北师大版九年级数学下册 第2章 二次函数 单元测试试题有答案.docx

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北师大版九年级数学下册第2章二次函数单元测试试题有答案

北师大版九年级数学下册第2章二次函数单元测试题

一．选择题（共10小题）

1．当函数y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（　　）

A．a＝1B．a＝﹣1C．a≠﹣1D．a≠1

2．二次函数y＝3（x﹣2）2﹣1的图象顶点坐标是（　　）

A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，1）D．（2，﹣1）

3．抛物线y＝x2+2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的表达式是（　　）

A．y＝（x﹣2）2+3B．y＝（x﹣2）2﹣1C．y＝（x﹣3）2+2D．y＝（x﹣3）2﹣2

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，﹣2），B（0，3），C（3，3），D（4，﹣2）．y是关于x的二次函数，抛物线y1经过点A，B，C．抛物线y2经过点B，C，D，抛物线y3经过点A，B，D，抛物线y4经过点A，C，D，则下列判断其中正确的是（　　）

①四条抛物线的开口方向均向下；

②当x＜0时，四条抛物线表达式中的y均随x的增大而增大；

③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的上方；

④抛物线y4与y轴交点在点B的上方．

A．①②④、B．①③④C．①②③D．②③④

5．设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式是（　　）

A．y＝

x2B．y＝

C．y＝

D．y＝

6．表给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值：

那么方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　）

x

…

1

1.1

1.2

1.3

1.4

…

y

…

﹣1

﹣0.49

0.04

0.59

1.16

…

A．1.08B．1.18C．1.28D．1.38

7．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x的图象可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：

①abc＞0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④当x≠1时，a+b＞ax2+bx；⑤4ac＜b2．

其中正确的有（　　）个

A．1个B．2个C．3个D．4个

9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的（　　）

A．a＞0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＜0，c＜0

C．a＜0，b＞0，c＞0D．a＜0，b＜0，c＞0

10．在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点（

，

），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c﹣

（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（　　）

A．﹣1≤m≤0B．2≤m＜

C．2≤m≤4D．

＜m≤

二．填空题（共8小题）

11．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是　　．

12．已知y＝（m﹣2）x|m|+2是y关于x的二次函数，那么m的值为　　．

13．某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞0），12月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式是　　．

14．下表是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的对应关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x的值大约是　　（精确到0.1）

x

6.1

6.2

6.3

6.4

y＝ax2+bx+c

﹣0.3

﹣0.1

0.2

0.4

15．抛物线y＝x2﹣2x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是　　．

16．函数y＝﹣（x﹣1）2+1（x≥3）的最大值是　　．

17．若点M（﹣3，y1），N（﹣1，y2），P（4，y3）在抛物线y＝﹣x2+2x+m上，则y1，y2，y3大小顺序为　　．（用“＜”号连接）

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝

﹣3与x轴交于点A、B（A在B左侧），与y轴交于点C，经过点A的射线AF与y轴正半轴相交于点E，与抛物线的另一个交点为F，

，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，点P是y轴上一点，且∠AFP＝∠DAB，则点P的坐标是　　．

三．解答题（共8小题）

19．如图，若二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左

侧），与y轴交于C点．

（1）求A，B两点的坐标；

（2）若P（m，﹣2）为二次函数y＝x2﹣x﹣2图象上一点，求m的值．

20．已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，

（1）当m为何值时，此函数是一次函数？

（2）当m为何值时，此函数是二次函数？

21．已知函数y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）．

（1）指出这个函数图象的开口方向、顶点坐标和它的变化情况；

（2）选取适当的数据填入表格，并在如图所示的直角坐标系内描点，画出该函数的图象．

x

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

y

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．

（1）求a，b的值；

（2）若点P为直线BC上一点，点P到A，B两点的距离相等，将该抛物线向左（或向右）平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点P，求新抛物线的顶点坐标．

23．抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（0，﹣5）和（2，1）．

（1）求b，c的值；

（2）当x为何值时，y有最大值？

24．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：

x

…

﹣1

0

1

2

3

…

y

…

10

5

2

1

2

…

（1）求该二次函数的表达式；

（2）当y＞5时，x的取值范围是　　．

25．某养殖场计划用96米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，其中区域①是正方形，区域②和③是矩形，且AG：

