初中数学专题复习平面图形及其位置关系含答案.docx

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初中数学专题复习平面图形及其位置关系含答案

第二章平面图形及其位置关系

一、基础知识梳理

（一）主要概念

1．线段、射线、直线

（1）线段：

绷紧的琴弦、人行道横线都可以近似地看做线段．

线段的特点：

是直的，它有两个端点．

（2）射线：

将线段向一方无限延伸就形成了射线．

射线的特点：

是直的，有一个端点，向一方无限延伸．

（3）直线：

将线段向两个方向无限延长就形成了直线．

直线的特点：

是直的，没有端点，向两方无限延伸．

2．线段的中点

把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做线段的中点．

利用线段的中点定义，可以得到下面的结论：

（1）因为AM=BM=

AB，所以M是线段AB的中点．

（2）因为M是线段AB的中点，所以AM=BM=

AB或AB=2AM=2BM．

3．角

由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边．

角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的．

一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角．终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角．

4．角平分线

从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．

5．平行线

在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．

平行的关系是相互的，如果AB∥CD，则CD∥AB，其中符号“∥”读作“平行”．

6．两条直线垂直

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，其交点叫做垂足，如直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD．

7．两点之间的距离

两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离．

8．点到直线的距离

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．

（二）主要性质

1．直线的性质

经过两点有且只有一条直线，其中“有”表示“存在性”，“只有”表示“惟一性”．

2．线段的性质

两点之间的所有连线中，线段最短．

3．与平行线有关的一些性质

（1）平行公理．

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

（2）平行公理的推论．

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

4．垂线性质

（1）经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．

二、考点命题趋向分析

（一）能力

1．了解线段、射线、直线的意义．

2．角．

（1）通过丰富的实例，进一步认识角．

（2）会比较角的大小，能估计一个角的大小，会计算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行简单换算

（3）了解角平分线的概念．

3．了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线的距离的意义．

4．知道过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线．

5．知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．

（二）命题趋向分析

1．考查学生发现问题、解决问题的能力．

【例1】（2003年黑龙江）从哈尔滨开往A市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有（）

A．4种B．6种C．10种D．12种

【分析】先建立数学模型，在一条线段上任取两点，有

＝6条线段，因此有6种不同的票价．

【解】选B．

【例2】（无锡）L1与L2是同一平面内的两条相交直线，它们有１个交点，如果在这个平面内，再画第三条直线L3，那么这3条直线最多可有_______个交点；如果在这个平面内再画第4条直线L4，那么这4条直线最多可有_______个交点；由此我们可以猜想在同一平面内，6条直线最多可有_______个交点，n（n为大于1的整数）条直线最多可有_______个交点（用含n的代数式表示）．

【分析】本题是从特殊到一般发现规律；还可以想n条直线两两相交，每条直线上最多有（n-1）个交点，是n条直线上最多n（n-1）个交点，考虑到每个交点被重复计算一次，故n条直线最多可有

个交点．

【解】3616

2．线段长度的计算，线段的中点问题等在考题中常以填空题、选择题为主，重点考查学生发现问题、解决问题的能力．

【例3】某大公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有60人，B区有30人，C区有20人，三个区在同一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（）

A．A区B．C区C．B区D．A，B两区之间

【分析】此题考查两点间的距离在实际生活中的运用，根据实际问题建立数学模型，进而转化为线段的计算问题，分五种情况讨论：

在A区，B区，C区，A与B之间，B与C之间，经过研究得出正确答案．

【解】选A

3．角的度量与换算在中考题中常以填空题，选择题为主，重点考查基础知识和基本技能．

【例4】（山西）时钟在3点半时，它的时针和分针所成的锐角是（）

A．70°B．75°C．85°D．90°

【分析】时针每分钟转

=0.5°，分针每分钟转

=6°，从3点整到3点半时针转了0.5°×30=15°，分针转了6°×30=180°，3点钟时时针与分针夹角90°，所以3点半时针与分针夹角为180°-15°-90°=75°，故正确答案为B项．【解】选B

