第9讲一次函数图象综合word版.docx

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第9讲一次函数图象综合word版

第9讲一次函数图象综合

1．知识目标

模块一

一次函数与不等式

例1、例2

难度：

 ★★

模块二

含参一次函数过定点问题

例3

难度：

 ★★

模块三

含参一次函数交点问题

例4、例5、例6

难度：

 ★★★★

模块四

含参分段函数问题

例7、例8

难度：

 ★★★★

模块一一次函数与不等式

知识导航

由上一讲的学习我们已经知道，任何一个一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，故解一元一次方程ax＋b＝0，相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为0时，求自变量x的值.那么对于一元一次不等式，有没有类似的结论呢?

  一次函数与一元一次不等式的关系

  例如：

下面三个不等式有什么共同点和不同点?

试从函数角度对这三个不等式进行解释.

（1）3x＋2＞2  （3）3x＋2＜0  （3）3x＋2＜－1

结论：

一元一次不等式ax＋b＞O（a，b为常数，a≠0）的解集，可以看作是一次函数y＝ax＋b的函数值大于0时，自变量x的取值范围，也就是求一次函数y＝ax＋b的图象在x图象上方的部分，其自变量x的取值范围.

同样的，一元一次不等式ax＋b＜O（a，b为常数，a≠0）的解集，可以看作是一次函数y＝ax＋b的函数值小于O时，自变量x的取值范围.也就是求一次函数y＝ax＋b的图象在x轴的下方的部分，其自变量x的取值范围.

刻意练习

  如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过A、B两点.

（1）不等式kx＋b＞2的解集为.

（2）不等式kx＋b＜2的解集为.

（3）x＞3时，y的范围为.（4）方程kx＋b＝3的解为.

（5）不等式kx＋b＞0的解集为.

例1

（1）（2007武汉中考）

如图，已知函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象交于点P（－2，－5），则根据图象可得不等式3x＋b＞ax－3的解集是.

（2）如图，直线AB的解析式为y1＝k1x＋b1，直线AC的解析式为y2＝k2x＋b2，它们分別与x轴交于点B、C，且B、A、C的三点的横坐标分別为－2、－1、2，则満足y2＞y1＞0的x的取值范围是.

练习

（1）（2017武昌区八下期末〉

如果直线y＝k1x＋b1和直线y＝k2x＋b2（k1＞k2＞0）的交点坐标为（a，b），则不等式k1x＋b1＜k2x＋b2的解集是（）

A.x＞aB.x＜aC.x＞bD.x＜b

（2）（2016洪山区八下期末）

如图，一次函数y1＝－x＋b1和y2＝k2x＋b2的图象交于（－1，2），则不等式组4＞－x＋b1＞k2x＋b2的解集为.

例2

（2017二中八下期末模拟）

直线y＝kx＋b经过点（0，3），与直线y2＝mx交于点P，P点横坐标为－1，则不等式组：

mx＜kx＋b＜mx＋3的解集为.

练习

（2010武汉中考）

如图，直线y1＝kx＋b过点A（0，2），且与直线y2＝mx交于点P（1，m），则不等式组mx＞kx＋b＞mx－2的解集是.

模块二含参一次函数过定点问题

例3

（1）无论k取何值，直线y＝kx－2k都经过点.

（2）已知函数y＝（m－2）x＋2m－3，则此函数图象过定点.

（3）求证：

不论k为何值，一次函数（2k－1）x－（k＋3）y－（k－11）＝0的图象恒过一定点.

拓展

已知直线AB：

y＝kx＋2k＋4，D（2，2），求D到AB距离的最大值.

模块三含参一次函数交点问题

知识导航

常见的分段函数有以下几种形式：

①y＝

，②y＝∣x＋1∣，③y＝max{－x－1，x＋1}.

上面三个函数的图象实际上是相同的，如下图实线部分：

2.常见的含参一次函数有以下两种形式：

①y＝kx－k＋2，当k的值变化时，表示一组绕定点（1，2）旋转的直线，如图1.

