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68答案

《第1章三角形的证明》同步练习卷A（6）

1、选择题

1．如果三角形的三个内角度数比为1：

1：

2，则这个三角形为（　　）

A．

锐角三角形

B．

钝角三角形

C．

非等腰直角三角形

D．

等腰直角三角形

2．下面命题不正确的是（　D　）

A．

两个内角分别是50°和65°的三角形是等腰三角形

B．

两个外角相等的三角形是等腰三角形

C．

一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形

D．

两个内角不相等的三角形不是等腰三角形

3．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（　A　）

A．

a=﹣2

B．

a=﹣1

C．

a=1

D．

a=2

4．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（　B　）

A．

有一个内角小于60°

B．

每个内角都小于60°

C．

有一个内角大于60°

D．

每个内角都大于60°

5．如图，在?

ABC中，AB=AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连接ED并延长到点F，使DF=DE，连接FC，若?

B=70°，则?

F的度数是（　　）

A．

40

B．

70

C．

50

D．

45

解答：

解：

?

以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，

?

EB=ED，

?

?

EDB=?

B=70°，

?

?

BED=180°﹣?

B=?

BDE=40°，

?

AB=AC，

?

?

ACB=?

B，

?

?

EDB=?

ACB，

?

EF?

AC，

?

E是AB的中点，

即BE=AE，

?

BD=CD，

在?

EBD和?

FCD中，

，

?

?

EBD?

?

FCD（SAS），

?

?

F=?

BED=40°．

故选A．

6．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得?

ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）

A．

6

B．

7

C．

8

D．

9

解答：

解：

如上图：

分情况讨论．

?

AB为等腰?

ABC底边时，符合条件的C点有4个；

?

AB为等腰?

ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．

故选C．

7．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（　　）

A．

40海里

B．

60海里

C．

70海里

D．

80海里

解答：

解：

MN=2×40=80（海里），

?

?

M=70°，?

N=40°，

?

?

NPM=180°﹣?

M﹣?

N=180°﹣70°﹣40°=70°，

?

?

NPM=?

M，

?

NP=MN=80（海里）．

故选D．

2、填空题

8．如图所示，在?

ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，?

ABD=?

DAE=?

EAC=36°，则图中共有等腰三角形的个数是　6　．

9．如图，在?

ABC中，?

B与?

C的平分线交于点O，过点O作DE?

BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则?

ADE的周长是　9　．

10．如图，AD是?

ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出?

ABC是等腰三角形的是　?

?

?

　．

?

?

BAD=?

ACD；?

?

BAD=?

CAD；?

AB+BD=AC+CD；?

AB﹣BD=AC﹣CD．

三、解答题（共3小题，满分0分）

11．证明题：

如图所示，在?

ABC中，AB=AC，?

APB?

?

APC，求证：

PB?

PC．

解答：

证明：

假设PB?

PC不成立，则PB=PC，?

PBC=?

PCB；

又?

AB=AC，

?

?

ABC=?

ACB；

?

?

ABP=?

ACP；

?

?

ABP?

?

ACP，

?

?

APB=?

APC；

与?

APB?

?

APC相矛盾．因而PB=PC不成立，则PB?

PC．

12．如图，在?

ABC中，AB=AC，AD是高，AM是?

ABC外角?

CAE的平分线．

（1）用尺规作图方法，作?

ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）设DN与AM交于点F，判断?

ADF的形状．（只写结果）

解答：

解：

（1）如图所示：

（2）?

ADF的形状是等腰直角三角形，

理由是：

?

AB=AC，AD?

BC，

?

?

BAD=?

CAD，

?

AF平分?

EAC，

?

?

EAF=?

FAC，

?

?

FAD=?

FAC+?

DAC=

?

EAC+

?

BAC=

×180°=90°，

即?

ADF是直角三角形，

?

AB=AC，

?

?

B=?

ACB，

?

?

EAC=2?

EAF=?

B+?

ACB，

?

?

EAF=?

B，

?

AF?

BC，

?

?

AFD=?

FDC，

?

DF平分?

ADC，

?

?

ADF=?

FDC=?

AFD，

?

AD=AF，

即直角三角形ADF是等腰直角三角形．

13．（2008•崇文区一模）已知?

AOB及其内部一点P，试讨论以下问题的解答：

（1）如图?

，若点P在?

AOB的平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分线，分别交OA、OB于点C、D，则可以得到?

OCD是以CD为底边的等腰三角形；若点P不在?

AOB的平分线上（如图?

），你能过P点作直线，分别交OA、OB于点C、D，得到?

OCD是等腰三角形，且CD是底边吗？

请你在图?

中画出图形，并简要说明画法．

（2）若点P不在?

AOB的平分线上（如图?

），我们可以过P点作PQ?

OA，并作?

