北京市数学建模论文.docx
《北京市数学建模论文.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市数学建模论文.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
北京市数学建模论文
中国人口增长趋势预测
摘要：
在对题意的理解上，我们认为中国人口增长的趋势预测，不仅包括未来人口数量的增长预测，也应包括年龄结构的改变，老龄化趋势和未来的稳定性预测。
首先我们用经典的Logistic模型描述了人口的增长规律，得出中国人口的增长上限约为14.1亿，并对未来5年的人口进行了预测。
通过检验，模型在短期内是有效的。
考虑到年龄结构可反映育龄妇女的人口数量，从而直接影响到出生率这一现实，我们构造了基于年龄结构的矩阵预测模型。
通过出生矩阵和尚存矩阵相加来得到增长矩阵。
在构造矩阵的过程中，考虑到育龄妇女生育率不断改变这一事实，对育龄妇女生育率进行归一化后得到标准化的生育模式，并根据需要定义了年龄别生育水平。
增长矩阵经过有限次迭代后，得出中国人口高峰在2026年左右达到，峰值约为14.4亿。
峰值过后，中国人口在2065年左右会趋于稳定值13.5亿。
用2001年的人口预测2002~2005年人数，并与实际值做误差分析，结果显示该模型的预测结果相当精确，进行长期预测是可行的。
最后，在人口稳定性存在的前提下，稳定状态的自然增长率由生存函数和生育函数决定。
可以只就女性的生存函数和生育函数进行分析。
分析时，生存函数为离散型，通过不同时期的生存率迭代产生，然后经城镇乡加权后最终得到。
生育函数通过年龄别生育率归一化后乘以生育水平得到。
这样，稳定状态的自然增长率便确定下来。
一旦自然增长率确定，其他指标例如出生率和死亡率可以经公式推导得到。
计算后，可知以2005年的生命表求得稳定时的自然增长率为0.688‰，并进一步确定了人口稳定时的出生率，死亡率和和年龄构成。
关键词：
Logistic模型；矩阵预测；生育模式；归一化；稳定性预测
一.问题提出
背景资料：
1987年7月1日，世界上第50亿人在南斯拉夫诞生。
1999年10月12日，联合国确认人口已达60亿。
短短的十几年地球上的人口净增10亿！
“人口问题”已经成为当今世界使用频率最高的一个词语。
2005年1月6日，第13亿人在北京出生，中国人口发展到了一个新阶段。
伴随人口增长而来的老龄化问题和失业率的升高，日益成为阻碍我国经济社会发展的突出因素。
人口变化速率＝（出生＋移入）－（死亡＋迁出），对于一个像中国这样一个处于社会稳定状态的国家来讲，移入和迁出的比例与总人口相比并不明显，所以人口专家常用每年的人口出生率和死亡率来描述国家的人口变化。
中国是一个人口大国，人口的增长直接影响到我国的经济发展。
对于新形势下出现的人口增长特点，如何建立有效的模型来预测中国人口的发展趋势。
二．问题分析
从题目分析中可知，现阶段影响人口增长的因素增加，人口增长呈现出新的特点。
这些新特点包括年龄的老龄化问题，出生人口性别比例升高等等。
但是，从种群的发展规律来看，新的特点产生并未超出其范畴。
经典的人口预测模型对于新现象同样适用。
以种群增长的Logistic模型为例，老龄化只是其中阻滞因子一个构成要素。
基于上述事实，用经典的Logistic模型来短期预测是有效的。
对于长期的预测，Logistic模型便有很大的局限性。
考虑到年龄结构对出生率有很大影响，采用矩阵分析的方法，根据当前的生命表，构造年龄别人数矩阵，尚存率矩阵和出生矩阵，表征当前的年龄别人口构成，年龄别生育率和年龄别死亡率。
由于城乡的平均生育水平差距很大，必须分别加以考虑。
对于更长期的预测，便涉及到人口的稳定性问题。
与其他种群的增长相同，在没有大的变动的情况下，人口的增长必然趋于稳定。
稳定时的自然增长率如何确定？
年龄构成又将怎样？
这些可以通过稳定性预测来解决。
三．模型的基本假设
（1）年龄别死亡率在不同个批人之间没有改变
（2）生育模式相对不变
（3）城、镇、乡之间的人口流动暂不考虑
（4）男女出生比率稳定
（5）90岁以上的人口死亡率按1计算
四．符号约定
k:
时间点（以年为单位）
r:
无阻滞状态下的增长率;
:
阻滞因子;
s（i）:
年龄为i的人的平均存活率;
X（i）:
年龄为i的人的总人数;
:
年龄别出生水平;
f（i）:
年龄别生育率;
h（i）:
生育模式
p（k）:
在k时间点上的人口总数;
c:
自然增长率
M（i）:
年龄别死亡率
五.模型的建立及求解：
（一）短期人口增长预测的Logistic模型
模型建立：
假如人口的增长率是常数，或者说，单位时间内人口的增长量与人口呈正比。
记k时刻的人口为p（k）,对于基数很大的p（k）,可以将其视为取实数值的连续可微函数。
记初始时刻的人口为
人口增长率为r。
根据基本假设，k到k+dk时间的人口增长量为
.于是p（t）满足下面的微分方程：
解得：
