尔公式显然是不妥的。

标准偏差的最大似然估计

将o的定义式

（1）中的真值X用算术平均值E代替且当n有限时就得到

嘟叙呼）M

式（4）适用于n>50时的情况，当n>50时,n和（n-1）对计算结果的影响就很小了。

2.5标准偏差o的极差估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大，不宜现场采用，而极差估计的方法则有运算简便，计算量小宜于现场采用的特点。

极差用"R"表示。

所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中的杲大值与最小值之差n

若对某量作次等精度测量测得人、"•・•k,且它们服从正态分布，则

R=

hull

概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为

S3=

«2（5）

S」称为标准偏差o的无偏极差估计，必为与样本个数n（测得值个数）有关的无偏极差系数，其值见表2

由表2知，当n<15B4,a2~因此，标准偏差o更粗略的估计值为

=亠R

还可以看出，当200切「000时，do匕6因而又有

显然，不需查表利用式（5‘）和（5"）了即可对标准偏差值作出快速估计，用以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结果进行校核:

，

应指出，式（5）的准确度比用其他公式的准确度要低，但当5

当n>10时，由于舍去数据信息较多，因此误差较大，为了提高准确度,这时应将测得值分成四个或五个一组，先求出各组的极差&、R?

…氐再由各组极差求出极差平均值

极差平均值A和总体标准偏差的关系为

需指出，此时必大小要用每组的数据个数n而不是用数据总数N（=nK）去查表20再则，分组时一定要按测得值的先后顺序排列，不能打乱或颠倒。

标准偏差Q的平均误差估计

平均误差的定义为

误差理论给出

ENElm

可以证明i=l与i=』的关系为

（证明从略）

77=

由式（A）和式（B）得

从而有

6值，由于\right|V\right|不需平方，故计算较为简便。

但该式的准确度不如贝塞尔公式。

该式使用条件与贝塞尔公式相似。

标准偏差的应用实例⑴

对标称值凡=0」60vmath>pm$的一块粗糙度样块进行检定，顺次测得以下15个数据:$

1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.644.56,1.50,1.64,1.74和1.63屮儿试求该样块凡的平均值和标准偏差并判断其合格否。

解：

1）先求平均值L

2）再求标准偏差S

若用无偏极差估计公式式（5）计算，首先将测得的，15个数据按原顺序分为三组，每组五个,见表3。

表3

组号

IJ

l_5

R

1

1.48

1.65

1.60

1.67

1.52

0.19

2

1.46

1.72

1.69

1.77

1.64

0.31

3

1.56

1.50

1.64

1.74

1.63

0.24

二=0.43

因每组为5个数据，按n=5由表2查得必2

故

若按常用估计即贝塞尔公式式（？

），则

若按无偏估计公式即式（3）计算，因n=15,由表1查得1.01&则

若按最大似然估计公式即式件）计算，则

=0.09296（$[un$ ）$$

若按平均误差估计公式即式（6）,则

现在用式（5?

对以上计算进行校核

可见以上算得的S、S、、S?

、，和$没有粗大误差。

由以上计算结果可知0.09296<0.0962<0.0979<0.1017<0.1062

即S2

可见,最大似然估计值最小，常用估计值S稍大，无偏估计值$又大，平均误差估计值S再大，极差估计值$最大。

纵观这几个值，它们相当接近,杲大差值仅为0.013241”。

从理论上讲,用无偏估计值和常用估计比较合适，在本例中，它们仅相差0.0017卩”。

可以相信,随着的增大，S、$、S2、，和，之间的差别会越来越小。

就本例而言，无偏极差估计值和无偏估计值，仅相差0.0083屮”,这说明无偏极差估计是既可以保证一定准确度计算又简便的一种好方法：

，

JJG102-89《表面粗糙度比较样块》规定凡的平均值对其标称值的偏离不应超过+12%~17%,标准偏差应在标称值的4%-12%之间。

已得本样块二产£==0.10（）2/i7n^均在规定范围之内，故该样块合格。

标准偏差与标准差的区别

标准差（StandardDeviation）各数据偏离平均数的距离（离均差）的平均数，它是离差平方和平均后的方根；用。

表示。

因此，标准差也是一种平均数。

标准差是方差的算术平方根。

标准差能反映一个数据集的离散程度；平均数相同的，标准差未必相同:

：

例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45,B组的分数为73、72、71、69、68、670这两组的平均数都是70,但A组的标准差为17.08分，B组的标准差为2.16分，说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多°

标准偏差（StdDev,StandardDeviation）-统计学名词。

一种量度数据分布的分散程度之标准，用以衡量数据值偏离算术平均值的程度’标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦然。

