普通高等学校招生全国统一考试数学91理.docx

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普通高等学校招生全国统一考试数学91理

1991年全国普通高等学校招生统一考试（理工农医类）

数学

一、选择题:

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.

（2）焦点在（-1,0）,顶点在（1,0）的抛物线方程是

（A）y2=8（x+1）     （B）y2=-8（x+1）

（C）y2=8（x-1）     （D）y2=-8（x-1）

（3）函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是

（4）如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有

（A）12对    （B）24对    （C）36对    （D）48对

（6）如果三棱锥S—ABC的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相

等,且顶点S在底面的射影O在△ABC内,那么O是△ABC的

（A）垂心    （B）重心    （C）外心      （D）内心

（7）已知{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于

（A）5      （B）10      （C）15     （D）20

（A）（0,0）,（6,π）        （B）（-3,0）,（3,0）

（C）（0,0）,（3,0）         （D）（0,0）,（6,0）

（9）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有

（A）140种    （B）84种    （C）70种     （D）35种

（A）第一象限   （B）第二象限   （C）第三象限   （D）第四象限

（11）设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么

（A）丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件

（B）丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件

（C）丙是甲的充要条件

（D）丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件

（A）0      （B）1      （C）2      （D）3

（13）如果奇函数f（x）在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f（x）在区间[-7,-3]上是

（A）增函数且最小值为－5         （B）增函数且最大值为－5

（C）减函数且最小值为－5         （D）减函数且最大值为－5

（A）1个     （B）2个     （C）3个     （D）4个

（15）设全集为R,f（x）=sinx,g（x）=cosx,M={x│f（x）≠0},N={x│g（x）≠0},那么集合{x│f（x）g（x）=0}等于

二、填空题:

把答案填在题中横线上.

（18）已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是

45°,那么这个正三棱台的体积等于       .

（19）在（ax+1）7的展开式中,x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项,若实数

a>1,那么a=       .

（20）在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直,且PA＝PB＝PC＝a.那么这个球面的面积是     .

三、解答题.

（21）求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取最小值的x的集合.

（23）已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC＝2.求点B到平面EFG的距离.

（24）根据函数单调性的定义,证明函数f（x）=-x3+1在（-∞,+∞）上

是减函数.

（25）已知n为自然数,实数a>1,解关于x的不等式

1991年全国普通高等学校招生统一考试（理工农医卷）

数学参考答案

一、选择题:

本题考查基本知识和基本运算.

常规卷和A型卷答案

（1）A    

（2）D      （3）B      （4）B      （5）A

（6）D    （7）A      （8）D      （9）C      （10）C

（11）A   （12）C     （13）B     （14）C     （15）D

二、填空题:

本题考查基本知识和基本运算.

三、解答题.

（21）本小题考查三角形函数式的恒等变形及三角函数的性质.

解:

y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x

=（sin2x+cos2x）+2sinxcosx+2cos2x

=1+sin2x+（1+cos2x）

=2+sin2x+cos2x

（22）本小题考查复数基本概念和运算能力.

（23）本小题考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,以及逻辑推理和空间想象能力.

解:

如图,连结EG、FG、EF、BD、AC.EF、BD分别交AC于H、O.因为ABCD是正方形,E、F分别为AB和AD的中点,故EF∥BD,H为AO的中点.

BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与题设矛盾.

由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG,

所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离.

∵BD⊥AC,

∴EF⊥HC.

∵GC⊥平面ABCD,

∴EF⊥GC,

∴EF⊥平面HCG.

∴平面EFG⊥平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线.

作OK⊥HG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG,所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离.

注:

未证明“BD不在平面EFG上”不扣分.

（24）本小题考查函数单调性的概念,不等式的证明,以及逻辑推理能力.

证法一:

在（-∞,+∞）上任取x1,x2,且x1

∵x1

∴x1-x2<0.

所以,函数f（x）=-x3+1在（-∞,+∞）上是减函数.

证法二:

在（-∞,+∞）上任取x1,x2,且x1

∵ x1

∴ x1-x2<0.

∵ x1,x2不同时为零,

即   f（x2）

所以,函数f（x）=-x3+1在（-∞,+∞）上是减函数.

（25）本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识,以及分析问题的能力.

解:

利用对数换底公式,原不等式左端化为

因为a>1,②式等价于

     logax

因为a>1,②式等价于

（26）本小题考查双曲线性质,两点距离公式,两直线垂直条件,代数二次方程等基本知识,以及综合分析能力.

依题意知,点P,Q的坐标满足方程组

将②式代入①式,整理得

（5b2-3a2）x2+6a2cx-（3a2c2+5a2b2）=0.                    ③

根据根与系数的关系,有

整理得3c（x1+x2）-8x1x2-3c2=0.                          ⑥

将④,⑤式及c2=a2+b2代入⑥式,并整理得

3a4+8a2b2-3b4=0,

（a2+3b2）（3a2-b2）=0.

因为   a2+3b2≠0,解得b2=3a2,

整理得（x1+x2）2-4x1x2-10=0.                                ⑦

将④,⑤式及b2=3a2,c=2a代入⑦式,解得a2=1.

将a2=1代入b2=3a2    得 b2=3.

解法二:

④式以上同解法一.

将④式及c2=a2+b2代入⑤式并整理得3a4+8a2b2-3b4=0,

即  （a2+3b2）（3a2-b2）=0.

因a2+3b2≠0,解得b2=3a2.

即   （x2-x1）2=10.                                     ⑥

将④式代入⑥式并整理得

（5b2-3a2）2-16a2b4=0.

将b2=3a2代入上式,得a2=1,

将a2=1代入b2=3a2得b2=3.

故所求双曲线方程为