上式即为人口增长的马尔萨斯模型。
同其他种群一样，人类的增长同样受到外界和自身的限制，所以，这一模型必须修正.，荷兰生物学家Verhulst考虑了但种群成员的冲突现象，得出容易理解的单种群Logistic数学模型[1]：
其解为
模型求解：
我们根据1989－2003中国人口总数，用Matlab工具箱[2]中的lsqcurvefit函数求解该非线性拟合（程序见附件1）。
锝
=0.0678,
=0.0048，拟和残差resnorm=0.0017。
绘制Logistic型增长函数图像如下图
图1总人口随时间的变化图
当k->无穷时，
。
Logistic模型误差分析：
表1误差率
年代
实际人口数（亿）
函数计算人口数（亿）
误差率
1989
11.2704
11.2704
1990
11.4333
11.4217
0.001015
1991
11.5823
11.5668
0.001338
1992
11.7171
11.7058
0.000964
1993
11.8517
11.8387
0.001097
1994
11.985
11.9657
0.00161
1995
12.1121
12.0868
0.002089
1996
12.2389
12.2022
0.002999
1997
12.3626
12.3121
0.004085
1998
12.4761
12.4166
0.004769
1999
12.5786
12.5158
0.004993
2000
12.6743
12.61
0.005073
2001
12.7627
12.6993
0.004968
2002
12.8453
12.7838
0.004788
2003
12.9227
12.8639
0.00455
2004
12.9988
12.9396
0.004554
2005
13.0756
13.0122
0.004849
2006
13.1526
13.0788
0.005611
误差率函数拟合图像如下：
图2误差率随时间的变化
可以看到误差率呈波动上升趋势，但在短期时间内的误差值较小，所以可以进行短时间的粗略预测。
2006~2010年的人口总数预测如下表所示：
表2未来五年的人口预测总数
年数
2006
2007
2008
2009
2010
人口数（亿）
13.0788
13.1426
13.2028
13.2596
13.313
（二）人口增长中长期预测的矩阵模型
模型建立与求解：
Logistic模型没有考虑年龄结构的影响不同的年龄阶段长期的出生率和死亡率有明显的差别，不同性别也不精确的人口预测必须考虑年龄的组成和性别比例。
中长期预测时，年龄组成的影响会更大。
赖斯利（Leslie）在1945年提出了一个按年龄结构分组的离散模型。
将人口按年龄（这里精确到1岁）分组，并且只考虑女性人口数量。
年龄的分组与离散化对应，将时间离散化为年龄组i（i=1,2,3…）。
记时刻k第i年龄组的妇女标准化后的生育率水平为H（i），平均存活率为s（i）.当生育模式一定时，H（i）与s（i）不随时间k的改变而改变。
可以通过统计资料经过一定的处理后获得。
X（i,k）的变化有以下的规律：
时间由k变化到k+1时，第i组的人以平均存活率s（i）转移到i+1组
i=0,1,2……
如果用向量x（i,k）表示k时间点年龄组i的人数，i＝1,2,3…
X（i,k）=（X（0,k）,X（1,k）,……X（i,k））
死亡率可分为表上年龄死亡率和实际年龄死亡率。
一方面，两者不能等同，而另一方面两者是接近的。
死亡水平是年龄I的连续函数，随着年龄不断变化。
实际观察到的只能是某一时期某个年龄阶段的瞬间死亡水平M。
而年龄别死亡水平
与年龄别存活率S（i）近似有如下关系：
设R为尚存矩阵，则
我们根据2001～2005年城市、镇、乡的年率别存活率，然后取平均得到尚存矩阵（见附件2“年龄别存活率.”）
生育模式
通过年龄别生育率归一化后获得
，对于城市、镇、乡各个生育水平我们根据其各自的生育特点分别取1.5、1.8和2.1。
B为出生矩阵，
同样，由数据，剔除2003年（非典型肺炎的影响），我们可以得到城市、镇、乡各个的年率别出生率（见附件3“年龄别出生水平.”）。
则可得到出生矩阵B。
Leslie所用的预测矩阵G实际上是由上面两个矩阵相加，即G＝R＋B。
则有：
可以确定的,这样
总人口量
模型预测
1）、未来100年的人口预测（计算p（k）-总人口数－的程序见附件4）,预测人口数见附件5。
用MATLAB拟合如下图所示：
图3未来100年内总人口的变化曲线
中国人口高峰在2026年左右达到，峰值约为14.4亿。
峰值过后，中国人口在2065年左右会趋于稳定值13.5亿。
2）、利用matlab编程（见附件6）可预测出未来五年的年龄别人数生命表（见附件7）。
利用matlab绘图工具得到未来几年的年龄结构如下图：
图4年龄结构金字塔比较图
从图中比较知，适龄中青年人数占到很大比例，而老年和新生人口相比较小。