QPR=?

AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到?

OCD是以OC为底的等腰三角形．请你说明这样作的理由．

（3）若点P不在?

AOB的平分线上，请你利用在

（2）中学到的方法，在图?

中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D，使得?

OCD是等腰三角形，且OD是底边．保留画图的痕迹，不用写出画法．

解答：

解：

（1）能．

画法：

作?

AOB的平分线，过P点作角平分线的垂线，分别交角的两边OA、OB于点C、D，则?

OCD是以CD为底边的等腰三角形，如图?

．

（2）?

PQ?

OA，

?

?

QPR=?

OCD，

又?

?

QPR=?

AOB，

?

?

OCD=?

AOB．

?

OD=CD．

即?

OCD是以OC为底的等腰三角形．

（3）如图?

．

《第1章三角形的证明》同步练习卷A（7）

1、选择题

1．已知：

在?

ABC中，?

A=60°，如要判定?

ABC是等边三角形，还需添加一个条件．

现有下面三种说法：

?

如果添加条件“AB=AC”，那么?

ABC是等边三角形；

?

如果添加条件“tanB=tanC”，那么?

ABC是等边三角形；

?

如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么?

ABC是等边三角形．

上述说法中，正确的说法有（　　）

A．

3个

B．

2个

C．

1个

D．

0个

解答：

解：

若添加的条件为AB=AC，由?

A=60°，

利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出?

ABC为等边三角形；

若添加条件为tanB=tanC，可得出?

B=?

C，

又?

A=60°，?

?

B=?

C=60°，

即?

A=?

B=?

C，

则?

ABC为等边三角形；

若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：

已知：

?

BAC=60°，AE?

BC，CD?

AB，且AE=CD，

求证：

?

ABC为等边三角形．

证明：

?

AE?

BC，CD?

AB，

?

?

ADC=?

AEC=90°，

在Rt?

ADC和Rt?

CEA中，

，

?

Rt?

ADC?

Rt?

CEA（HL），

?

?

ACE=?

BAC=60°，

?

?

BAC=?

B=?

ACB=60°，

?

AB=AC=BC，即?

ABC为等边三角形，

综上，正确的说法有3个．

故选A

2．（3分）如图所示，在等边三角形ABC中，高AD、BE相交于点F，连接DE，则?

FED的度数是（　　）

A．

15°

B．

20°

C．

25°

D．

30°

解答：

解：

?

?

ABC为等边三角形，

?

?

ABC=60°，AB=BC=AC，

?

AD?

BC，BE?

AC，

?

E、D分别为AC、BC的中点，BE为?

ABC的平分线，

?

?

ABE=30°，ED为?

ABC的中位线，

?

ED?

AB，

?

?

FED=?

ABE=30°．

故选D

二、填空题

3．如图，在Rt?

ABC中，?

ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若?

F=30°，DE=1，则BE的长是　2　．

解答：

解：

?

?

ACB=90°，FD?

AB，

?

?

ACB=?

FDB=90°，

?

?

F=30°，

?

?

A=?

F=30°（同角的余角相等）．

又AB的垂直平分线DE交AC于E，

?

?

EBA=?

A=30°，

?

直角?

DBE中，BE=2DE=2．

故答案是：

2．

4．在三角形纸片ABC中，?

C=90°，?

A=30°，AC=3，折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB、AC分别相交于点D和点E（如图），折痕DE的长为　1　．

解答：

解：

?

?

C=90°，?

A=30°，AC=3，

?

AB=AC÷cosA=2

，

?

AD=BD=

，

由折叠可得?

ADE=90°，

?

DE=AD×tan30°=1．

故答案为1．

三、解答题（共2小题，满分0分）

5．已知：

如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F使AD=BE=CF．

求证：

?

DEF是等边三角形．

6．已知：

如图，?

A=60°，BD?

AC，垂足为D，CE?

AB，垂足为E，BD和CE交于点H，HD=1cm，HE=2cm，求：

BD，CE的长及?

ABC的面积．

解答：

解：

?

?

A=60°，BD?

AC，CE?

AB，

?

?

AEC和?

ABD都是Rt?

，

?

?

ABD=?

ACE=90°﹣?

A=30°

在Rt?

EBH中，BH=2EH，

又EH=2

?

BH=4，BD=BH+HD=5，在Rt?

ABD中，AB=

=

，

同理在Rt?

CDH中

HC=2HD=2，CE=CH+HE=4

?

BD长为5，CE长为4，

?

ABC的面积为：

×AB×CE=

×

×4=

．

《第1章三角形的证明》同步练习卷A（8）

一、选择题

1．（3分）下列三角形：

?

有两个角等于60°；?

有一个角等于60°的等腰三角形；?

三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；?

一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（　D　）

A．

?