BG＝3：

2．设BG的长为2x米．

（1）用含x的代数式表示DF＝　　；

（2）x为何值时，区域③的面积为180平方米；

（3）x为何值时，区域③的面积最大？

最大面积是多少？

26．已知二次函数y＝（x﹣m）（x+m+4），其中m为常数．

（1）求证：

不论m为何值，该二次函数的图象与x轴有公共点．

（2）若A（﹣1，a）和B（n，b）是该二次函数图象上的两个点，请判断a、b的大小关系．

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．解：

由题意得：

a﹣1≠0，

解得：

a≠1，

故选：

D．

2．解：

∵二次函数y＝3（x﹣2）2﹣1，

∴该函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），

故选：

D．

3．解：

y＝x2+2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的表达式是y＝（x﹣2）2﹣1．

故选：

B．

4．解：

根据已知条件利用待定系数法可得：

y1＝﹣

（x﹣

）2+

，

y2＝﹣

（x﹣

）2+

，

y3＝﹣

（x﹣1）2+

，

y4＝﹣（x﹣1）2+7＝﹣x2+2x+6．

y4与y轴交点为（0，6）．

∴①四条抛物线的开口方向均向下；

②当x＜0时，四条抛物线表达式中的y均随x的增大而增大；

③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的下方；

④抛物线y4与y轴交点在点B的上方．

所以①②④正确．

故选：

A．

5．解：

作出BC边上的高AD．

∵△ABC是等边三角形，边长为x，

∴CD＝

x，

∴高为h＝

x，

∴y＝

x×h＝

x2．

故选：

D．

6．解：

∵x＝1.1时，y＝ax2+bx+c＝﹣0.49；x＝1.2时，y＝ax2+bx+c＝0.04；

∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点在（1.1，0）和点（1.2，0）之间，更靠近点（1.2，0），

∴方程ax2+bx+c＝0有一个根约为1.2．

故选：

B．

7．解：

∵二次函数y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，

∴开口向上，顶点为（1，﹣1），且经过原点．

故选：

A．

8．解：

①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：

a＜0，c＞0，﹣

＞0，b＞0，

∴abc＜0，故①错误；

②∵对称轴x＝1，

∴﹣

＝1，

∴2a+b＝0，故②正确．

③当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故③错误．

④∵抛物线开口向下，对称轴x＝1，

∴当x＝1时，函数有最大值y＝a+b+c，

∴a+b+c＞ax2+bx+c（x≠1），

即a+b＞ax2+bx，故④正确；

⑤图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2．故⑤正确；

综上所述正确的个数为3个

故选：

C．

9．解：

抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，所以b＞0，抛物线与y轴交在正半轴，因此c＞0，

故选：

C．

10．解：

令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，

由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，

又方程的根为

＝

，

解得a＝﹣1，c＝﹣

，

故函数y＝ax2+4x+c﹣

＝﹣x2+4x﹣3，

如图，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，﹣3），由对称性，该函数图象也经过点（4，﹣3）．

