黎曼关于几何基础中的假设原文.docx
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黎曼关于几何基础中的假设原文
黎曼《关于几何基础中的假设》--学习笔记
（1）
研讨的方案
方为民胥鸣伟译（数学珍宝__历史文献精选）
大家知道，几何学事先设定了空间的概念，并假设了空间中各种建构的基本原则。
关于这些概念，只有叙述性的定义，重要的特性则以公设的形态出现。
这些假设（诸如空间的概念及其基本性质）彼此间的关系尚属一片空白；我们看不出这些概念之间是否需要有某种程度的关联，相关到什么地步，甚至不知是否能导出任何的相关性。
张海潮李文肇译（http:
//episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/）
学习笔记：
典型的数学思维方法：
遇到问题，首先将问题中涉及的概念进行分类，那些概念数学给了明确、严谨的定义，那些没有。
那些没有给出明确严谨的定义的概念，往往是创新突破口。
黎曼可能是发现“空间”概念“只有叙述性的定义”或是“仅给出它们名称上的定义”，还没有明确严谨的数学定义。
这样，在当时的几何学“空间”中的一切建构就都不可靠了。
由此，黎曼就从此点入手准备大动干戈了。
方为民胥鸣伟译（数学珍宝__历史文献精选）
从欧几里德（Euclid）到几何学最著名的改革家雷建德（Legendre），无论是数学家或研究此问题的哲学家都无法打破这个僵局。
这无疑是因为大家对于「多元延伸量」（multiplyextendedquantities）（包括空间量）的概念仍一无所知。
因此我首先要从一般「量」（quantity）的概念中建立「多元延伸量」的概念。
我将指出，「多元延伸量」是可以容纳若干度量关系的。
所以我们所处的空间也不过是三元延伸量的一种特例。
然而在此必然会发觉，几何学中的定理并不能由「量」的一般概念中导出，而是要源自经验和能够将空间从其它易知的三元量属性区分出来。
张海潮李文肇译（http:
//episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/）
学习笔记：
1.首先明确前人“从欧几里德（Euclid）到几何学最著名的改革家雷建德（Legendre）”都没有搞清楚此问题。
2.于是黎曼抛出自己的思想方法。
重点在于，黎曼的思想方法是怎样产生的：
这一段张、李译的“多元延伸量”似乎比方、胥译的“多重广义尺度”好些。
黎曼“多元延伸量”思想方法的产生——猜测：
a）.从纯数学的“数量”的角度关心涉及“空间的大小观念”的“度量”，可发现不同维空间的“度量”仅仅是“度量”的维数不同而已（黎曼称之为“量”的“多元”）。
空间中的“度量”是一个纯数学内核，在数学上给出严谨定义容易。
b）.如果不考虑欧氏空间坐标轴相互呈垂直状态，而是仅仅考虑“度量”的维数（黎曼称之为“多元”），则就抽象出了“多维度量”概念。
而度量的垂直仅仅是其特例。
c）.再进一步抽象，空间中的每一个点的度量维数由空间的维数可知是确定的。
既然每一点的维数都是确定的，则从一点连续地（或离散地）到另一点，点的维数就可以不依赖空间是否平直（欧氏空间是平直空间）。
抽象出这种从一点滑向另一点（黎曼称之为“延伸”）过程中点的维数变化不依赖空间性质，就可将这一特性用于非欧空间。
d）.再进一步抽象，既然每一点的维数都一样，那从一点连续地（或离散地）到另一点，就可看成是一个相同的点在“流动”，其点的形状（即维数）保持不变，即流动中形状不变。
这样，就可看成是一个点、更准确地说是一个形状在流动，这样叫“流形”就更加直观、合理了。
e）.上述抽象结果来源于欧氏空间，包含欧氏空间，与欧氏空间无矛盾。
所以，“「多元延伸量」是可以容纳若干度量关系的。
所以我们所处的空间（欧氏空间）也不过是三元延伸量的一种特例。
”“而那些通常空间的不同于”上述抽象结果“所能得到的性质只能来自经验。
”这些没有严谨数学定义的“性质”恰好是我们数学要摈弃的。
3.黎曼的这种思想方法是典型的从数学角度处理客观事物的方法。
数学就是这样从客观事物中产生的。
方为民胥鸣伟译（数学珍宝__历史文献精选）
因而有了一个问题，即如何找出一组最简单的数据关系来决定空间的度量关系。
这个问题的本质尚有争议且可能有好几套简单的数据关系均符合要求。