4．七巧板问题在中考中主要考查图形的拼摆．

【例5】（2002年济南）如图1，用一块边长为2

的正方形ABCD厚纸板，按照下面做法，做了一套七巧板：

作对角线AC，分别取AB、BC中点E、F，连结EF；作DG⊥EF于G，交AC于H；过G作GL∥BC，交AC于L，再由E作EK∥DG，交AC于K；将正方形ABCE沿画出的线剪开．现用它拼出一座桥（如图2），这座桥的阴影部分的面积是（）．

（1）

（2）

A．8B．6C．4D．5

【分析】本题考查了七巧板的拼摆及有关面积的计算．观察图形发现，桥的非阴影部分是两个大三角板，是正方形ABCD面积的一半，而阴影部分恰好是七巧板的剩余五块，其面积也应是正方形面积的一半．所以阴影部分面积为

=4．

【解】选C．

三、解题方法与技巧

方法1：

见比设元

【例1】如图所示，B、C两点把线段AD分成2：

4：

3三部分，M是AD的中点，CD=9，求线段MC的长．

【分析】题中给出了线段的长度比，那么设每一分为K是常见的解法．

【解】∵AB：

BC：

CD=2：

4：

3

∴设AB=2KBC=4KCD=3K

∴AD=3K+2K+4K=9K

∵CD=9

∴3K=9∴K=3

∴AB=6BC=12AD=27

∵M为AD中点，

∴MD=

AD=

×27=13.5

∴MC=MD-CD=13.5-9=4.5

【规律总结】不论是有关线段还是有关角的问题，只要有比值，就设未知数．

方法2：

利用线段的和差判断三点共线

【例2】判断以下三点A、B、C是否共线．

（1）有三点A、B、C，且AB=10cm，AC=2cm，CB=8cm；

（2）AB=10cm，AC=3cm，CB=9cm．

【解】

（1）∵AB=10cm，AC=2cm，CB=8cm，

∴AB=AC+CB

∴A、C、B三点在同一条直线上

（2）∵AB=10cm，AC=3cm，CB=9cm，

∴AB≠AC+CB

∴A、C、B三点不共线

方法3：

寻找规律

（一）数直线条数：

过任三点不在同一直线上的n点一共可画

条直线．

（二）数n个人两两握手能握

次．

（三）数线段条数：

线段上有n个点（包括线段两个端点）时，共有

条线段．

（四）数角的个数：

以0为端点引n条射线，当∠AOD<180°时，则（如图）小于平角的角个数为

．

（五）数交点个数：

n条直线最多有

个交点．

（六）数对顶角对数：

n条直线两两相交有n（n-1）对对顶角．

（七）数直线分平面的份数：

平面内n条直线最多将平面分成1+

个部分．

【例3】同一平面内有四点，每过两点画一条直线，则直线的条数是（）

A．1条B．4条C．6条D．1条或4条或6条

【分析】同一平面内四点，可能四点共线，此时直线有一条；可能四点中有三点共线，此时直线有四条；也可能四条直线中任意三点都不共线，此时可画

＝6条直线．

【解】选D

【例4】一张饼上切七刀，最多可得到几块饼．

【分析】从原始状态开始，当切1刀时，一张饼被分成两部分；当切2刀时，一张饼最多可被分成四部分；当切了3刀时，一张饼被最多分成七部分；……若用n表示切的刀数，饼被最多分成S部分．则：

n=1时S=2；n=2时S=4；n=3时，S=7；n=4时，S=11．

【解】设一张饼被切n刀，最多分成S部分，如图2-6可知：

n=1时S=1+1

n=2时S=1+1+2

n=3时S=1+1+2+3

n=4时S=1+1+2+3+4

……

则S=1+1+2+3+4+…+n=1+

∴当n=7时，S=1+

=29

答：

当上张饼上切7切时，最多可得到29块饼．

【规律总结】许多规律性问题应回到原始状态，按照从特殊到一般的方法寻找规律，再按照从一般到特殊的方法应用规律解决问题．

方法4：

钟表问题

【例5】钟表现在是1点15分，分针再转多少度，时针与分针首次重合．

【分析】分针1分钟走（

）°=6°，时针1分钟走（

）°=0.5°（分针1小时走一圈，即60分钟走360°，时针1小时走一格，即60分钟走30°）．因此，分针速度是时针速度的12倍，故设分针走12x°，时针走x°时时针与分针首次重合，因为从1点整到1点15°，分针走一圈的