?

?

B．

?

?

?

C．

?

?

D．

?

?

?

?

2．（3分）（2013•邢台一模）如图，AC=BC=10cm，?

B=15°，AD?

BC于点D，则AD的长为（　C　）

A．

3cm

B．

4cm

C．

5cm

D．

6cm

3．（3分）（2006•曲靖）如图，CD是Rt?

ABC斜边AB上的高，将?

BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则?

A等于（　B　）

A．

25°

B．

30°

C．

45°

D．

60°

4．（3分）如图，E是等边?

ABC中AC边上的点，?

1=?

2，BE=CD，则?

ADE的形状是（　　）

A．

等腰三角形

B．

等边三角形

C．

不等边三角形

D．

不能确定形状

解答：

解：

?

?

ABC为等边三角形

?

AB=AC

?

?

1=?

2，BE=CD

?

?

ABE?

?

ACD

?

AE=AD，?

BAE=?

CAD=60°

?

?

ADE是等边三角形．

故选B．

5．（3分）（2004•河南）如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AB为（　　）

A．

米

B．

米

C．

b米

D．

a米

解答：

解：

过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．

设梯子底端为C点，AB=x，且AB=ND=x．

?

?

BNC为等腰直角三角形，?

CNM为等边三角形（180﹣45﹣75=60°，梯子长度相同

?

?

NCB=45°，

?

?

DNC=45°，

?

?

MND=60°﹣45°=15°，

?

cos15°=

，

又?

?

MCA=75°，

?

?

AMC=15°，

?

cos15°=

，

故可得：

=

．

?

?

CNM为等边三角形，

?

NM=CM．

?

x=MA=a．

故选D．

6．（3分）（2012•深圳）如图，已知：

?

MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，?

A1B1A2、?

A2B2A3、?

A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则?

A6B6A7的边长为（　　）

A．

6

B．

12

C．

32

D．

64

解答：

解：

?

?

A1B1A2是等边三角形，

?

A1B1=A2B1，?

3=?

4=?

12=60°，

?

?

2=120°，

?

?

MON=30°，

?

?

1=180°﹣120°﹣30°=30°，

又?

?

3=60°，

?

?

5=180°﹣60°﹣30°=90°，

?

?

MON=?

1=30°，

?

OA1=A1B1=1，

?

A2B1=1，

?

?

A2B2A3、?

A3B3A4是等边三角形，

?

?

11=?

10=60°，?

13=60°，

?

?

4=?

12=60°，

?

A1B1?

A2B2?

A3B3，B1A2?

B2A3，

?

?

1=?

6=?

7=30°，?

5=?

8=90°，

?

A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，

?

A3B3=4B1A2=4，

A4B4=8B1A2=8，

A5B5=16B1A2=16，

以此类推：

A6B6=32B1A2=32．

故选：

C．

二、填空题

7．（3分）如图所示，在?

ABC中，AB=AC=20cm，?

BAC=150°，则S?

ABC=　100　cm2．

解答：

解：

过C作CD?

BA，交BA延长线于D，

?

?

BAC=150°，

?

?

DAC=30°，

?

DC=

AC=10cm，

?

S?

ABC=

AB×CD=

×20×10=100（cm2），

故答案为：

100．

8．（3分）（2007•天津）如图，?

ABC中，?

C=90°，?

ABC=60°，BD平分?

ABC，若AD=6，则CD=　3　．

解答：

解：

?

?

C=90°，?

ABC=60°，

?

?

A=30°，

?

BD平分?

ABC，

?

?

CBD=?

ABD=?

A=30°，

?

BD=AD=6，

?

CD=

BD=6×

=3．

故填空答案：

3．

9．（3分）如图所示，?

AOB=30°，OC平分?

AOB，P为OC上任意一点，PD?

OA交OB于点D，PE?

OA于点E，若PE=2cm，则PD=　4　cm．

解答：

解：

过点P作PF?

OB于点F，

?

OC平分?

AOB，PE?

OA，

?

PF=PE=2cm，

?

PD?

OA，

?

?

PDF=?

AOB=30°，

?

PD=2PF=4cm．

故答案为：

4．

10．（3分）（2011•济宁）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG?

CD于点G，则

=　

　．

三、解答题

11．如图，已知点D为等腰直角?

ABC内一点，?

CAD=?

CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．

（1）求证：

DE平分?

BDC；

（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：

ME=BD．

解答：

证明：

（1）?

?

ABC是等腰直角三角形，

?

?

BAC=?

ABC=45°，

?

?

CAD=?

CBD=15°，

?

?

BAD=?

ABD=45°﹣15°=30°，

?

BD=AD，

?

D在AB的垂直平分线上，

?

AC=BC，

?

C也在AB的垂直平分线上，

即直线CD是AB的垂直平分线，

?