单就眼前的问题看，最重要的一套是欧几里得做为几何学原本的公设。
一如所有数据关系的定义，它们并没有逻辑上的必然性。
只是由经验认可，是一个假说。
因此，我们能够做的是研究这类数据关系的可靠性（在我们的观察范围内当然相当可靠）。
然后考虑是否能够延伸到观察范围之外，亦即朝向测量不能及的大范围和小范围来推广。
张海潮李文肇译（http:
//episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/）
学习笔记：
1。
接下来就是寻找数学表达方式了。
有许多，其中用欧氏体系表达当然应该可以，但用它不是必然的，用它“仅仅具有由经验上得到的确定性。
”
2。
黎曼头脑很清醒。
虽然他认为上述抽象工作能推广到欧氏体系以外，但推广应用时绝对不是放之四海而皆准，在那些范围内能用他不好确定。
但他给出了一个简单的判断和推广方法：
即首先要判断可靠性。
“（在我们的观察范围内当然相当可靠）。
然后再考虑是否能够延伸到观察范围之外，亦即朝向测量不能及的大范围和小范围来推广。
”
I.n度广义流形的概念
方为民胥鸣伟译（数学珍宝__历史文献精选）
在尝试解决第一个问题──n元延伸量概念的建立之前，我恳求大家多批评指教，因为在这种哲学性质的工作上，观念比理论建构还难，而我在这方面所受的训练甚少。
过去所学，除了枢密顾问高斯谈双二次剩余的第二篇论文中的少许提示，他的五十周年纪念册及哥廷根学术杂志中的点滴及赫巴特（Herbart）的一些哲学研究外，也少能派上用场。
张海潮李文肇译（http:
//episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/）
学习笔记：
此文是1854年，生活清贫的黎曼为了取得哥廷根大学编外讲师的资格作的演讲，讲演时高斯就坐在旁边。
可以说高斯十分看好黎曼，给了他许多帮助。
但从文中可看出黎曼对高斯的工作作了恰如其分的评价，不卑不亢。
我一直不明白，中国的学术界为何会流行一种通病：
为讨好上司、权威，能像太监一样极尽谄媚之能事；对同事、对他人的学术成果，能像文革中的政工嘴脸一样，极尽诬蔑打击之能事，这些病毒是从哪里来传染来的？
从黎曼的为人来看不像是从西方传染过来的。
方为民胥鸣伟译（数学珍宝__历史文献精选）
要了解「量」必须先有一个关于「量」的普遍观念和一些能体现它的特殊事例（instance）。
这些事例形成了所谓的流形：
任两事例若可以连续地渐次转移成为彼此，是连续流形，否则为离散流形。
个别事例在前者中称为「点」（point），在后者称为「元素」（element）。
构成离散流形的例子很多，至少在较高等的语言中一定可以找得到──只要能够理解一堆东西摆在一起的观念就够了（在离散量的研究中，数学家可以毫不迟疑地假设所有的东西」都是同类的）。
反过来说，连续流形的例子在日常生活中很少，大概只有颜色以及实际物体的所有位置可以算是多元量的几个简单实例。
这种概念的创造与发展最先并屡屡出现于高等数学。
张海潮李文肇译（http:
//episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/）
学习笔记：
1.明确提出“流形”概念。
并将流形分为连续和离散两种。
连续流形中元素称之为“点”（point），离散流形中的元素称之为“元素”（element）。
2.从黎曼认为现实空间中离散普遍存在，而连续不多见来看，黎曼非常注意新生数学的应用性。
我认为，不能应用的数学是游戏。
方为民胥鸣伟译（数学珍宝__历史文献精选）
利用标记或圈围取出流形的某些部分，称为「量」。
对「量」的定量比较工作，在离散的情形可以用数的，在连续的情况下则需靠测量。
测量需将两个被比较的量迭合；因此必须选出一个量，充当其它量的测量标准。
否则，我们只能在一个量包含于另一个量时才能作比较，只能谈「较多」（more）、「较少」（less）,而不知绝对的「大小」（howmuch）。
以这种的方式进行，形成了对「量」研究的一个部门。
其中「量」的观念独立于测距（measurement）,而相依于位置；不以单位表示，而是必须视为流形上的区域。
这项研究对数学许多部门而言是必要的（例如多变量解析函数的处理），而这种研究的缺乏，正是阿贝尔（Abel）的著名定理及拉格朗吉（Lagrange）、发府（Phaff）和亚各比（Jacobi）等人的贡献之所以未能在微分方程一般理论中有所发挥的主要原因。