，此时时针走一格的

，因此1点15分时时针与分针夹角（1+

）×30°=52.5°．列方程可求解．

【解】设时针走x°时，时针与分针首次重合．

依题意，得：

12x-x=360-（

×30）

解得：

x=

，∴12x=

=335

答：

分针再转335

度，时针与分针首次重合．

方法5：

最优策略问题

直线上有两点（如图）A1和A2，要在直线上找一点P，使A1、A2到P的距离之和最小，则P点可放在A1、A2之间任意位置（包括A1和A2）．此时PA1+PA2=A1A2．

直线上有三点A1、A2、A3（如图）．要找到一点P，使PA1+PA2+PA3的和最小．

不妨设P在A1、A2之间，此时PA1+PA2+PA3=A1A3+PA2；

若P在A2、A3之间，此时PA1+PA2+PA3=A1A3+PA2；

若P在A1上，则PA1+PA2+PA3=A1A3+A1A2；

若P在A2上，则PA1+PA2+PA3=A1A3．

若P在A3上，则PA1+PA2+PA3=A1A3+A2+A3

结论：

当P选在A2点时PA2+PA2+PA3的和最小，其最小值为A1A3．

不难发现，当直线上有四个点时，如图所示．P点选在A2A3上（包括端点）．可使P到A1、A2、A3、A4的距离之和最小．其最小值为A1A4+A2A3．

当直线上有五个点时，如图所示P点选在A3上，可使P到A1、A2、A3、A4、A5的距离之和最小，其最小值为A1A5+A2A4．

【规律总结】当直线上有偶数个点时，P应选在最中间两点之间（可与这两点重合）；当直线上有奇数个点时，P点与最中间的点重合，可使P到各点距离之和最小．

四、中考试题归类解析

（一）线段，角

【例1】（2003，青海），如图，C是AB的中点，D是BC的中点，下面等式不正确的是（）

A．CD=AC-DBB．CD=AD-BCC．CD=

AB-BDD．CD=

AB

【思路分析】∵C是AB的中点，∵AC=BC

又∵D是BC的中点，∴CD=DB

【解析】根据题意结合图形可得，应选D

【规律总结】此类题基本上都是以选择题填空题出现．

【例2】（2004，黑龙江）一束光线垂直照射水平地面，在地面上放一个平面镜，欲使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成锐角的度数为（）

A．45°B．60°C．75°D．80°

【思路分析】由垂直照射水平地面到反射后成水平光线说明入射光线与反射光线成90°的角根据入射角与反射角相等可得入射角为45°，也得出平面镜与地面所成的锐角度数为45°

【解】应选A

【规律总结】象这样数学整合其它学科的题将是今后中考命题的趋势．

（二）平行

【例1】（2003，安徽）如图，已知AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【思路分析】由AC⊥BC，可知∠ABC与∠CAB互余，

又因为AB∥CD，所以∠ABC=∠BCD，又由对顶角的性质∠ABC=∠1

【解】答案：

C

【规律总结】考查平行线段性质的问题是中考命题中常出现的．

【例2】（2004，安徽）如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD=_______．

【解】答案：

40°

【规律总结】这类题目作平行线是解题的关键，通过作平等线把所求角与已知角加以沟通．

五、中考试题集萃

一、填空题

1．（2003年，青海）如图1，两平面镜α、β的夹角为θ，入射光线AO平行于β入射到α上，经过两次反射后的出射光线O′B平行于α，则角θ=________度．

2．（2003，长沙）如图2，AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，∠1=70°，则∠2=____度．

（1）

（2）（3）（4）

3．（2003，河南）如图3，直线L1∥L2，AB⊥L1，垂足为O，BC与L2相交于点E，若∠1=43°则∠2=_______度．

4．（2003，福州）如图4，直线a、b被直线c所截，且a∥b，如果∠1=60°，那么∠2=______度．

5．（2004，太原）如图5，Rt△ABC中，∠C=90°，沿过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于_________．

