四川省泸州市届高三第一次诊断性考试数学理试题Word版含答案.docx
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四川省泸州市届高三第一次诊断性考试数学理试题Word版含答案
数学理试题
第I卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1•若tanC•才）=£，则tan〉的值为（）
1D1o
A.B•C•3D•―3
33
2•已知集合A={x|y=一2x—1},B={y|y=x?
}，则AB=（）
A.{（-1,1）}B•[0,C•（-1,1）D•.一
1
3•“x0”是“（丄广：
3”的（）
3
A.充分不必要条件B•必要不充分条件C•充要条件D•即不充分
也不必要条件
4•在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，F为BC的中点，则异面直线AF与
C1E所成角的正切值为（）
A.
.5
3
5•函数y=xIn|x|的大致图象是（）
6.设a,b是空间中不同的直线，-：
：
■是不同的平面，则下列说法正确的是（）
A.a//b,b二：
J则a//：
B•a二很，b：
：
//：
，则a//b
C.a二宀b二：
ja〃]b〃一：
，则〉/「-D.:
-//二a二：
；，则all'
7•已知函数y二sin（2x「:
）在x处取得最大值，则函数y二cos（2x「：
）的图象（）
6
A.关于点（二,0）对称B•关于点对称
63
JIJC
C关于直线X对称D.关于直线X对称
63
&如图，CD是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A
处时测得点D的仰角为300，行驶300m后到达B处，此时测得点C在点B的正北方向上,
且测得点D的仰角为45°，则此山的高CD二（）
A.150.3mB.75、2mC.150、2mD.300.2m
9.已知圆锥的高为5,底面圆的半径为i5,它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，
则该球的表面积为（）
A.4二B.36二C.48二D.24二
10.定义在R上的函数f（x）的导函数f'（x）无零点，且对任意xR都有f（f（x）・x2）=2,
若函数g（x）二f（x）-kx在[-1,1]上与函数f（x）具有相同的单调性，则k的取值范围是
（）
A.[0,：
：
）B.（-〜-3]C.（一~0]D.[-3,二）
11.已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（
兀12兀
A.2+—B—+兀C+応D.2+—
6233
12•函数f（x）=x-ln（x2）■ex_a4eaA，其中e为自然对数的底数，若存在实数xo使
f（X。
）=3成立，则实数a的值为（）
A.In2B.In2-1C.—In2D.-1n2—1
第n卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
―1
13•已知函数f（x）=2cos（x），且f（-a），贝Uf（a）的值为
23
log2x+4,0vx兰2
14.设函数f（x）=」，若f（a）=9，则a的值为.
Zx+1,x>2
（1）求a的值；
兀17H
（2）若方程f（x）m^0在［一，］内有两个零点，求m的取值范围
424
x兀
18.设f（x）二ae-cos（x），其中a0.
（1）求证：
曲线y二f（x）在点（0,f（0））处的切线过定点;
（2）若函数f（x）在（_1,1）上存在唯一极值，求正数a的取值范围
a,b,c,sinA=2sin（AB），它的面积
19•如图，在:
ABC中，角A,B,C所对的边分别为
5、一7
16
（1）
2c
求sinB的值；
3bd
（2）若D是BC边上的一点，COS.ADB，求的值•
4DC
20.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB//DC，ABC=90°,AD=SD，
BC二CD」AB，侧面SAD_底面ABCD.2
（1）求证：
平面SBD_平面SAD;
（2）若SD与底面ABCD所成角为60°，求二面角C-SB-D的余弦值•
12
21•已知函数f（x）=?
x-axalnx（a0）.
（1）讨论f（x）的单调性；
1
（2）当a=1时，若方程f（x）x，m（m"-2）有两个相异实根x「X2,且为：
：
：
X2,证明:
已知直线l的极坐标方程为^cos（）=3，曲线C的极坐标方程为T二4aCOST（a.0）.
3
1
（1）设t为参数，若y=一2•.3t，求直线I的参数方程；
（2）已知直线I与曲线C交于P,Q，设M（0,_2、、3），且|PQ『=|MP||MQ|，求实数a的
值•
23.已知函数f（x）=|a_3x||2•x|.
（1）若a=2，解不等式f（x）乞3；
（2）若存在实数x，使得不等式f（x）乞1-a-4|2x|成立，求实数a的取值范围
试卷答案
一、选择题
1-5:
BBACD6-10:
DACBA11、12：
CD
二、填空题
11
13.14.315.（―：
：
）16.（1,5）
32
三、解答题
2
17.
（1）f（x）二sinxcosx_cosxa
\21
得f（x）的最大值为一兰-•a
22
所以m
n17兀
因为方程f（x）m^0在［―,」］内有两个零点
424
所以直线y=m与函数丫=_必sin（2x—》）—1的图象在［-四］内有两个交点,
24424
17小7二
因为x，所以2x-
424446
结合图象可得m的取值范围是［_1一上2,_丄?
］.
22
18.证明：
（1）因为f，（x^aex2sin（2x）
所以f'（0）=a，又f（0）=a-1，
所以曲线y二f（x）在点（0,f（0））处的切线方程为
y-（a「1）=ax，即y二a（x1）-1，
所以曲线y二f（x）在（0,f（0））处的切线过定点（-1,-1）.
