人教版学年高中数学第一章立体几何初步122第1课时平行直线学案新人教B版必修2.docx
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人教版学年高中数学第一章立体几何初步122第1课时平行直线学案新人教B版必修2
第1课时 平行直线
学习目标
1.掌握空间中两条直线的位置关系，理解空间平行性的传递性.2.理解并掌握基本性质4及等角公理．
知识点一 基本性质4
1．文字表述：
平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．
2．符号表达：
⇒a∥c.
知识点二 等角定理
思考 观察图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
答案 从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.
梳理 等角定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
知识点三 空间四边形
顺次连接不共面的四点A，B，C，D所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．空间四边形用表示顶点的四个字母表示．
1．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠BAC＝∠B′A′C′.（ × ）
2．没有公共点的两条直线是异面直线．（ × ）
3．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．（ × ）
类型一 基本性质4的应用
例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，求证：
四边形EFGH是平行四边形．
解 在△PAB中，因为E，F分别是PA，PB的中点，
所以EF∥AB，EF＝
AB，同理GH∥DC，GH＝
DC.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，AB＝CD.
所以EF∥GH，EF＝GH.
所以四边形EFGH是平行四边形．
反思与感悟 证明两条直线平行的两种方法
（1）利用平行线的定义：
证明两条直线在同一平面内且无公共点．
（2）利用基本性质4：
寻找第三条直线，然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行，根据基本性质4，显然这两条直线平行．若题设条件中含有中点，则常利用三角形的中位线性质证明直线平行．
跟踪训练1 如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点．
求证：
四边形B1EDF是平行四边形．
证明 设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.
∵E是AA1的中点，
∴EQ綊A1D1.
又在矩形A1B1C1D1中，
A1D1綊B1C1，
∴EQ綊B1C1（基本性质4）．
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E綊C1Q.
又∵Q，F是DD1，C1C的中点，
∴QD綊C1F.
∴四边形QDFC1为平行四边形．
∴C1Q綊DF，∴B1E綊DF.
∴四边形B1EDF为平行四边形．
类型二 等角定理的应用
例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．
求证：
（1）四边形BB1M1M为平行四边形；
（2）∠BMC＝∠B1M1C1.
证明
（1）在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，
∴A1M1綊AM，
∴四边形AMM1A1是平行四边形，
∴A1A綊M1M.
又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，
∴四边形BB1M1M为平行四边形．
（2）由
（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1∥CM.
由平面几何知识可知，
∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
反思与感悟 有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径
（1）利用等角定理及其推论．
（2）利用三角形相似．
（3）利用三角形全等．本例是通过第一种途径来实现的．
跟踪训练2 已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：
（1）四边形MNA1C1是梯形；
（2）∠DNM＝∠D1A1C1.
证明
（1）如图，连接AC，
在△ACD中，
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∴MN∥AC，MN＝
AC.
由正方体的性质，得AC∥A1C1，AC＝A1C1.
∴MN∥A1C1，且MN＝
A1C1，即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形．
（2）由
（1）可知MN∥A1C1，又∵ND∥A1D1，
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的一个锐角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1.
类型三 空间四边形的认识
例3 如图，设E，F，G，H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，且
＝
＝λ，
＝
＝μ，求证：
（1）当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形；
（2）当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形．
证明
（1）∵
＝
＝λ，∴EH∥BD，∴
＝λ.
同理，GF∥BD，
＝μ.
又∵λ＝μ，∴EH＝GF，∴EH綊GF.
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）由
（1）知EH∥GF，又∵λ≠μ，∴EH≠GF.
∴四边形EFGH是梯形．
反思与感悟 因空间图形往往包含平面图形，在解题时容易混淆，所以把相似的概念辨析一下，区分异同，有利于解题时不出错，如本例中明确给出了“空间四边形ABCD”，不包含平面四边形，说明“A，B，C，D四点必不共面”，不能因直观图中AD与BC看似平行的关系认为它们是平行的．
跟踪训练3 已知空间四边形ABCD中，AB≠AC，BD＝BC，AE是△ABC的边BC上的高，DF是△BCD的边BC上的中线，判定AE与DF的位置关系．
解 由已知，得E，F不重合．
设△BCD所在平面为α，
则DF⊂α，A∉α，E∈α，E∉DF，
所以AE与DF异面．
1．直线a∥b，直线b与c相交，则直线a，c一定不存在的位置关系是（ ）
A．相交B．平行C．异面D．无法判断
答案 B
解析 如图，a与c相交或异面．
2．下列四个结论中假命题的个数是（ ）
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
A．1B．2C．3D．4
答案 B
解析 ①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面；当点A在直线l1上运动（其余三点不动）时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．
3．下列结论正确的是（ ）
A．若两个角相等，则这两个角的两边分别平行
B．空间四边形的四个顶点可以在一个平面内
C．空间四边形的两条对角线可以相交
D．空间四边形的两条对角线不相交
答案 D
解析 空间四边形的四个顶点不在同一平面上，所以它的对角线不相交，否则四个顶点共面，故选D.
