三角板问题专题.docx
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三角板问题专题
三角板问题
1.一名同学拿了两块45°三角尺△MNK，△ACB做了一个探究活动：
将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=4。
（1）如图1-1，两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为________,周长________。
（2）将图1-1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图1-2，此时重叠部分的面积为________,周长________。
（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1-1和图1-2的图形，如图1-3，请你猜想此时重叠部分的面积为_____。
（4）在如图1-3的情况下，若AD=1，求重叠部分图形的周长。
∙解：
（1）
，
（1＋
）a；
（2）
，2a；
（3）猜想：
重叠部分的面积为
。
理由如下：
过点M分别做AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G。
为说明方便，不妨设MN与AC的交点为E，MK与BC的交点为F。
由于M是△ABC斜边AB的中点，AC＝BC＝a
所以MH＝MG＝
又因为∠HME＝∠GMF
所以Rt△MHE≌Rt△MGF分
因此阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积。
而正方形CGMH的面积是MG・MH＝
×
＝
所以阴影部分的面积是
。
已知，△ABC是等边三角形，将一块含有30°角的直角三角板DEF如图放置，让三角板在BC所在的直线上向右平移，如图1，当点E与点B重合时，点A恰好落在三角形的斜边DF上．
（1）利用图1证明：
EF=2BC；
（2）在三角板的平移过程中，在图2中线段EB=AH是否始终成立（假定AB，AC与三角板斜边的交点为G、H）？
如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
2.已知△ABC是等边三角形，将一块含30°的直角三角尺DEF如图2-1放置，让△ABC在BC边上向左做移动，当点B与点E重合时，点A恰好落在三角尺的斜边DF上的M点，点C在N点位置上，移动后，AB边与DF交于点G，AC边与DF交于点H。
（1）在△ABC平移过程中，猜想CH，CF满足的数量关系，并证明。
（2）在△ABC平移过程中，猜想BE，AH满足的数量关系，并证明。
解：
（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC．
∵∠F=30°
∴∠CAF=60°-30°=30°．
∴∠CAF=∠F，
∴CF=AC，
∴CF=AC=EC，
∴EF=2BC．（4分）
（2）成立． （1分）
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC．
∵∠F=30°
∴∠CHF=60°-30°=30°．
∴∠CHF=∠F，
∴CH=CF．
∵EF=2BC，
∴BE+CF=BC．
又∵AH+CH=AC，AC=BC，
∴AH=BE．（9分）
3.将一副三角尺（Rt△ABC和Rt△DEF）将图3-1摆放，点E，A，D，B在一条直线上，且D是AB的中点。
将Rt△DEF绕点D按顺时针方向旋转角a（0°（1）当a=30°时（图3-2），求证：
AG=DH。
（2）当a=60°时（图3-3），
（1）中的结论是否成立？
请写出你的结论，并说明理由。
（3）当0°（1）中的结论是否成立。
请写出你的结论，不需说明理由。
∵∠A=∠ADM=30°，
∴MA=MD.又MG⊥AD于点G，
∴AG=AD.
∵∠BDC=180°-∠ADE-∠EDF=180°-30°-90°=60°=∠B，
∴CB=CD.
∴C与N重叠.又NH⊥DB于点H，
∴DH=DB.
∵AD=DB，
∴AG=DH.
（2）解当α=60°时，
（1）中的结论成立.
如图8，
∵∠ADM=60°，
∴∠NDB=90°-60°=30°.
∴∠MAD=∠NDB.
又AD=DB，∠ADM=∠B=60°，
∴△MAD≌△NDB.
∴MA=ND.
∵MG，NH分别是△MAD，△NDB的对应高，
∴Rt△MAG≌Rt△NDH.
∴AG=DH.
（3）解当0°＜α＜90°时，
（1）中的结论成立.
如图9，在Rt△AMG中，∠A=30°，
∴∠AMG＝60°＝∠B.
又∠AGM=∠NHB=90°，
∴△AGM∽△NHB.
∴.①
∵∠MDG=α，
∴∠DMG=90°-α=∠NDH.
又∠MGD=∠DHN=90°，
∴Rt△MGD∽Rt△DHN.