该年龄结构的峰值向上偏移，意味着老年化比例在增加。
3）、以60岁为界，预测老龄化趋势:
（MATLAB编程见附件8）得到老龄化数据（见附件9）如下图所示：
图5未来100年内老龄化趋势
由图可知老年率在31年之后出现峰值27.73%，最终会趋于稳定大约在20%和25%之间。
误差分析：
以2001年的人口作为基数预测2002～2005的人数总和，检验模型的误差率，有如下数据表：
表32002～2005四年内的预测人口数及误差率
年
2002
2003
2004
2005
预测值
12.8977
13.0283
13.1513
13.2681
实际值
12.8453
12.9227
12.9988
13.0756
误差率
0.004079
0.008172
0.011732
0.014722
平均误差率为：
0.968％；可知该模型预测情形比较满意。
（三）未来稳定性的趋势预测：
稳定人口是年龄别生育率，年龄别死亡率都保持不变的这样一种状态。
洛特卡证明了无迁移条件下这一状态存在的存在，并证明了在这样一种状态下将有一个固定不变的增长率，稳定人口可以通过每个人现在的生育水平和死亡水平推算出来的。
[3]
在模型二中，适龄妇女年龄生育女孩的水平为H’（i），
，u为女孩的出生比例，可根据附表男女出生比的数据得出。
由假设知它不随时间改变。
一个稳定人口的条件为：
（公式推导见附件10）
:
生育年龄上下限，这里即分别为15，49。
：
女性的生存函数（结果见附件10）
C:
女性的自然增长率
（因为男女比例相差不大，所以这个c值即为总人口的自然增长率）
上式称为稳定人口的特征方程。
它只有一个实根c，所以一旦生存函数
已知，稳定时的自然增长率c便被唯一的确定了。
由
得到
，则
（
＝1,2…i）
将2001－2005年生存表中的各个年龄段的生存概率取均值，取更替水平2.1为生育水平，得到女性的生存函数
。
因为
为离散型函数，故上式表示为
该式的求解比较复杂，可以设A（i）=
先假设不同的c值得到不同的A值，拟合函数A。
然后再通过A=1反推得到稳定时的c值为0.688‰
图6拟合函数随自然增长率的变化趋势
稳定时的c值一旦确定，稳定人口的各项指标就可以确定了。
（公式推导见附件11）
1：
各确切年龄的结构密度
，经过离散化计算后得到稳定状态的年龄分布图如下：
图7稳定时期年龄结构金字塔
2:
出生率
＝1.351%
3：
死亡率
=1.282%
从以上的结果可以看出，稳定状态各个年龄段人口的分布率特点：
（1）随着年龄的增长，结构密度降低，但是这种差距并不是很明显不同于零增长状态。
（2）稳定状态增长属于的低出生育，低死亡率，低自然增长率的现在增长模式，而并不是零增长。
六.模型评价与改进方向
1.评价：
Logistic模型能一定程度上反映人口增长，但其局限性包括：
前提是生存容量有限、固定，模型排除了人口减少的可能性，限制人口生育的原因多样等等。
而我们之所以要引入这个模型，是因为该模型对人口增长原因做定量的解释是有效的。
事实表明，模型对短期内作出的预测也是相对可信，当然长期的预测需要应用更加准确的模型。
我们给出的矩阵预测模型，充分考虑了不同年龄段的生育，死亡的概率，根据增长矩阵的迭代来逐次产生新的生命表，并根据生命表来进行老龄化和年龄结构的预测。
这种预测方法相对来说是比较精确的。
但增长矩阵的构造和迭代过程相当复杂，其中还包括各种参数概念的解释和归一化方法的应用，简单的阐述不易被理解，不太符合数学模型简单，适用的宗旨。
稳定性预测，可以得到在稳定状态下的自然增长率，与年龄构成等，但这种状态是一种理想的状态，并不能确定其达到的时期。
2.改进方向
在人口稳定性预测的模型中，不论是生育模式还是尚存函数都是离散化的，这使得函数在运算和求解的过程有很大的不方便。
我们可以通过拟合来确定函数解析式，这样相当于无限的缩小了年龄段i的间距，将会使得生育模式函数与尚存函数与实际符合的更好。
模型中我们暂时未考农村人口的城市化问题。
。
农村人口城市化影响到的是城市育女的生育水平。
因为国乡村人口的生育水平明显高于城市，一般认为乡村人口进入城市后会使得城市的生育水平增加。
我们试图通过一个马尔可夫过程来构造人口的转移矩阵
（i,j=1,2,3）,
表示第i部分的人转移到第j部分（例如农村到城市）的概率。
但由于时间和数据的局限，我们未能构造这样一个函数。
七、参考文献
[1]王树禾，微分方程模型与混沌，合肥：
中国科技大学出版社，1999
[2]苏金明阮沈永王永利,MATLAB工程数学,北京：
电子工业出版社,2005
[3]查瑞传,数理人口学,北京：
中国人民大学出版,2004
[4]谭永基朱晓明丁颂康等,经济管理数学模型案例教程,上海：
高等教育出版社,2006
[5]朱玉春刘天军,数量经济学,北京：
中国农业出版社,2006
[6]中华人民共和国国家统计局,2004中国统计年鉴,2007年9月22日
升级会员 