4．下面三个命题，其中正确的个数是（ ）
①三条相互平行的直线必共面；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形．
A．1B．2C．3D．0
答案 D
解析 空间中三条平行线不一定共面，故①错；当把正方形沿对角线折成空间四边形，这时满足两组对边分别相等，也满足有一组对角都是直角，故②、③都错，故选D.
5．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（ ）
A．全等B．不相似
C．仅有一个角相等D．相似
答案 D
解析 由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.
1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．
3．注意：
等角定理的逆命题不成立．
一、选择题
1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于（ ）
A．30°B．30°或150°
C．150°D．以上结论都不对
答案 B
解析 由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补，故答案为B.
2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ ）
A．一定平行B．一定相交
C．一定异面D．相交或异面
答案 D
3．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是（ ）
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
答案 D
解析 等角定理的实质是角的平移，其逆命题不一定成立，OB与O1B1有可能平行，也可能不在同一平面内，位置关系不确定．
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（ ）
A．相交B．异面
C．平行D．垂直
答案 C
解析 如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理知，EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.
5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为AA1，CC1的中点，则四边形D1PBQ是（ ）
A．正方形B．菱形
C．矩形D．空间四边形
答案 B
解析 设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D1PBQ各边均为
，又D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ是菱形．
6.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中（如图），l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是（ ）
A．l与AD平行
B．l与AD不平行
C．l与AC平行
D．l与BD垂直
答案 A
解析 假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1知，l∥B1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，所以l与AD不平行．
7．长方体ABCD－A1B1C1D1的12条棱中，所在直线与棱AA1所在直线垂直的共有（ ）
A．6条B．8条C．10条D．12条
答案 B
解析 所在直线与棱AA1所在直线垂直的有AB，BC，CD，DA，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，共8条．
8．异面直线a，b，有a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是（ ）
A．c与a，b都相交
B．c与a，b都不相交
C．c至多与a，b中的一条相交
D．c至少与a，b中的一条相交
答案 D
解析 若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.
又c与b都在β内，∴b∥c.
由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．
如图，只有以下三种情况．
二、填空题
9．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β＝________.
答案 60°或120°
10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
（2）直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
（3）直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
（4）直线AB与直线B1C的位置关系是________．
答案
（1）平行
（2）异面 （3）相交 （4）异面
11．a，b，c是空间中三条直线，下面给出几个说法：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交；
③若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．
则上述说法中正确的为________．（仅填序号）
答案 ①
解析 由基本性质4知①正确．
若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行，也可能相交或异面，②错误；
若平面α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥l，b∥l，则a∥b，③错误．
三、解答题
12.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？
并说明理由．
解 如图所示，在面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求．
理由：
因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC.
13.如图所示，两个三角形△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且
＝
＝
＝
.
（1）证明：
AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′；
（2）求
的值．
（1）证明 ∵AA′与BB′相交于O点，
且
＝
，∴AB∥A′B′.
同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
（2）解 ∵AB∥A′B′，AC∥A′C′且AB和A′B′，AC和A′C′的方向相反，
∴∠BAC＝∠B′A′C′.
同理∠ABC＝∠A′B′C′，
因此△ABC∽△A′B′C′，
又
＝
＝
.
∴
＝
2＝
.
四、探究与拓展
14.如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．MN≥
（AC＋BD）
B．MN≤
（AC＋BD）
C．MN＝
（AC＋BD）
D．MN<
（AC＋BD）
答案 D
解析 如图所示，取BC的中点E，连接ME，NE，则ME＝
AC，
NE＝
BD，
所以ME＋NE＝
（AC＋BD）．
在△MNE中，有ME＋NE>MN，
所以MN<
（AC＋BD）．
15.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊
AD，BE綊
FA，G，H分别为FA，FD的中点．
（1）证明：
四边形BCHG是平行四边形；
（2）判断C，D，F，E四点是否共面？
为什么？
（1）证明 由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH綊
AD.又BC綊
AD，∴GH綊BC，
∴四边形BCHG为平行四边形．
（2）解 由BE綊
AF，G为FA的中点知，BE綊FG，
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由
（1）知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．
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