从「延伸量」的科学的这个部门出发，不需借助任何其它的假设，我们首需强调两点，以澄清「n元延伸量」的基本性质。
第一点是关于「多元延伸量」这种概念的建立，而第二点则提到如何将流形中定位置的问题转化为决定数值的问题。
张海潮李文肇译（http:
//episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/）
学习笔记：
1.利用标记或取出流形一个范围来进行分析讨论，离散情形可以用数数，连续时——猜想：
黎曼可能此时头脑中是在用极限概念，即：
任意小范围。
理由：
只有极限概念的任意小范围才能避免空间弯曲等影响，使其满足“独立于测距（measurement）,而相依于位置；不以单位表示，而是必须视为流形上的区域。
”
2.此段还表达了黎曼另一思想：
需要一个“标准的量”。
此思想来源——猜测：
我们大脑讨论人，就会想到一个脑袋和两只灵活上肢、两只行走的下肢组成的立式行走的动物；讨论狗，就会想到四肢爬行的动物。
总之，我们考虑任何事物，头脑中都会有一个该事物的粗犷的标准模式。
方为民胥鸣伟译（数学珍宝__历史文献精选）
在一个概念下的事例如果构成连续流形，则从其中的一个事例以确定的方式移动到另一个事例时，中间所经过的所有事例会构成一个一元延伸的流形。
它的特色是，从其中任一点出发，则只有两个方向可供连续移动：
亦即非往前则往后。
现在，我们想象这个一元流形以确定的方式移向另一个完全不同的一元流形，以致于旧流形上每一点都确定的走向新流形上的对应点，则仿前述，这样的例子便构成了一个二元延伸流形。
以此类推，我们可以想象一个二元延伸流形确定地移向一个完全不同的二元流形而得到一个三元延伸流形，不难看出如何继续这个建构。
如果我们把这个过程中的参与者看成是变动的，而非固定的概念，则这种建构可以看成是融合n维和一维的变动度（variability）而得到n+1维的变动度。
张海潮李文肇译（http:
//episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/）
学习笔记：
1."从其中的一个事例以确定的方式移动到另一个事例时，中间所经过的所有事例会构成一个一元延伸的流形。
它的特色是，从其中任一点出发，则只有两个方向可供连续移动：
亦即非往前则往后。
"表示当一n维流形沿着"以确定的方式移动"时，此n维流形与其移动轨迹上所有n维流形组成了一个多了一个可以“两个方向可供连续移动”的维数。
即组成了一个n+1维流形。
同理，当这个n+1维流形按上述方法移动时，我们就可得到一个n+2维流形。
方为民胥鸣伟译（数学珍宝__历史文献精选）
反之，我现在要说明怎样将一个具已知边界的变动度分解为一个一维变动度及一个较低维的变动度。
考虑流形上沿一个一维向度的分解，固定其中之一，使其分解上的点得以相互比较。
沿这个向度上的每一点都给定一个值，值随着点的不同而连续变化。
换句话说，我们可以在这个给定的流形上定出一个连续的位置函数，使在流形上的任一区，函数的值绝非常数。
则当此函数的值固定时，共享此值的所有原流形上的点，便形成了一个较低维的连续流形。
函数值改变时，这些流形便分解而连续地从一个变为另一个；我们因而可以假定它们全部都是同一个子流形的变换，而这种变换会使得第一个子流形上的每一点规律地对应到第二个子流形上的每一点。
也有些例外的情形，它们相当重要，在此略过。
这样，流形上点的位置，便可化简为一个数字以及一个较低维的子流形上的点的位置。
我们不难发现，原流形若是n维，则分解后所得到的子流形必有n-1维，这个过程重复n次以后，一个n元流形上的位置关系便可化为n个数字；任一个流形若可依此法予以化简，则化简的结果必然是有限个数字。
不过也有些较特殊的流形，其位置最后化简的结果是无穷列或连续体。
这流形的例子有：
某一区域上的所有函数、一个实体的所有形状等等。
张海潮李文肇译（http:
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黎曼《关于几何基础中的假设》--学习笔记（3）
II.能适用于n元量的度量关系（假设线的长度独立于其形状，每一条线都可以拿另一条线来量度）
方为民胥鸣伟译（数学珍宝__历史文献精选）