（2）因为f'（x）
X二二
=ae2sin（2x），
当a0，函数y=aex
nn
sin（
22
1）上都是增函数,
所以f'（x）二
x二二
ae—sin（qx）
在（-1,1）上是增函数,
因为函数f（x）在（-1,0）上存在唯一极值,
ji
所以a:
:
:
2e
19、
（1）因为sinA=2sin（AB），所以sinA=2sinC，
由正弦定理得a=2c，
因为S=1acsinB=c2sinB二^7c2
216
所以sinB二
5、7
（2）因为cos.ADB=?
4
所以sin.ADB=二
4
在ABD中，由正弦定理得
AD
sinB
AB
sin._ADB
5
所以ADc
4
55c3
由余弦定理得c2=（—c）2-BD2-2—BD—,
444
33
所以BDc或c,
28
3
因为D是BC边上的一点，所以BDc,
2
1
因为Ze，所以CD匕c，
bd
所以竺=3.
DC
20、
（1）因为.ABC=90°，BC=CD，
所以.CBD=45°，BCD是等腰直角三角形,
因为AB=」2BD，.ABD二45°,
所以ABDs：
BCD,
ADB=90°，即BD_AD,
因为侧面SAD_底面ABCD，交线为AD,
所以BD_平面SAD，所以平面SBD_平面SAD.
（2）过点S作SE_AD交AD的延长线于点E,
因为侧面SAD_底面ABCD,
所以SE_底面ABCD,
所以.SDE是底面SD与底面ABCD所成的角，即•SDE=600,
过点D在平面SAD内作DF_AD,
因为侧面SAD_底面ABCD,
所以DF_底面ABCD,
设Bd，―心,”—”），
.2—、6
则DB^KBS”牙「2牙），BC十三设m=（x,y,z）是平面SBD法向量,
.2^0
2
x-.2y兰z=0
22
取m=（.3,0,0）,
设n=（x,y,z）是平面SBC的法向量,
-丄x「2y兰z=0
.22
取n=（一3,-.3,-1）,
|cos：
：
m,n|二
|m||n|W3）2+1、：
&3）2+（-Y3）2+1
所以二面角C-SB-D的余弦值为丄
7
a1o
21、（“因为f'（x）二x「a（x-axa），
xx
函数f（x）的定义域为（0,•：
：
因为a0，当厶=a2-4a乞0，即0：
：
：
a乞4时，f'（x）对x-0恒成立
所以f（x）在（0,•：
：
）上是增函数,
2a-.a_4aaa—4a
「=a_4a0，即a4时，由f（x）0得2—或x2
则f（x）在（0,「^4a）,（色，=）上递增
22
a—la—4aa+ta2—4a在（a——a—4aaa一4a）上递减；
2'2
12
（2）设f（x）x2•m（m：
：
：
-2）的两个相异实根分别为Xi,X2，满足Inx-x-m=O,
且0：
：
x1：
：
1,x21，In捲-捲-m=Inx2-x2-m=0
1
令g（x）=lnx-x的导函数g'（x）1，
x
所以g（x）在（1,：
：
）上递减
由题意可知Inx-i-乂丄=m：
：
：
-2：
：
：
In2-2，
2
故x12，所以0：
：
：
为，飞：
：
：
1，
X2
令h（x）=Inx-x-m，
222
h（X2）-h（刃=（Inx2-X2）-（In二刃
x2x2x2
—x23Inx2-In2
X2
2
令F（t）二—t寺3Int—In2（t2），
2
则F'（t）十吾宁厂，当t2时，F'（t）：
：
：
0，所以F（t）是减函数,
3
所以F（t）：
：
F
（2）=21n20，
2
所以当x12时，h（X1）—h（±）：
：
0，
X2
所以X!
—，故XiX；:
:
:
2,
X2
综上所述，Xix2<2.
22、
（1）直线I的极坐标方程为kos（）=3
所以—「cos3：
?
sin71-3，即—x3y=3
2222
因为t为参数，若y=-2丨3•—t，代入上式得x-1,
所以直线I的参数方程为
（t为参数）
（2）由『=4acos”a-0），得評=4aTcosr（a0）由x=『cosv,y=『sinv代入，得x2y2=4ax（a0）将直线I的参数方程与C的直角坐标方程联立
得t2-2.一3（1a）t12=0（*）
汇二[23（1a）]2—412二（1a）2-40
bt2=2.3（1a）,t1t2=12，
设点P,Q分别对应参数t1,t2恰为上述方程的根
则|MP卜tp|MQ卜t2,|PQ|丸九|，
由题设得|1-t?
f=址2，
则有[2.3（1a）]2-60=0，得a=5-1或a=-$5-1
因为a・0,所以a=..5-1.
23.解：
（1）不等式f（x）岂3可化为|2-3x|-|2•x|_3，则
-2-2-x乞3
37
解得一汀X违，
所以不等式f（x）乞3的解集为{x|x}.
（2）不等式f（x）—a-4|2-x|等价于|a-3x|•312-x—a
即|a-3x|312-x|叮一a,
因为|a-3x|3|2x|-|a-3x|163x|」a-3x6•3x|=|a6|若存在实数x，使得不等式f（x）叮-a-4|2-x|成立，
则|a•6|釘-a，
1
15•已知函数f（x）=x（2xx），若f（x「1）•f（x），则x的取值范围是.
16.一个长、宽、高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转
动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
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