标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量：

，

有人经常混用均方根误差（RMSE）与标准差（StandardDeviation）,实际上

二者并不是一回事。

1•均方根误差均方根误差为了说明样本的离散程度。

均方根误差（root-mean-squareerror）亦称标准误差，其定义为

i=1,2,3,...no在有限测量次数中，均方根误差常用下式表

误差统计分布是正态分布，那么随机误差落在土a以内的概率为68%。

2•标准差

标准差是方差的算术平方根。

标准差能反映一个数据集的离散程度。

平均数相同的，标准差未必相同。

标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差。

均方根值也称作为效值，它的计算方法是先平方、再平均、然后开方。

比如幅度为100V而占空比为0.5的方波信号，如果按平均值计算，它的电压只有50V,而按均方根值计算则有70.71Vo这是为什么呢？

举一个例子，有一组100伏的电池组，每次供电10分钟之后停10分钟，也就是说占空比为一半。

如果这组电池带动的是10Q电阻，供电的10分钟产生10A的电流和1000W的功率，停电时电流和功率为零。

那么在20分钟的一个周期内其平均功率为500W,这相当于70.71V的直流电向10Q电阻供电所产生的功率。

而50V直流电压向10Q电阻供电只能产生的250W的功率。

对于电机与变压器而言，只要均方根电流不超过额定电流，即使在一定时间内过载，也不会烧坏。

PMTS1.0抽油机电能图测试仪对电流、电压与功率的测试计算都是按有效值进行的，不会因为电流电压波形畸变而测不准。

这一点对于测试变频器拖动的电机特别有用。

均方根误差为了说明样本的离散程度。

对于设N=（N1+...+Nm）/m;则均方根误差记作:

t=sqrt（（（NA2-

N1A2）+...+（NA2-NmA2））/（m（m-1）））;比如两组样本：

第一组有以下三个样本：

3,4,5第二组有一下三个样本：

2,4,6这两组的平均值都是4,但是第一组的三个数值相对更靠近平均值，也就是离散程度小，均方差就是表示这个的。

同样，方差、标准差（方差开根,因为单位不统一）都是表示数据的离散程度的。

几种典型平均值的求法

（1）算术平均值这种平均值最常用。

设x1、x2xn为各次的测量值，n

代表测量次数，则算术平均值为

（2）均方根平均值

（3）几何平均值

（4）对数平均值

可一心_心一花

%ln^-lnx2hA

乃（5）加权平均值

-內十％花十…十叫兀叫兀

'加枚wx+w2+…十旳

相对标准方差的计算公式

准确度

精密度

误差

偏差

绝对误差

S=x-fi或d-x-p.

平均偏差

亍忆T

H一2,=1

标准偏差（n>5）

勺召-刃2

7-11冃

a

n

VW-1

相对俣差＜%）

SX~^xl00%

AQ

相对平均偏差

-X100%

X

相对标准偏差

^SD=-xlOO%

X

准确度：

测定值与真实值符合的程度

绝对误差：

测量值（或多次测定的平均值）与真（实）值之差称为绝对误差，用§表示。

相对误差：

绝对误差与真值的比值称为相对误差。

常用白•分数表示。

绝对误差可正可负，可以表明测量仪器的准确度，但不能反映误差在测量值中所占比例，相对误差反映测量误差在测量结果中所占的比例，衡量相对误差更有意义。

例：

用刻度0.5cm的尺测量长度，可以读准到0.1cm,该尺测量的绝对误差为0.1cm；用刻度lmm的尺测量长度，可以读准到0.lmm,该尺测量的绝对误差为0.lmm。

例：

分析天平称量误差为0.1吨，减重法需称2次，可能的最大误差为

0.2mg,为使称量相对误差小于0.1%,至少应称量多少样品？

解：

£=iZ^xloo%=°0002gxl00%

w>0.2g

答：

称量样品量应不小于0.2go

真值（P）:

真值是客观存在的，但任何测量都存在误差，故真值只能逼近而不可测知，实际工作中，往往用“标准值”代替“真值”。

标准值：

采用多种可靠的分析方法、山具有丰富经验的分析人员经过反复多次测定得出的结果平均值。

精密度：

儿次平行测定结果相互接近的程度。

各次测定结果越接近，精密度越高，用偏差衡量精密度。

偏差：

单次测量值与样本平均值之差：

虫二&7

平均偏差：

各次测量偏差绝对值的平均值。

相对平均偏差：

平均偏差与平均值的比值。

标准偏差：

各次测量偏差的平方和平均值再开方，比平均偏差更灵敬的反映较大偏差的存在，在统计学上更有意义。

相对标准偏差（变异系数）

例：

分析铁矿石中铁的质量分数，得到如下数据：

37.45,37.20,37.50,37.30,37.25（%），计算测结果的平均值、平均偏差、相对平均偏差、标准偏差、变异系数。

解：

z=37.34%

各次测量的偏差分别是：

011,-0.14,-0.04,0.16,-0.19

5=（0.11十0.14+0.04+0.16+0.19）/5=0.13%

^xioo%=0.13/37.34=0.35%

S=0.13%

RSD=0,13X100%/37,34=0.4%

准确度与精密度的关系:

1）精密度是保证准确度的先决条件：

精密度不符合要求，表示所测结果不可靠，失去衡量准确度的前提。

2）精密度高不能保证准确度高。

换言之，准确的实验一定是精密的，精密的实验不一定是准确的。

重复性试验按拟定的含量测定方法，对同一批样品进行多次测定（平行试验至少5次以上，即n>5）,计算相对标准偏差（RSD）,一般要求低于5%