②y＝

x＋b，当b的值变化时，表示一组平行于y＝

x的直线，如图2.

例4

（2016江岸区八下期末）

在同一平面直角坐标系中，直线y＝kx与函数y＝

的图象恰好有三个不同的交点，求k的取值范围.

练习

（2017青山区八下期末）

已知函数y＝

的图象为“W”型，直线y＝kx－k＋1与函数y1的图象有三个公共点，则k的值是（）

A.1或

B.O或

C.

D.

或－

例5

（2017江岸区八下期末）

已知函数y＝（k－1）x＋2k－1与y＝∣x－1|，当满足0≤x≤3，两个函数的图象存在2个公共点，则k满足的条件是（）

A.0≤k≤3B.

≤k≤

C.－

＜k≤0D.

＜k≤1

练习

函数y＝|x－1∣（－1≤x≤2）与y＝

x＋m的图象有两个交点，则m的取值范围是.

例6

（2016洪山区八下期末）

我们把a，b，c三个数的中位数记作Z{a，b，c}，直线y＝kx＋

（k＞0）与函数y＝Z{x，

x＋

，－x}的图象有且只有2个交点，则k的取值为.

练习

（2017汉阳区八下期末）

对于实数a、b，我们定义符号max{a，b}的意义为：

当a≥b时，max{a，b}＝a，当a＜b时，max{a，b}＝b；如：

max{4，－2}＝4，若关于x的函数为y＝max{x＋3，－x＋1}，则该函数的最小值是（）

A. 0B.2C. 3D.4

模块四含参分段函数问题

例7

（1）（2017武昌区八下期末）

已知函数y＝∣x－a|（a为常数），当1≤x≤3时，y有最小值为4，则a的值为（）

A. a＝－3或a＝5B. a＝－1或a＝7C. a＝－3或a＝7D. a＝－1或a＝5

（2）（2017洪山区八下期末）

将函数y＝2x＋b（b为常数）的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数y＝|2x＋b|（b为常数）的图象，若该图象在直线y＝1下方的点的横坐标x满足0＜x＜2，则b的取值范围为（）

A. －4＜b＜－2B. －3＜b＜－1C. －2＜b＜0D. －3＜b＜0

例8

（2017黄陂区八下期末）

在平面直角坐标系中，点P的坐标为（a，b），点P的“变换点”P´的坐标定义如下：

当a≥b时，P′点坐标为（a，－b）；当a＜b时，P′点坐标为（b，－a）.线段l：

y＝－

x＋3（－2≤x≤8）上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线y＝kx＋4与组成的新的图形有两个交点，则k的取值范围是（）

A.－3＜k≤－

  B.k＞－3或k＜－

C.－3≤k＜－

D.－

＜k＜－

 拓展

（2016江汉区八下期末）

在平面直角坐标系中，点P（a，b）的“变换点”P1的坐标定义如下：

当a≥b时，点P1的坐标为（b，－a）；当a＜b时，点P1的坐标为（a，－b）.

（1）直接写出点A（5，6），B（3，2），C（4，4）的变换点A1，B1，C1的坐标.

（3）P（a，b）为直线y＝－2x＋6上的任意一点.当a≥b时，P（a，b）的变换点在一条直线M上，求M的函数解析式并写出自变量的取值范围.

（3）直线y＝－2x＋6上所有点的变换点组成一个新的图形L，直线y＝kx－3k－6与图形L有且只有一个公共点，求k的取值范围.

课后作业

A 基础巩固

1.（2016汉阳区八下期末）

一次函数y＝kx＋k，不论k取何值，函数图象一定会经过点.

2.直线y＝kx＋b与坐标轴交于A（－3，0），B（0，－2），则：

（1）kx＋b＝0的解.

（2）kx＋b＋2＝0的解.

（3）kx＋b＜0的解集为.（4）kx＋b≤－2的解集为.