在建立了n元流形的观念，并将其中位置决定问题转化成为数值决定问题的基本性质确立之后，我们接着要讨论第二个问题，亦即研究能适用于流形的度量关系，及决定这些关系的条件。
这些度量关系只能以抽象方式表示，而它们之间的关连只能藉公式表达。
然而在某些假设之下，我们可以把它们化成能独立地以几何方式表现的关系，也因而可以将数量运算的结果以几何表示。
因此，虽然无法完全避免抽象公式化的研究，但其结果可用几何方式表出。
这两个部分的基础见于枢密顾问高斯谈曲面的著名论文中。
张海潮李文肇译（http:
//episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/）
学习笔记：
1.n维流形可以用n个点的数组表示，其中数组中每一个点都分别归属于一个维度、且仅仅归属于它所对应的一个维度。
2.我们下面讨论流形上的度量关系和确定度量关系的充分条件。
这只能通过一些抽象的尺度观点来讨论，并且还需要用一些公式。
“虽然无法完全避免抽象公式化的研究，但其结果可用几何方式表出。
”
方为民胥鸣伟译（数学珍宝__历史文献精选）
测量，需要先让量独立于位置而存在；有很多方法可以办到这一点。
这正是我在此所要提出的假说，亦即线的长度与其形状无关，每条线都能以另一条线测距。
位置化简为数量，则n元流形中的点的位置可用x1,x2,x3直到xn等n个变量表示；如此，则只要X（X=x1,x2…xn）能表为参数t的函数，便能定出直线。
所以我们的主题是，为线的长度定出一个数学式；为此，所有的X要有共同的单位。
我要在某些特定条件的限制下处理这个问题。
首先我要规定我所讨论的线，其dxi（xi的微变化量）间的比值呈连续变化。
如此，我们可以把线分割成许多小段的「线元素」（lineelement），使得「线元素」上dx（即dx1,dx2,dx3,......,dxn间）的比为定值，我们的问题则是，如何为每一点找出一个ds的一般式，其中ds必须以x和dx表示。
再则，我要假设，当「线元素」上每一点都产生相同的微量移动时，「线元素」的长度ds一阶不变；也就是说，如果所有的dx都以同一比例放大，则「线元素」亦以该比例放大。
张海潮李文肇译（http:
//episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/）
学习笔记：
1.黎曼思想——猜测：
为了保证流形在非欧体系中的应用，n维流形的测量结果要不受所在位置的影响。
这是黎曼建立流形的目的之一。
2.为了做到这一点，黎曼采用极限思想的任意小区域，即增量：
“dxi（xi的微变化量）”，用充分小的思想方法来使得流形避免空间曲直的影响。
方为民胥鸣伟译（数学珍宝__历史文献精选）
在这些假设之下，「线元素」可以是dxi的一个一次齐次函数，其中dxi全变号时「线元素」不变，且一次齐次式的系数都是x的函数。
举一个最简单的例子：
先找一个式子来代表与这个「线元素」的起点等距的所有点所形成的n-1维流形；亦即找到一个位置的连续函数，使得上述各等距n-1维流形代入之值都不同。
则向各个方向远离起点时，函数的值必须越来越大，或越来越小。
我要假设在其往各方向远离起点时，函数值越来越大，而在起点产生最小值。
因此函数的一次与二次微分系数如为有限，则一次项系数须为零，而二次项系数为非负；在此假设二次项系数恒正。
当ds固定时，这个二次微分式亦固定；当ds以同一比例放大时（dx亦然），它以平方的关系放大。
因此，它等于ds2乘以一个常数，而ds也因而等于一个以x的连续函数为系数的dx的正二次齐次式的方根。
在物理空间中，如用直角坐标，则
物理空间是我们这个「最简单的例子」中的特例。
张海潮李文肇译（http:
//episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/）
学习笔记：
3.为了保证这一点，必须保证流形函数是连续的，并且有一阶、二阶导数。
欧氏空间是一个最简单的特例。
4.流形函数是非线性的。
方为民胥鸣伟译（数学珍宝__历史文献精选）
下一个次简单的例子应该算是以四次微分式的四次方根来表示线元的流形了。
研究这种更一般的情形并不需要新的原理，然而非常费事，且对物理空间的研究帮助不多，特别是因为其结果无法以几何形式呈现。
我因此只打算研究「线元素」能表为二次微分式方根的这种流形。
