数学人教版九年级上册实际问题与二次函数面积最大问题.docx
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数学人教版九年级上册实际问题与二次函数面积最大问题
教学任务分析
课题名称
实际问题与一元二次方程（第3课时）
科 目
数学
年 级
九年级
教学时间
1课时（45分钟）
学情分析
我教两个班，男生居多，纪律好，数学基础较好。
总体来看大部分学生愿意动脑筋，对数学课还比较喜欢，学习热情也比较高，课堂气氛比较活跃。
但有极少部分学生较懒，学习习惯差，不愿思考问题。
教学目标
一、情感态度与价值观
1.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用价值
2.提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用
二、过程与方法
1.通过解决封面设计与草坪规划的实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，提高实践应用意识
2.经历将实际问题抽象数学问题的过程，探索问题中的数量关系，学会运用一元二次方程对之进行描述
三、知识与技能
1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理
教学重点、
难点
1列一元二次方程解应用题.
2发现问题中的等量关系.
教学资源
课前给学生每人准备一张例题的教学讲义
教学流程安排
活动流程图
活动内容和目的
活动1 复习解应用题的一般步骤
活动2：
例题：
封面设计问题
活动3 练习：
草坪规划问题
活动4 小结，布置作业
回顾解应用题的一般步骤和应注意的问题．
分析题中的数量关系及其变化，对比几种方案，活跃思维，提高解题能力．
认识图形变换（平移）对解题思路的影响，熟悉面积问题应用题的基本思路和方法．
回顾，总结，提高知识的系统性．
教学过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
「活动1」
问题：
上节课我们学习了实际问题与一元二次方程，大家学到了哪些知识和方法？
教师提出问题，学生回忆，请一位同学作答，其他同学补充．
教师应特别留意：
（1）学生对列方程解应用问题的步骤是否表述清楚；
（2）学生是否说出了每一步骤的关键和应注意的问题．
自然引入，使学生很快进入学习状态
「活动2」（课件：
设计封面）
例题：
要设计一本书的封面，封面长27 cm ,宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
问题：
（1）题中有哪些数量关系？
（2）怎样理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的形”？
（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出相应的一元二次方程方程？
（4）解方程，得出结论，并对几种方法加以对比？
思路点拔：
依据题意知：
中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：
7，由此可以判定：
上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：
7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：
中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的1/4，则中央矩形的面积是封面面积的3/4．
所以（27-18x）（21-14x）
=×27×21
整理，得：
16x2-48x+9=0
解方程，得：
x=，
x1≈2.8cm，x2≈0.2
所以：
9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm
因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．
教师展示课件“设计封面”，
请一位同学朗读题目
教师提出问题
（1）．小组分析，请一位组长回答，教师在题目中指出数量关系．
教师提出问题
（2）．学生思考后小组讨论，请一位同学表述小组看法，并举简单例子说明，引导学生得出正中央矩形的长宽比是9∶7．
教师提出问题（3）．学生分组讨论，选代表上台分析、演示、回答，每位同学要着重分析对题目中的数量关系的处理方法．其中，设左右边衬和上下边衬为7x和9x的方法，教师要配合图形的平移加以电脑演示．