∴.②
①×②，得.
由比例的性质，得
，
即.
∵AD=DB，
∴AG=DH.
操作：
在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：
（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？
并结合图②说明理由．
（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？
若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．
考点：
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
专题：
数形结合．
分析
（1）连接PC，通过证明△PCD≌△PBE，得出PD=PE．
（2）分为点C与点E重合、CE=2-根号2、CE=1、E在CB的延长线上四种情况进行说明．
解：
（1）由图①可猜想PD=PE，再在图②中构造全等三角形来说明．即PD=PE．
理由如下：
连接PC，因为△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=二分之一∠ACB=45°．
∴∠ACP=∠B=45°．
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，
∴∠DPC=∠BPE．
∴△PCD≌△PBE．
∴PD=PE．
（2）△PBE是等腰三角形，
①当PE=PB时，此时点C与点E重合，CE=0；
②当BP=BE时，E在线段BC上，CE=2-根号2
；E在CB的延长线上，CE=2+根号2
；
③当EP=EB时，CE=1．
4.在△ABC中，AC=BC，∠C=90°。
将一块等腰直角三角尺的直角顶点放在斜边AB的中点P处，绕点P旋转。
（1）如图4-1，三角尺的两条直角边分别交边AC，CB于D，E两点。
线段PD和PE之间有怎样的大小关系？
请说明你的理由。
（2）如图4-2，三角尺的两条直角边分别交射线AC,射线CB于D,E两点。
（1）中的结论还成立吗？
请说明理由。
5.用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD，把一个含60°角的三角尺的60°角的顶点于点A重合，两边分别与AB,AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转。
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点E，F时（如图5-1），通过观察或测量BE,CF的长度，你能得出什么结论？
说明你的理由。
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD的延长线相交于点E，F时（如图5-2），你在
（1）中得到的结论还成立吗？
说明你的理由。
6.把两块全等的直角三角尺ABC和DEF叠放在一起，使三角尺DEF的锐角顶点D与三角尺ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角尺ABC固定不动，让三角尺DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q。
（1）如图6-1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，计算AP*CQ=_____________。
（2）将三角尺DEF由图6-1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转（设旋转角为a,其中0°说明你的理由。
（3）将三角尺DEF由图6-1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转（设旋转角为a,其中45°＜a≤90°）至图6-2的位置，那么AP×CD的值是否改变？
说明你的理由。
7.已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角尺的直角顶点与点C重合,它的两条直角边分别与OA,OB（或它们的反向延长线）相交与点D,E。
当三角形绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图7-1），易证OD+OE=根号2倍OC。
（1）当三角形绕点C旋转到CD与OA不垂直时，如图7-2，上述结论还成立吗？
说出你的判断，并请给予证明。
（2）当三角形绕点C旋转到图7-3的位置时，请你猜想线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系。
（不需证明）
8.如图8-1，将两个等腰直角三角尺叠放在一起，使上面三角尺的一个锐角顶点与下面三角尺的直角顶点重合，并将上面的三角尺绕着这个顶点逆时针旋转。
在旋转的过程中，下面三角板的斜边被分成三条线段时，我们来研究这三条线段之间的关系。
（1）实验与操作
如图8-1，如果上面三角尺的一条直角边旋转到CM的位置时，它的斜边恰好旋转到CN的位置，请在网格中分别画以AM，MN和NB为边长的正方形，利用边长写出这三个正方形的面积之间的关系：
_____________。
（2）猜想与探究
如图8-2，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°。
M、N是AB边上的点，∠MCN=45°。
作DA⊥AB于A，截取DA=NB，并连接DC、DM。
①线段CD与线段CN相等吗？
为什么？
②线段MD与线段MN相等吗？
为什么？
③图8-2中线段AM、MN与NB具有怎样的数量关系？
为什么？
（3）拓广与运用：
如图④，已知线段AB上任意一点M（AM＜MB），是否总能在线段MB上找到一点N，使得分别以AM与BN为边长的正方形的面积的和等于以MN为边长的正方形的面积？
若能，请在图④中画出点N的位置，并简要说明作法；若不能，请说明理由．
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