椭圆定义与几何意义有关习题.docx
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椭圆定义与几何意义有关习题
椭圆定义与几何意义习题及答案
一、选择题（每小题4分，共40分）
1.若方程x+ky=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（）
A.（0,+乂）B.（0,2）
C.（1,+乂）D.（0,1）
2.已知Fi、F2是椭圆的两个焦点，满足MFi.MF20的点M总在椭圆
）
（。
，¥）D.曰）
内部，贝S椭圆离心率的取值范围是（
Ag）B.（巧C
22
3.已知椭圆16121的左焦点是Fi，右焦点是F2，点P在椭圆上,
如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PFj：
PF2的值为
A.?
B
1
C.51
D
5
5
2
6
3
4.已知椭圆的两个焦点为
Fd.5,0）,F2（、5,0）,
M
是椭圆上一点，若
MF1MF20,MF1
MF2
8，则该椭圆的方程是
（
）
22
2
2
（A）xy1
（B）-
y
1
72
2
7
22
2
2
（C）xy1
（D）-
y
1
94
4
9
22
5.设椭圆X2y2
1（m0,n0）的右焦点与抛物线
y28x的焦点相
mn
同，离心率为1,
则此椭圆的方程为（
）
22
22
22
22
A.
x-也1
B.亠乂1C.
乙丄1
D.仏1
1216
1612
4864
6448
22
6•椭圆x2+-y2=1（a>b>0）上一点A关于原点的对称点为B,F为其右
ab
焦点’若AF丄BF,设/AB匡’且€［石盲］，则该椭圆离心率的取值范围为（）
［子
A•［孚1）B•［¥'¥】c•［普，1）D-
22
xy
~2~2ab
7.设抛物线y22px（p0）的焦点F恰好是椭圆
8.在椭圆务再1（ab0）上有一点M,F1,F2是椭圆的两个焦点,ab
则此椭圆的方程为（）
0）上有一点MFi,F2是椭圆的两个焦点,
2x
2y
1
2x
2y
A.12
16
B.
16
12
2
2
2
2
x
y_
1
x
y_
C.48
64
D.
64
48
2
2
同，离心率为
1
1
b
七1（a
b
10.在椭圆务
a
1
2
若〔MF"IMF2I2b2，则椭圆离心率的范围是（）
A.（0,予］B.［乎，1）C.［今,1）D.［2,1）
二、填空题（共4小题，每小题4分）
11.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1、F2,点P是C1与C2的一个公共点，PFlF2是一个以PF1为底的等腰三角形，|PFl14，C1
3
的离心率为7,则C2的离心率
为。
22
12.设Fi、F2是椭圆—丄1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF：
94
PF=2:
1,则厶PFH的面积等于
1上的点P到它的两个焦点F1、F2的距离之比
PF1:
|PF22：
a/3,
，则的最大
BAOBFO900，则椭圆的离心率是.
1
I■
aI
三、解答题（共44分，写出必要的步骤）
22
15.（本小题满分10分）已知点P（4,4）,圆C:
（xm）y5（m3）
椭圆的左、右焦点，
直线PF1与圆C相切.
（I）求m的值与椭圆E的方程;
-1），离心率为2。
过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交
于异于M的另外两点P、Q。
（I）求椭圆C的方程；
（II）PMQ能否为直角？
证明你的结论；
（III）证明：
直线PQ的斜率为定值，并求这个定值。
22C:
-2^~21（ab0）
17.（本小题满分12分）已知椭圆ab经过点M（-2，
-1），离心率为2。
过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q。
（I）求椭圆C的方程；
（II）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论
18.（本小题满分12分）已知椭圆Ci、抛物线C2的焦点均在x轴上，Ci的中心和C2的顶点均为原点0,从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
x
3
2
4
y
2巧
0
4
2
（I）求Ci、C2的标准方程；
（H）请问是否存在直线I满足条件：
①过C2的焦点F；②与Ci交
uuLiuuur
不同两点M、N,且满足0M0N?
