二次函数竞赛题.docx
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二次函数竞赛题
二次函数竞赛题
A，B两点，与y轴正方向交
1.二次函数yx2bxc的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于
于C点，若△ABD和厶OBC均为等腰直角三角形（0为坐标原点），则b2c
2.在直角坐标系中有三点
A（0,1）,B（1,3）,C（2,6）;已知直线yax
b上横坐标为0、1、2的点分
别为D、E、F.试求a,b的值使得AD2+BE2+CF2达到最小值
3.（2004年"TRULY@g利杯”全国初中数学竞赛试题）实数x、y、z满足x+y+z=5,xy+yz+zx=3，则z的最大值
是.
4.已知直线y2x3与抛物线yx2相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于
5.（2003年“TRULY@J|利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数y=ax2+bx+c（其中a是正整数）的图象
经过点A（-1,4）与点B（2,1）,并且与x?
轴有两个不同的交点，贝Ub+c的最大值为.
6.设抛物线yx2
2a1x2a-的图象与x轴只有一个交点，
（1）求a的值；
（2）求a18323a6的值.
4
7.通过实验研究，专家们发现：
初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始
学生注意力指标数y随
时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散
时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）
一部分，当10x20和20x40时，图象是线段.
（1）当0x10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；
（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟•问老师能否经过适当安排，
使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.
&课题研究：
现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的
W古曰.曰[.流量最大・
?
水槽的横截面面积越大，则通过
初三
（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：
在水流速度一定的情况下,
水槽的水的流量越大•为此，？
他们对水槽的横截面进行了如下探索：
（1）方案①：
把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图a）•
2
若/ACB=90°,设AC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米，请你写出y关于x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？
方案②：
把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图b）•若/ABC=120°,?
请你求出该水槽的横截面面积
的最大值，并与方案①中的y的最大值比较大小.
（2）
?
使你所设计的水槽的横截面面积更大•画出
假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案,
你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）
2k
9•如图，抛物线yaxbx（a0）与双曲线y—相交于点
x
三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）•
（1）求实数a,b,k的值；
（2）过抛物线上点A作直线AC//x轴，交抛物线于另一点
足厶EOCs^AOB的点E的坐标.
（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标；
（2）经探究可知，△BCM与厶ABC的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？
若存在，请求出；如果不存在，请说明理由.
11•已知抛物线yx2与动直线y（2t1）xc有公共点（为』」,区皿），且x；x；t22t3.
（1）求实数t的取值范围；
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（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值.
（A）h<1
（B）h=1
（C）1（D）h>2
16.设0vkv1,
关于x
的一次函数y
kx
1（1
x）,
当1wxW2时的最大值疋（
）
k
（A）k
（B）
1
2k-
（C）
1
1
（D）k-
k
k
k
15.RtAABC的三个顶点A,B,C均在抛物线y
x2上,并且斜边AB平行于x轴.若斜边上的高为h，则（
个数是（
）
（A）2个
（B）4个
（C）6个
（D）8个
y丄上的图象上整点的
2x1
17.平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数
18.函数y2x24x1的最小值是
22.已知二次函数
ax2
bxc图象如图
6-2所示，则下列式子:
ab.
a-b+c，2a+b，2a-b中，其值为正的式子共有
ac，
定点，那么这两个定点间的距离为.
恰为等边三角形，那么k的值为
25.设x为实数，则函数y
一5的最小值是
12
xx1
26.设二次函数yx2
2
pxq的图象经过点（2,-1）,且与x轴交于不同的两点A（X1,0）B（X2,0）,M
为二次函数图象的顶点，求使△AMB面积最小时的二次函数的解析式
27.已知：
3x2+2y2=6x,x和y都是实数，求：
x2+y2的最大、最小值
28.ABC中，/B=60,AC=1，求BA+BC的最大值及这时三角形的形状
30.（南京）如图,
F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC,CD上的点，CE1,CF
4
-,直线EF交
3
AB的延长线于G，过线段FG上的一个动点H作HM丄AG,HN丄AD，垂足分别为
x，矩
形AMHN的面积为y
⑴求y与x之间的函数关系式；
⑵当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积为多少?
M,N，设HM
29.如图，点G、D、C在直线a上，点E、F、A、B在直线b上，若aIIb,RtGEF从如图所示的位置出发，沿直线b向右匀速运动，直到EG与BC重合.运动过程中GEF与矩形ABCD重合部分的面积S随时间t变化的图象大致是（）
31.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图
（1）所示.
售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润
最大•
v—1:
④b28a>4ac.其中正确的有：
（）
A、1个B、2个C、3个D、4个
35.（2007年天门）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为
点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM
上•为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？
请你帮施工队
计算一下.
函数y2的图象上.
1i
（i）若，，求函数y2的解析式；
32
1
（n）在（i）的条件下，若函数y1与y2的图象的两个交点为A,B，当△ABM的面积为时，求t的值;
12
（川）若0
1，当0t1时，试确定T,,三者之间的大小关系，并说明理由.
22
37.已知点A（0,3）,B（-2,-1）,C（2,-1）P（t,t）为抛物线y=x上位于三角形ABC内（包括边界）的一动点,
BF
BP所在的直线交AC于E,CP所在的直线交AB于F。
将表示为自变量t的函数。
CE
使得△OAB的面积值等于OAOB3.
（1）用b表示k；
（2）
求厶OAB面积的最小值.
40.已知点M,N的坐标分别为
0,1）,（0,—1）,点P是抛物线y
」x2上的一个动点.
4
个交点，贝Ua的取值范围是
（1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y1的位置关系;欢迎下载
12
QNM
（2）设直线PM与抛物线yx的另一个交点为点Q,连接NP,NQ，求证：
PNM
4
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