若以n个新的独立变量的n个函数，代替原有的n个函数，则可将原来的式子转换成一个类似的式子。
然而我们并不能这样任意地用此法把一式变成另一式，因为这样的式子有
个系数是独立变量的任意函数。
引进新变量时只能满足n个条件，因此只能将n个系数的值求出。
还剩下
个系数，完全取决于所代表的流形，而需要
个位置函数来定出它的度量关系。
因此，像平面和物理空间这样子，线元素可写成
的流形，构成了一种特殊情形，是我们正要探讨的。
他们需要一个名称；因此我想把这种线元素平方能以全微分平方和之式子表示的流形叫做「平」（flat）的流形。
为了分析上述流形的主要差别，必须除去依赖于表现方式的那些特性。
为了达到这一点，我们要依据一定的原理来选择变量。
张海潮李文肇译（http:
//episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/）
学习笔记：
5.如果仅仅考虑n维流形的“二次微分式方根的这种流形”，则流形函数共有n*（n+1）/2个系数。
n维变量只能求出n个系数，剩下的n*（n-1）/2个系数“完全取决于所代表的流形”。
欧氏空间那样的流形仅仅是流形的一个特例。
即：
剩下的n*（n-1）/2个系数决定着不同的流形。
黎曼《关于几何基础中的假设》--学习笔记（4）
方为民胥鸣伟译（数学珍宝__历史文献精选）
基于以上的目的，我们要建立一个自一原点出发的测地线或最短曲线系统。
如此，任意点可经由两个条件而确定其位置：
连接该点与原点的最短曲线长度，以及此线在原点的初始方向。
也就是说，找出dx0（起始点上沿最短曲线的dx）的比值，及此线的长度s，就可得所求点的位置了。
我们现在引进一组线性表示da来代替dx0，使得在原点线元素的平方等于这些dai的平方和，因此独立变量便成了s，以及诸da的比。
最后，找x1,x2,x3,…,xn使其与dai成正比，且平方和等于s2。
引入这个量之后，对于微量的x，线元素的平方会等于
。
但它的展式中的下一级则是一个有
项的二次齐次式：
（x1dx2-x2dx1）,（x1dx3-x3dx1）,......，形成了一个四次的微量；我们若将它除以（0,0,0......）,（x1,x2,x3,......）,（dx1,dx2,dx3,......）三点为顶点的三角形的平方，将得到一个有限值。
此值在x和dx同属一个二元线性式时，或当由原点到x及由原点到dx这两条线属同一面元素时，是不会变的，因此视面元素的位置和方向而定。
很显然，若我们的流行是「平」的，它会等于0；此时线元素的平方可以化为
；因而可以将该值视为在此面元素的方向上与「平」之偏差的一个指标。
将它乘以-3/4，则便成了枢密顾问高斯所称的面曲率。
张海潮李文肇译（http:
//episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/）
学习笔记：
1.这一段开头写的有些混沌,看不懂,是翻译有误?
其中,这里顶点（dx1,dx2,dx3,......）表示方法可能不确切,可能改为（x1+dx1,x2+dx2,x3+dx3,......）更为恰当些。
2.黎曼给出了一种求流形上每一点的曲率的方法，它反映了流形在该点的弯曲程度，是内蕴性质，也就是说这个性质与流形所在的大空间无关。
方为民胥鸣伟译（数学珍宝__历史文献精选）
先前提过，需要有n（n-1）/2个位置函数才能确定上述n元流形的度量关系。
因此，每点若给定n（n-1）/2个面方向的曲率，便可以定出流形的度量关系；但有个条件：
这些曲率值之间不能有恒等式的关系，而确实如此，一般不会发生这种情形。
这样一来，这种能以微分平方式的方根表线元素的这种流形，其度量关系因此以完全独立于变量的选择表示。
我们也可以用同样的方法处理一种线元素表现的稍微复杂的情形──线元素表成微分的四次方根。
在这种更一般的情形下，线元素无法化成微分式的平方和的根号，因此线元素平方与「平」的偏差度将会是二阶的微量，而非如其它流形是四阶微量。
这种特性，不妨叫做最小部份的平面性。
然而就目前而言，这些流形最主要的特性，也是我们之所以要加以研究的原因，是二维流形的度量关系可以用几何上的「曲面」来代表，而多元流形的度量关系可以化为自身所包含的「曲面」。
我们将再做讨论。
张海潮
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