高中排列组合问题的解答技巧和记忆方法 2.docx
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高中排列组合问题的解答技巧和记忆方法2
排列组合问题的解题策略
一、相临问题——捆绑法
例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？
二、不相临问题——选空插入法
例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？
三、复杂问题——总体排除法
例3.（1996年全国高考题）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.
四、特殊元素——优先考虑法
例4．（上海高考题）1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．
例5．（全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有-----种.
五、多元问题——分类讨论法
例6．（北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）
A．42B．30C．20D．12
例7．（全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？
（以数字作答）
六、混合问题——先选后排法
例8．（2012年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）
例9．（2013年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）
A．24种B．18种C．12种D．6种
七．相同元素分配——档板分隔法
例10．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。
请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？
总之，解决排列组合问题的基本规律，即：
分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。
其次，我们在抓住问题的本质特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时，还要注意讲究一些解题策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。
下面介绍几种常用的解题方法和策略。
一．特殊元素（位置）的“优先安排法”：
对于特殊元素（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考虑其他。
例1、用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。
A．24个B.30个C.40个D.60个
二．总体淘汰法：
对于含否定的问题，还可以从总体中把不合要求的除去。
如例1中，也可用此法解答:
五个数字组成三位数的全排列有A53个，排好后发现0不能排首位，而且数字3，5也不能排末位，这两种排法要排除，故有A53--3A42+C21A31=30个偶数。
三．合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问题，按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
四．相邻问题用捆绑法：
在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法．
例2、有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有（）种．（结果用数值表示）
注：
运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题．
五．不相邻问题用“插空法”：
不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开．解决此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法．
例3、用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。
这样的八位数共有（）个．（用数字作答）
注：
运用“插空法”解决不相邻问题时，要注意欲插入的位置是否包含两端位置．
六．顺序固定用“除法”：
对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。
例4、6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？
例5、4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。
七．分排问题用“直排法”：
把几个元素排成若干排的问题，可采用统一排成一排的排法来处理。
例6、7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？
八．逐个试验法：
题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律。
例7.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的方格中，每方格填1个，方格标号与所填数字均不相同的填法种数有（）
A．6B.9C.11D.23
九、构造模型“隔板法”
对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题。
例8、方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？
十.正难则反——排除法
例9、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）种．
A．140种B．80种C．70种D．35种
十一．逐步探索法：
对于情况复杂，不易发现其规律的问题需要认真分析，探索出其规律
例10、从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则不同的取法种数有多少种。
十二．一一对应法：
例11.在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场失败要退出比赛）最后产生一名冠军，要比赛几场？
离散型随机变量及其分布列
[典型例题]
考点一
离散型随机变量分布列的性质
1.设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为：
ξ
－1
0
1
P
0.5
1－2q
q2
则q等于（ ）
A．1B．1±
C．1－
D．1＋
2．已知随机变量X的分布列为：
P（X＝k）＝
，k＝1,2，…，则P（2＜X≤4）等于（ ）
A.
B.
C.
D.
3．（2010·荆门模拟）由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失（以“x，y”代替），其表如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.x5
0.10
0.1y
0.20
则丢失的两个数据依次为______________．
题组二
求离散型随机变量的分布列
4.一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列．
5．设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为
，遇到红灯（禁止通行）的概率为
.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地时才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求：
（1）ξ的分布列；
（2）停车时最多已通过3个路口的概率．
题组三
超几何分布问题
6.（2010·随州模拟）一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P（X），则P（X＝4）的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
7．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于
的是（ ）
A．P（X＝2）B．P（X≤2）C．P（X＝4）D．P（X≤4）
8．（天津高考改编）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：
（1）取出的3件产品中一等品件数X的分布列；
（2）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
题组四
离散型随机变量及其分布列的综合应用
9.抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P（X≤4）＝________.
10．一个袋中装有若干大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是
；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是
.
（1）若袋中共有10个球；
①求白球的个数；
②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X分布列．
条件概率与事件的独立性
典例精析
题型一 条件概率的求法
【例1】一张储蓄卡的密码共6位数字，每位数字都可从0~9中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；
（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率.
题型二 相互独立事件的概率
【例2】三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分别为
，
，
，且他们是否破译出密码互不影响.
（1）求恰有二人破译出密码的概率；
（2）“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？
说明理由.
题型三 综合问题
【例3】某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.
方案一：
三门课程中至少有两门及格为考试通过；
方案二：
在三门课程中随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
（1）分别求该应聘者在方案一和方案二下考试通过的概率；
（2）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由.
离散型随机变量及其分布列典例精析
题型一 离散型随机变量的分布列
【例1】设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
求：
（1）2X＋
1的分布列；
（2）|X－1|的分布列.
题型二 两点分布
【变式训练2】若离散型随机变量ξ＝
的分布列为：
ξ
0
1
P
9c2－c
3－8c
（1）求出c；
（2）ξ是否服从两点分布？
若是，成功概率是多少？
题型三 超几何分布
【例3】有10件产品，其中3件次品，7件正品，现从中抽取5件，求抽得次品数X的分布列.
独立重复试验与二项分布典例精析
题型一 相互独立事件同时发生的概率
【例1】甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为
，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为
，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为
.
（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.
【变式训练1】甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为
，乙每次击中目标的概率为
.
（1）求乙至多击中目标2次的概率；
（2）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.
题型二 独立重复试验
【例2】（2010天津）某射手每次射击击中目标的概率是
，且各次射击的结果互不影响.
（1）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；
（2）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率.
【变式训练2】袋子A中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是
.从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止.
（1）求恰好摸5次停止的概率；
（2）记5次之内（含5次）摸到红球的次数为ξ，求P（ξ≥2）.
题型三 二项分布
【例3】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率为
.
（1）设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；
（2）设Y为这名学生在首次遇到红灯前经过的路口数，求Y的分布列；
（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
【变式训练3】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为
，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求随机变量ξ的分布列.
12.10 离散型随机变量的期望与方差
典例精析
题型一 期望与方差的性质的应用
【例1】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n＝1,2,3,4）.现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号.
（1）求ξ的分布列、期望和方差；
题型二 期望与方差在风险决策中的应用
【例2】甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ξ、η，ξ和η的分布列如下：
ξ
0
1
2
P
η
0
1
2
P
试对这两名工人的技术水平进行比较.
【变式训练3】（2010北京市东城区）已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次，三次正面均朝上的概率为
.
（1）求抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率；
（2）抛掷这样的硬币三次后，抛掷一枚质地均匀的硬币一次，记四次抛掷后正面朝上的总次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望E（ξ）.
正态分布典例精析
题型一 研究正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
【例1】某正态曲线的密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为
，求总体位于区间[－4，－2]的概率.
【变式训练1】设X~N（1,22），试求：
（1）P（－1＜X≤3）；
（2）P（X≥5）.
题型二 利用正态总体密度函数估计某区间的概率
【例2】已知某地区数学考试的成绩X~N（60,82）（单位：
分），此次考生共有1万人，估计在60分到68分之间约有多少人？
【变式训练2】某人乘车从A地到B地，所需时间（分钟）服从正态分布N（30,100），求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率.
（2013年高考北京卷（理））下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.
（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率;
（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?
（结论不要求证明）
2.（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是
外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是
假设各局比赛结果相互独立.
（Ⅰ）分别求甲队以3:
0,3:
1,3:
2胜利的概率;
（Ⅱ）若比赛结果为3:
0或3:
1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:
2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分
的分布列及数学期望.
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