?

ACD=?

BCD=45°，

?

?

CDE=15°+45°=60°，

?

?

BDE=?

DBA+?

BAD=60°；

?

?

CDE=?

BDE，

即DE平分?

BDC．

（2）如图，连接MC．

?

DC=DM，且?

MDC=60°，

?

?

MDC是等边三角形，即CM=CD．?

DMC=?

MDC=60°，

?

?

ADC+?

MDC=180°，?

DMC+?

EMC=180°，

?

?

EMC=?

ADC．

又?

CE=CA，

?

?

DAC=?

CEM．

在?

ADC与?

EMC中，

，

?

?

ADC?

?

EMC（AAS），

?

ME=AD=BD．

12．如图1，在Rt?

ACB中，?

ACB=90°，?

ABC=30°AC=1点D为AC上一动点，连接BD，以BD为边作等边?

BDE，EA的延长线交BC的延长线于F，设CD=n，

（1）当n=1时，则AF=　2　；

（2）当0＜n＜1时，如图2，在BA上截取BH=AD，连接EH，求证：

?

AEH为等边三角形．

分析：

（1）根据三角形内角和定理求出?

BAC=60°，再根据平角等于180°求出?

FAC=60°，然后求出?

F=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可；

（2）根据三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用?

CBD表示出?

ADE=30°+?

CBD，又?

HBE=30°+?

CBD，从而得到?

ADE=?

HBE，然后根据边角边证明?

ADE与?

HBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=HE，对应角相等可得?

AED=?

HEB，然后推出?

AEH=?

BED=60°，再根据等边三角形的判定即可证明．

解答：

（1）解：

?

?

BDE是等边三角形，

?

?

EDB=60°，

?

?

ACB=90°，?

ABC=30°，

?

?

BAC=180°﹣90°﹣30°=60°，

?

FAC=180°﹣60°﹣60°=60°，

?

?

F=180°﹣90°﹣60°=30°，

?

?

ACB=90°，

?

?

ACF=180°﹣90°，

?

AF=2AC=2×1=2；

（2）证明：

?

?

BDE是等边三角形，

?

BE=BD，?

EDB=?

EBD=60°，

在?

BCD中，?

ADE+?

EDB=?

CBD+?

C，

即?

ADE+60°=?

CBD+90°，

?

?

ADE=30°+?

CBD，

?

?

HBE+?

ABD=60°，?

CBD+?

ABD=30°，

?

?

HBE=30°+?

CBD，

?

?

ADE=?

HBE，

在?

ADE与?

HBE中，

，

?

?

ADE?

?

HBE（SAS），

?

AE=HE，?

AED=?

HEB，

?

?

AED+?

DEH=?

DEH+?

HEB，

即?

AEH=?

BED=60°，

?

?

AEH为等边三角形．

13．（2013•抚顺）在Rt?

ABC中，?

ACB=90°，?

A=30°，点D是AB的中点，DE?

BC，垂足为点E，连接CD．

（1）如图1，DE与BC的数量关系是　DE=

BC　；

（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照

（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．

分析：

（1）由?

ACB=90°，?

A=30°得到?

B=60°，根据直角三角形斜边上中线性质得到DB=DC，则可判断?

DCB为等边三角形，由于DE?

BC，DE=

BC；

（2）根据旋转的性质得到?

PDF=60°，DP=DF，易得?

CDP=?

BDF，则可根据“SAS”可判断?

DCP?

?

DBF，则CP=BF，利用CP=BC﹣BP，DE=

BC可得到BF+BP=

DE；

（3）与

（2）的证明方法一样得到?

DCP?

?

DBF得到CP=BF，而CP=BC+BP，则BF﹣BP=BC，所以BF﹣BP=

DE．

解答：

解：

（1）?

?

ACB=90°，?

A=30°，

?

?

B=60°，

?

点D是AB的中点，

?

DB=DC，

?

?

DCB为等边三角形，

?

DE?

BC，

?

DE=

BC；

故答案为DE=

BC．

（2）BF+BP=

DE．理由如下：

?

线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，

?

?

PDF=60°，DP=DF，

而?

CDB=60°，

?

?

CDB﹣?

PDB=?

PDF﹣?

PDB，

?

?

CDP=?

BDF，

在?

DCP和?

DBF中

，

?

?

DCP?

?

DBF（SAS），

?

CP=BF，

而CP=BC﹣BP，

?

BF+BP=BC，

?

DE=

BC，

?

BC=

DE，

?

BF+BP=

DE；

（3）如图，

与

（2）一样可证明?

DCP?

?

DBF，

?

CP=BF，

而CP=BC+BP，

?

BF﹣BP=BC，

?

BF﹣BP=

DE．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质：

判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系．