（5）（6）（7）（8）

6．（2004，福州）如图6，两条直线a、b被第三条直线C所截，如果a∥b，∠C=70°，那么∠2=_______．

7．（2004，贵阳）如图7，直线a∥b，则∠ACB=_____度．

8．（2004，镇江）已知∠α=36°，若∠β是∠α的余角，则∠β=______，sinβ=_______．（结果保留四个有效数字）

9．（2004．岳阳）已知一个角的余角为60°，则这个角的补角为_________．

二、选择题

1．（2003，北京海淀区）若∠α=30°，则∠α的补角是（）

A．30°B．60°C．120°D．150°

2．（2003，北京海淀区）如图8，直线c与a、b相交，且a∥b，则下列结论：

①∠1=∠2②∠1=∠3③∠3=6∠2中正确的个数为（）

A．0B．1C．2D．3

3．（2003，南通）已知：

如图9，下列条件中，不能判断直线L1∥L2的是（）

A．∠1=∠3B．∠2=∠3C．∠4=∠5D．∠2+∠4=180°

（9）（10）（11）（12）

4．（2003，湘潭）如图10，从A地到B地有多条道路，一般地，人们会走中间的直路，而不会走其他的曲折的路，这是因为（）

A．两点之间线段最短B．两直线相交只有一个交点

C．两点确定一条直线D．垂线段最短

5．（2004，台州）天安门广场上五星红旗的旗杆与地面的位置关系属于（）

A．直线与直线平行B．直线与直线垂直

C．直线与平面平行D．直线与平面垂直

6．（2004，河南）如图11，从A地到C地，可供选择的方案是走水路，走陆路，走空中．从A地到B地有2条水路，2条陆路，从B地到C地有3条陆路可代选择，走空中从A地直接到C地，则从A地到C地可供选择的方案有（）

A．20种B．8种C．5种D．13种

7．（2004，南京）如果∠α=20°，那么，∠α的补有等于（）

A．20°B．70°C．110°D．160°

8．（2004，日照）如图12，已知直线AB∥CD．当点E在直线AB与CD之间时，有∠BED=∠ABE+∠CDE成立；而当点E在直线AB与CD之外时，下列关系式成立的是（）

A．∠BED=∠ABE+∠CDE或∠BED=∠ABE-∠CDE

B．∠BED=∠ABE-∠CDE

C．∠BED=∠CDE-∠ABE或∠BED=∠ABE-∠CDE

D．∠BED=∠CDE-∠ABE

三、解答题

1．（2003，山东）某市召集20名特级老师参加教研教改研讨会，与会的特级老师每两人之间都握手一次，那么他们之间一共握手________次．

2．（2003，天津）如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，求证：

∠EDF=∠BDF．

3．（2003，青海）如图，OM是∠AOB的平分线，射线OC在∠BOM内部，ON是∠BOC的平分线，已知∠AOC=80°，求∠MON的度数．

4．（2004，武汉）如图，已知AB∥CD，∠EAF=

∠EAB，∠ECF=

∠ECD。

求证：

∠AFC=

∠AEC。

5．（2004，四川）如图，已知点C是∠AOB平分线上一点，点P、P′分别在边OA、OB上，如果要得到OP=OP′．需要添加以下条件中的某一个即可．请你写出所有可能结果的序号为________．

①∠OCP=∠OCP′②∠OPC=∠OP′C；③PC=P′C④PP′⊥OC

6．（2004，乌鲁木齐）某市为筹办一个大型运动会，该市政府打算修建一个大型体育中心，在选址过程中，有人建议该体育中心所在位置应到该市三条主要公路的距离相等，若采纳此人建议，请你在图中作出体育中心的位置，（不要写作法，只保留作图痕迹）

答案

一、填空题：

1．602．1103．1334．120°5．30°6．110°

7．78°8．54°，0．80909．150°

二、选择题：

1．D2．D3．B4．A5．D6．D7．D8．C

三、解答题：

1．190．

2．证明：

∵CE∥DF∠EDF=∠DEC

又∵AC∥DE

∴∠DEC=∠ACE

∴∠ACE=∠EDF

又∵DF∥CE

∴∠FDB=∠ECB

又∵∠ACE=∠ECB

∴∠EDF=∠BDF．

3．解：

∠MON=

∠AOB-

∠BOC

=

（∠AOB-∠BOC）

=

∠AOC

=

×80°=40°

4．提示：

∠AEC=∠EAB+∠ECD

∠AFC=∠FAB+∠FCD

∠AEC=∠FAB+∠FCD+∠EAF+∠ECF．

5．①或②或④．

6．体育中心应选在三条公路相交所构成的三角形角平分线的交点处．