学年最新北师大版九年级数学上册《特殊的平行四边形》单元测试题及答案解析精品试题.docx

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学年最新北师大版九年级数学上册《特殊的平行四边形》单元测试题及答案解析精品试题

《第1章特殊平行四边形》

一、选择题

1．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（　　）

A．AB=BCB．AC=BDC．AC⊥BDD．AB⊥BD

2．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（　　）

A．（

）2014B．（

）2015C．（

）2015D．（

）2014

二、填空题

3．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件　　（只添一个即可），使▱ABCD是矩形．

4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是　　．

5．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为　　．

6．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于　　度．

7．边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为　　．

8．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为　　．

9．正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2上，则点A3的坐标为　　．

10．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD=　　度．

11．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是　　（只填一个）．

12．如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=

a，在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=

A1B2，…．依次规律继续下去，则正方形AnBnCnDn的面积为　　．

13．如图，▱ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AE与DM相交于点F，BE与CM相交于点N，连接EM．若▱ABCD的周长为42cm，FM=3cm，EF=4cm，则EM=　　cm，AB=　　cm．

三、解答题

14．如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．

求证：

四边形BECD是矩形．

15．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=

x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面积是2．

求证：

四边形ABCD是矩形．

16．如图，在△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．

（1）求证：

△AEF≌△BED．

（2）若BD=CD，求证：

四边形AFBD是矩形．

17．正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．

（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；

（2）试画一个图形（即反例），说明

（1）中命题的逆命题是假命题；

（3）对于

（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．

18．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．

（1）求证：

BE=CE．

（2）求∠BEC的度数．

19．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．

（1）证明：

PC=PE；

（2）求∠CPE的度数；

（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

20．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标．

21．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．

求证：

四边形BCDE是矩形．

22．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．

（1）求证：

四边形ADBE是矩形；

（2）求矩形ADBE的面积．

23．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．

（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？

并说明理由．

24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：

四边形AECD是矩形．

25．已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，

（1）求证：

四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？

并给出证明．

26．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．

（1）求证：

△ADE≌△CBF；

（2）求证：

四边形BFDE为矩形．

27．如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．

（1）求证：

HF=AP；

（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．

28．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足为点E．若AD=1，AB=2

，求CE的长．

29．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．

（1）求证：

OE=OF；

（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；

（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？

并说明理由．

30．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．

（1）求证：

四边形AEBD是矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．

《第1章特殊平行四边形》

参考答案与试题解析

一、选择题

1．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（　　）

A．AB=BCB．AC=BDC．AC⊥BDD．AB⊥BD

【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．

【专题】证明题；压轴题．

【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断．

【解答】解：

A、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；

B、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；

C、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；

D、无法判断．

故选B．

【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．

2．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（　　）

A．（

）2014B．（

）2015C．（

）2015D．（

）2014

【考点】正方形的性质．

【专题】压轴题；规律型．

【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．

【解答】方法一：

解：

如图所示：

∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…

∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，

∴D1E1=C1D1sin30°=

，则B2C2=（

）1，

同理可得：

B3C3=

=（

）2，

故正方形AnBnCnDn的边长是：

（

）n﹣1．

则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是：

（

）2014．

故选：

D．

方法二：

∵正方形A1B1C1D1的边长为1，

∠B1C1O=60°，

∴D1E1=B2E2=

，

∵B1C1∥B2C2∥B3C3…

∴∠E2B2C2=60°，

∴B2C2=

，

同理：

B3C3=

×

=

…

∴a1=1，q=

，

∴正方形A2015B2015C2015D2015的边长=1×

．

【点评】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．

二、填空题

3．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件　AC=BD　（只添一个即可），使▱ABCD是矩形．

【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．

【专题】开放型．

【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．

【解答】解：

添加的条件是AC=BD，

理由是：

∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，

∴平行四边形ABCD是矩形，

故答案为：

AC=BD．

【点评】本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：

对角线相等的平行四边形是矩形，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．

4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是　45°　．

【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．

【分析】根据正方形的性质，可得AB与AD的关系，∠BAD的度数，根据等边三角形的性质，可得AE与AD的关系，∠AED的度数，根据等腰三角形的性质，可得∠AEB与∠ABE的关系，根据三角形的内角和，可得∠AEB的度数，根据角的和差，可得答案．

【解答】解：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°．

∵等边三角形ADE，

∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．

∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，

AB=AE，

∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，

∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，

故答案为：

45°．

【点评】本题考查了正方形的性质，先求出∠BAE的度数，再求出∠AEB，最后求出答案．

5．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为　（

）n﹣