若存在，求出直线I的方程；若不存在，说明理由.
答案
一、选择题
1.D2.C3.D4.C5.B6.B7.C8.B9.B10.B
二、填空题
11.312.413.—14.AJ
32
三、解答题
15.解：
（I）点A代入圆C方程,
m）215.
因为nx3,二m^1.……2分
圆C：
（x1）2y25.
设直线PF的斜率为k,
则PF：
yk（x4）4,
即kxy4k40.
因为直线PF与圆C相切，
所以|k04k4|亦.
Vk21
解得k11,或k-.
22
当k=11时，直线PF与x轴的交点横坐标为竺，不合题意，舍211
去.
当k=1时，直线PF与x轴的交点横坐标为一4,
2
所以c=4.Fi（-4,0）,F2（4,0）.
22
2a=AF+AF=5罷返6返,a3虑,a=18,b=2.
22椭圆E的方程为：
二乙i.
182
UllUULT
APAQ（x3）3（y1）x3y6.
22
因为—-1,即x2（3y）218,
182
而x2（3y）2>2|x||3y|,/•-18<6xy<18.
则（x3y）2x2（3y）26xy186xy的取值范围是[0,36].
x3y的取值范围是[—6,6].
所以APAQx3y6的取值范围是[-12,0].
①
a2—b2_「2
且a=2，
由①、②解得a2=6,b2=3,
椭圆c的方程为x2+号=1.
63
（H）记P（x1,y1）、Q（x2,y2）.
设直线MP的方程为y+1=k（x+2）,与椭圆C的方程联立，得
（1+2k2）x2+（8k2-4k）x+8k2—8k-4=0,
1+2k2
-2,x1是该方程的两根，则-2x1=8；-爲4,x1-4k2+4k+2
设直线MQ的方程为y+1=-k（x+2）,
0"口-4k2-4k+2
同理得x2=—1+2k2—
因y1+1=k（x1+2）,y2+1=-k（x2+2）,
因此直线PQ的斜率为定值.
由①、②解得a2=6,b2=3,
该方程有两个相等的实数根-2,不合题意;
同理，若k=—1也不合题意.
故/PMQ不可能为直
角.6分
（皿）记P（x1,y1）、Q（x2,y2）.
设直线MP的方程为y+1=k（x+2），与椭圆C的方程联立，得
（1+2k2）x2+（8k2—4k）x+8k2—8k—4=0,
设直线MQ的方程为y+1=—k（x+2）,
同理得x2
—4k2—4k+2
1+2k2
因y1+1=k（x1+2）,y2+1=—k（x2+2）,
8k
设CC2
2x
・2a
2yb2
（ab0），把点（
2,0）（2，子）代入得:
4
2a
1
解得J
2
1
1
b1
2a
2b2
2x
2
…C1方程为—
4
y
1
5分
（H）法-
.
假设存在这样的直线I过抛物线焦点F（1,0），设直线I的方程为
x1my,两交点坐标为M（x1,y1）,N（X2,y2）,
my
y21
x1
2
x
4
umu由OM
UlT
ON，即OMON
0，得％X2
y1y2
0（*）
代入（*）式，得4
4m2m24
3
m24
11分
2x2
…12分
意;
2
X2彳
7y1yk（x1）
10分
11分
所以存在直线I满足条件，且I的方程为：
y2x2或y2x2.12分
1.
（H）设直线MP的斜率为k,则直线MQ勺斜率为—k,
假设/PMQ^直角，则k・（-k）=-1,k=±1.
若k=1,则直线MQ方程y+1=-（x+2）,
与椭圆C方程联立，得x2+4x+4=0,
1+2k2
因此直线PQ的斜率为定
2
18.解：
（I）设抛物线C2：
y122px（p0），则有L2p（x0），据此
x
验证4个点知（3,23）、（4,4）在抛物线上，易求
C2:
y24x
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