教师提出问题（4）. 学生分组，分别按问题（3）中所列的方程来解答，然后选代表展示解答过程，并强调解题过程和应注意问题．
在活动2中，教师应注意：
（1）学生对几何图形的分析能力；
（2）学生对未知数的选择，能否根据情况，找到简单的处理方法；
（3）在讨论中能否互相合作，取长补短；
（4）解答一元二次方程的准确性；
（5）学生的语言表达是否准确．
思考：
你能否想出一种更简单的解题方法呢？
要加油！
设正中央的长方形长为9acm，宽为7acm，依题意得：
9a·7a= 3/4×27×21
学生思考，小组之间讨论，拿出结果，与大家分享。
对面积问题作初步的认识，与一元二次方程建立初步的联系。
问题
（1），
（2）依据学生的实际情况，引导学生弄清楚题中的数量关系，为方程的列出做铺垫
问题（3）通过学生小组讨论，交流，得出正确的方程
问题（4）由学生自己解决，小组代表板演，交换评价解题过程及步骤，检验学生解一元二次方程的能力，培养学生良好的解题习惯
思考：
通过多种方法处理实际问题，通过对解题过程的比较，让学生体会不同的未知数设法对解题的影响，感知解题的灵活性。
「活动3」
练习：
如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？
问题：
（1）题中有哪些数量关系？
（2） 由这些数量关系还能得到什么新的结论？
你想如何利用这些数量关系？
为什么？
如何列方程？
（3）对比下列两个图形，它们有什么联系与区别？
教师展示课件：
设计图案
请一位同学朗读并分析题目．
教师提出问题
（1）．
学生回答，教师在题目中指出．
教师提出问题
（2）．
留时间让学生思考．因为有例1的基础，选一位同学回答这一组问题的前两问即可，如有不完全的地方，教师适当补充．
让学生适当思考，请一位程度较好的同学回答，教师做屏幕演示，提醒：
剩余草坪的面积，是否就是原草坪的面积减去四条路的面积？
引导学生注意道路重叠部分的处理．
教师提出问题（3）．
学生分组讨论，教师指导、引领学生讨论后请一位同学回答．
教师引领学生发现：
两个图形都存在两横两纵四个矩形，并都有四处重叠部分，但剩余部分，第一个图是一个完整的矩形，易于表示；而第二个图中分为9块，所以不易表示．
活动3：
让学生巩固面积问题的解法，感受对题目中数量关系的适当转变对解题的影响，丰富解题经验，拓宽了解题思路。
问题
（1）
（2）与活动2类似，对学生起到巩固加深的作用。
问题（3）是本活动的关键，旨在对比图形的联系与区别，启发学生构建草坪问题的解题思路。
让学生亲自动手，体会数学建模的思想与过程对不合适的答案给予正确的引导。
（4）有什么方法使本题更易于解决？
教师提出问题（4）教师与学生一起评价，总结图形变换的基本原则．
活动3中，教师应注意：
（1）解答应用题的步骤；
（2）让学生感受平移变换的优点；（3）学生对图形的观察、分析能力；
（4）教师要强调图形变换中图形改变、位置改变、关键量面积不变的原则．
启发学生用不同的方法去解，并加以对比，从而开拓解题思路.
「活动4」
问题：
通过本节课的学习，大家有什么新的收获和体会？
教师提出问题，学生回答．
活动4中，教师应注意：
（1）对知识的归纳，总结，整理能力；
（2）知识的横向联系及熟练、准确地运用数学语言表达数学思想．
活动（4）通过学生谈到的收获与体会，使本节课所学知识条理化、清晰化，同时也巩固了一元二次方程的解法。
布置作业：
1.正式：
课本48页，第5、8题； 课本53页，第6、8题．
2.探究：
某中学为美化校园，准备在长32m，宽20m的长方形场地上，修筑若干条笔直等宽道路，余下部分作草坪，下面请同学们共同参与图纸设计，要求草坪面积为540m2，求出设计方案中道路的宽分别为多少米？
1.正式作业：
学生独立完成，教师批改时应关注：
1）.等量关系分析是否正确；
2）.能否有效变换图形，寻找简单的方法列出方程；
3）.解题思路是否完整，解题过程是否规范．
2.探究作业：
学生先仔细读题，找出等量关系，列方程，课余讨论，由于答案不唯一，只需合理即可。
1.正式作业让学生对所学知识能进一步巩固，加深。
2. 探究作业培养学生的创新思维，充分加强数学的应用意识。
板书设计：
22.3 实际问题与一元二次方程（第三课时）
一、 解应用题的步骤 1、2、3、4、5
二、 例题：
三、 练习：
分析：
…… 分析：
……
解：
解：
思考：
… … 思考：
……
四、作业布置
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