第2题图第3题图

3.如图，直线y＝kx＋b经过A（2，1），B（－1，－2）两点，则不等式

x＞kx＋b＞－2的解集为.

4.（2016江岸区八下期末）

如图，在平面直角坐标系中，存在直线y1＝2x和直线y2＝－x＋3.

（1）直接写出直线y2＝－x＋3与x轴、y轴的交点坐标分别为，.

（2）求出直线y1＝2x和直线上y2＝－x＋3的交点坐标.

（3）结合图象，直接写出0＜y2＜y1的解集.

5.（2015武汉中考）

已知一次函数y＝kx＋3的图象经过点（1，4）.

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）求关于x的不等式kx＋3≤6的解集.

6.如图，直线y1＝kx＋b的图象过点A（0，2），与y2＝mx的图象交于点P（1，m），求不等式组kx＋b－2≤mx＜kx＋b的解集.

B综合训练

7. 对于三个数a、b、c，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如min{－1，2，3}＝－1，min{－1，2，a}＝

，试求min{x＋1，2－x，2x－1}的最大值为.

8.如图所示，函数y1＝∣x∣和y2＝

x＋

的图象相交于（－1，1）、（2，2）两点，当y1＞y2时，x的取值范围是.

9.（2016武昌区八下期末）

一次函数y＝kx＋k的图象与函数y＝|x－1∣的图象有两个交点，则k的取值范围是.

10.（2016青山区八下期末）

给出定义：

若直线与一个图形有且只有两个公共点，则直线与该图形的位置关系是相交.在平面直角坐标系xOy中，以A（1，1），B（－3，0），C（－1，－1），D（0，－3）为顶点，顺次连接AB、BC、CD、DA构成图形M.若直线y＝－x＋b与M相交，则b的取值范围是.

数学故事

爱上数字7，又有新理由

世界上最受人喜爱的数字是7，至少这在亚历克斯·贝洛斯（AlexBellos）的民意调查结果中是这样的.

有人喜欢它是因为它是质数，有人则是因为自己的生日数字里有7.但我想说的是2014年菲尔兹奖（ FieldsMedalist）获得者曼久尔·巴尔加瓦（ManjuBhargava）的一次讲话，他给出了喜爱数字7的另一个理由：

指数丢番图方程（exponentialDiophantineequations）.

以数学家亚历山大丟番图命名的丢番图方程是有几个变量的整系数方程，它们的求解只在整数范围内进行.比如，当我们寻找毕达哥拉斯勾股数时，其实找的是满足方程a2＋b2＝c2的整数，这是丢番图方程.从逻辑上讲，指数丢番图方程就是未知数中有一个是指数的丢番图方程.

1913年，印度数学家斯里尼瓦沙·拉马努金（SrinivasaRamanujan）猜想指数丢番图方程2n－7＝x2的根只有当n＝3，4，5，7和15时，n和x才同时都是整数.1948年，挪威数学家特里格韦·纳格尔（TrygveNagell）证明了这个猜想，不过这是回应了他的同胞威廉·琼格伦（Wilhelmljunggren）的猜想，而不是拉马努金的.

2n－7＝x2这个方程看起来像是任意选择的，但其实它是个特殊的方程.对于任何大于7的D（非零），方程式2n－D＝x2最多只有两个根.这里有两个疑问：

首先，为什么7这么特别?

其次，拉马努金知道7的特殊性吗?

要不然在所有可能的数中他为何偏偏只选7呢?

我百思不得其解.

  一般来说，（数学中出现）特殊的数字往往是0或者1，也偶尔可能是2，但很少情况下是7.它反而通常是以“最受人们欢迎”的角色出现.

  巴尔加瓦的演讲中还有更多关于数字7的理论，这段视频可以从海德堡奖得主论坛网站上获取.在国际数学家大会上他收获了菲尔兹奖章，同时也做了一样的演讲.他的讲述语句优美、通俗易懂，值得一看.