由于函数图象在对称轴x＝2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，

∴2≤m≤4，

故选：

C．

二．填空题（共8小题）

11．解：

∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，

∴该抛物线的顶点坐标为（1，2），

故答案为：

（1，2）．

12．解：

∵y＝（m﹣2）x|m|+2是y关于x的二次函数，

∴|m|＝2，且m﹣2≠0，

解得：

m＝﹣2．

故答案为：

﹣2．

13．解：

由题意可得，

y＝100（1+x）2，

故答案为：

y＝100（1+x）2．

14．解：

由表可知，当x＝6.2时，y的值最接近0，

所以，方程ax2+bx+c＝0一个解的近似值为6.2，

故答案为：

6.2．

15．解：

y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4．

故答案是：

y＝（x﹣1）2+4．

16．解：

∵函数y＝﹣（x﹣1）2+1，

∴对称轴为直线x＝1，当x＞1时，y随x的增大而减小，

∵当x＝3时，y＝﹣3，

∴函数y＝﹣（x﹣1）2+1（x≥3）的最大值是﹣3．

故答案为﹣3．

17．解：

抛物线y＝﹣x2+2x+m的对称轴为直线x＝﹣

＝1，

∵a＝﹣1＜0，

∴当x＜1时y随x的增大而增大，

当x＞1时，y随x的增大而减小，

∵1﹣（﹣3）＝1+3＝4，

1﹣（﹣1）＝1+1＝2，

4﹣1＝3，

∴y1＜y3＜y2．

故答案为：

y1＜y3＜y2．

18．解：

过点F作FM⊥x轴，垂足为M．

设E（0，t），则OE＝t．

∵

＝

，

∴

＝

＝

．

∴F（6，4t）．

将点F（6，4t）代入y＝

x2﹣

x﹣3得：

×62﹣

3×6﹣3＝0，解得t＝

．

∴cot∠FAB＝

＝

．

∵y＝

﹣3＝

（x+2）（x﹣4）．

∴A（﹣2，0），B（4，0）．

易得抛物线的对称轴为x＝1，C（0，﹣3）．

∵点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，

∴D（2，﹣3）．

∴cot∠DAB＝

，

∴∠FAB＝∠DAB．

如下图所示：

当点P在AF的上方时，∠PFA＝∠DAB＝∠FAB，

∴PF∥AB，

∴yP＝yF＝6．

由

（1）可知：

F（6，4t），t＝

．

∴F（6，6）．

∴点P的坐标为（0，6）．

当点P在AF的下方时，如下图所示：

设FP与x轴交点为G（m，0），则∠PFA＝∠FAB，可得到FG＝AG，

∴（6﹣m）2+62＝（m+2）2，解得：

m＝

，

∴G（

，0）．

设PF的解析式为y＝kx+b，将点F和点G的坐标代入得：

，

解得：

k＝

，b＝﹣

．

∴P（0，﹣

）．

综上所述，点P的坐标为（0，6）或P（0，﹣

）．

故答案是：

（0，6）或P（0，﹣

）．

三．解答题（共8小题）

19．解：

（1）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，

∴A（﹣1，0），B（2，0）；

（2）把P（m，﹣2）代入y＝x2﹣x﹣2得m2﹣m﹣2＝﹣2，解得m1＝0，m2＝1，

∴m的值为0或1．

20．解：

（1）∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数，

∴m2+2m＝0，m≠0，

解得：

m＝﹣2；

（2））∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数，

∴m2+2m≠0，

解得：

m≠﹣2且m≠0．

21．解：

（1）y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）．

＝﹣x2+4x﹣3

＝﹣（x﹣2）2+1，

∵a＝﹣1＜0，

∴抛物线的开口向下，

抛物线的顶点坐标为（2，1），

当x≤2时，y随x的增大而增大；当x≥2时，y随x的增大而减小；

（2）当x＝0时，y＝﹣3；当x＝1时，y＝0；当x＝2时，y＝1；当x＝3时，y＝0；当x＝4时，y＝﹣3，如图，

故答案为0，﹣3；1，0；2，1；3，0；4，﹣3．

22．解：

（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），

∴

，解得

；

（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴抛物线的对称轴为直线x＝1，C（3，0），

∵点P到A，B两点的距离相等，

∴点P在抛物线的对称轴x＝1上，

∵B（3，0），C（0，3），

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，

令x＝1，则y＝﹣1+3＝2，

∴P（1，2），

设平移后的新抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+4，

∵新抛物线经过点P，

∴2＝﹣（1﹣h）2+4，

解得h1＝1+

，h2＝1﹣

，

∴新抛物线的顶点坐标为（1+

，4）或（1﹣

，4）．

23．解：

（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（0，﹣5）和（2，1）．

∴

，

解得

，

∴b，c的值分别为5，﹣5．

（2）∵抛物线y＝﹣x2+5x﹣5中，a＝﹣1＜0，

∴当x＝﹣

＝

时y有最大值．

24．解：

（1）由表格可知，抛物线经过（1，2）、（3，2），

∴对称轴为直线x＝

＝2，

∴抛物线的顶点为（2，1），

设函数为y＝a（x﹣2）2+1．

∵函数的图象经过点（0，5），

∴5＝a×（﹣2）2+1．解得a＝1．

∴该二次函数的表达式为y＝（x﹣2）2+1（或y＝x2﹣4x+5）；

（2）由所给数据可知当x＝2时，y有最小值1，

∴二次函数的对称轴为x＝2．

∴x＝4时，y＝5，

∴当y＞5时，对应的x的范围为x＜0或x＞4，

故答案为x＜0或x＞4．

25．解：

（1）∵区域①是正方形，区域②和③是矩形，

AG：

BG＝3：

2．设BG的长为2x米，则AG＝3x，

∴AP＝GH＝BE＝PH＝AG＝3x，

EH＝GB＝2x，

DC＝PE＝AB＝5x，

∴DF＝

（96﹣3×5x﹣3×3x）＝48﹣12x．

故答案为48﹣12x．

（2）根据题意，得5x（48﹣12x）＝180，

解得x1＝1，x2＝3

答：

x为1或3时，区域③的面积为180平方米；

（3）设区域③的面积为S，

则S＝5x（48﹣12x）

＝﹣60x2+240x

＝﹣60（x﹣2）2+240

∵﹣60＜0，

∴当x＝2时，S有最大值，最大值为240

答：

x为2时，区域③的面积最大，为240平方米．

26．

（1）证明：

方法一：

令y＝0，（x﹣m）（x+m+4）＝0，

解得x1＝m，x2＝﹣m﹣4，

当m＝﹣m﹣4时，得m＝﹣2，方程有两个相等的实数根，故二次函数与x轴有一个公共点；

当m≠﹣m﹣4，得m≠﹣2，方程有两个不相等的实数根，故二次函数与x轴有两个公共点；

由上可得，不论m为何值，该二次函数的图象与x轴有公共点．

方法二：

∵y＝（x﹣m）（x+m+4）＝x2+4x﹣m2﹣4m，

∴当y＝0时，△＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×（﹣m2﹣4m）＝4m2+16m+16＝4（m+2）2≥0，即方程有两个实数根．

∴不论m为何值，该二次函数的图象与x轴有公共点；

（2）∵y＝（x﹣m）（x+m+4）＝x2+4x﹣m2﹣4m，

∴该函数的图象的对称轴为直线x＝﹣

＝﹣2，函数图象开口向上，

∵A（﹣1，a）和B（n，b）是该二次函数图象上的两个点，

∴当n＝﹣3时，a＝b，

当﹣3＜n＜﹣1时，a＞b，

当n＜﹣3或n＞﹣1时，a＜b．