全国卷3理科.docx

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全国卷3理科

绝密★启用前

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={-1,0,1,2}，B={x|x2≤1}，则A

A．{-1,0,1}

B．{0,1}

C．{-1,1}

D．{0,1,2}

1.Ax2≤1,∴-1≤x≤1，

∴B={x-1≤x≤1}，则A⋂B={-1,0,1}，故选A．

2．若z（1+i）=2i，则z=A．-1-i

B．-1+i

C．1-i

D．1+i

2.D

z=2i1+i

=2i（1-i）

（1+i）（1-i）

=1+i．故选D．

3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.

某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼

梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的

学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为

A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8

3.C由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故

选C．

4．（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为

A．12B．16C．20D．24

44

4.A由题意得x3的系数为C3+2C1=4+8=12，故选A．

5．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=A．16B．8C．4D．2

⎧a+aq+aq2+aq3=15,

5.C设正数的等比数列{an}的公比为q，则⎨

⎩

1111，

111

aq4=3aq2+4a

解得⎧a1=1,，∴a=aq2=4，故选C．

⎩

⎨q=231

6．已知曲线y=aex+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则

A．a=e，b=-1

6.Dy'=aex+lnx+1,

B．a=e，b=1C．a=e-1，b=1

D．a=e-1，b=-1

k=y'|x=1=ae+1=2，∴a=e-1

将（1,1）代入y=2x+b得2+b=1,b=-1，故选D．

7．函数y=

2x3

在

2x+2-x

[-6,6]

的图像大致为

A．B．

C．D．

2x3

2（-x）3

2x3

7.B设y=f（x）=，则f（-x）==-=-f（x），所以f（x）是奇函数，图象关于

2x+2-x

2-x+2x

2x+2-x

2⨯432⨯63

原点成中心对称，排除选项C．又f（4）=>0,排除选项D；f（6）=≈7，排除选项A，

24+2-426+2-6

故选B．

8．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则

A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线

B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线

C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线

D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线

8.B如图所示，作EO⊥CD于O，连接ON，过M作MF⊥OD于F．连BF，平面CDE⊥平面ABCD．

EO⊥CD,EO⊂平面CDE，∴EO⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCE，

∴∆MFB与∆EON均为直角三角形．设正方形边长为2，易知EO=3,

ON=1

EN=2，

MF=

3,BF=5,∴BM=

22

7．∴BM≠EN，故选B．

9．执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于

A．2-1

24

B．2-1

25

C．2-1

26

D．2-1

27

9.C输入的ε为0.01，

x=1.

S=0+1,

24

⋅⋅⋅

S=0+1+1+

226

x=1

128

输出S=1+1+⋯+1

=2⎛1-1⎫=1-1

，故选D．

226

ç27⎪26

⎝⎭

10．双曲线C：

x

2

-=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若

PO=PF，则

42

△PFO的面积为

A．32

4

B．32

2

C．2

D．3

10.A由a=2,b=

c=

=,．

PO=PF

∴xP=

6，

2

又P在C的一条渐近线上，不妨设为在y=

2x上，

2

∴S=1OF⋅y

=1⨯6⨯3=32，故选A．

△PFO2

P224

11．设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0,+∞）单调递减，则

A．f（log

1）＞f（

-3）＞f（

-2）

B．f（log

3

4

1）＞f（

22

-2）＞f（

23

-3）

342322

C．f（

-3）＞f（-2）＞f（log1）

222334

D．f（-2）＞f（-3）＞f（log1）

232234

fx∴⎛1⎫

11.C（）是R偶函数，

fçlog⎪=

34

⎝⎭

f（log34）．

log3=1,1=20>2

-2

3>2

-3

2,∴log4>2

-2

3>2

-3

2，

33

又f（x）在（0，+∞）单调递减，

⎛-2⎫⎛-3⎫

∴f（log34）<

fç23⎪

⎝⎭⎝⎭

∴⎛-3⎫⎛-2⎫⎛1⎫

fç22⎪>fç23⎪>

⎝⎭⎝⎭

fçlog3

4

⎝

⎪，故选C．

⎭

12．设函数f（x）=sin（ωx+π）（ω＞0），已知f（x）在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：

5

①f（x）在（0,2π）有且仅有3个极大值点

②f（x）在（0,2π）有且仅有2个极小值点

③f（x）在（0,π）单调递增

10

④ω的取值范围是[

1229

，）

510

A．①④B．②③C．①②③D．①③④

12.D当x∈[0,2π]时，ωx+π∈⎡π,2πω+π⎤，

5⎢⎣55⎥⎦

∵f（x）在[0,2π]有且仅有5个零点，

∴5π≤2πω

+π<6π，

5

∴12≤ω<29，故④正确，

510

由5π≤2πωπ6π，知ωx+π∈⎡π,2πω+π⎤时，

+5<5⎢⎣55⎥⎦

+=

令ωxππ,5π,9π时取得极大值，①正确；

5222

极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，

x∈⎛0,π⎫

ωxπ

⎡π,（ω+2）π⎤

当ç10⎪时，

+5∈⎢⎣510

⎥⎦，

⎝⎭

若f（x）在⎛0,π⎫单调递增，

ç10⎪

⎝⎭

（ω+2）ππ

则<

，即ϖ<3，

102

∵12≤ω<29，故③正确．

510

故选：

D．

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

2

5b，则cos

a,c

=.

13.3因为c=2a-5b，a⋅b=0，

所以a⋅c=2a2-5a⋅b=2，

|c|2=4|a|2-45a⋅b+5|b|2=9，所以|c|=3，

所以cos=a⋅c=2=2．

a⋅c1⨯33

14．记S

为等差数列{a}的前n项和，a≠0，a=3a，则S10=.

nn121

5

14.4因a2=3a1，所以a1+d=3a1，即2a1=d，

S10a

+10⨯9d

10=12

=100a1=4

所以S

5⨯425a．

55a1+d1

2

22

15．设F1，F2为椭圆C:

+

=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形，

3620

则M的坐标为.

15.（3,15）

由已知可得a2=36,b2=20,∴c2=a2-b2=16,∴c=4，

∴MF1

=F1F2

=2c=8．∴MF2

=4．

设点M的坐标为（x

y）（x

>0,y

>0），则S

=1⋅FF⋅y

=4y，

0000

△MF1F22

1200

又S△MFF

=1⨯4⨯2

=4,∴4y0=4

，解得y0=，

（15）2

2

∴x0+=1，解得x0=3（x0=-3舍去），

3620

\M的坐标为（3,15）．

16．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O—EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,AA1=4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g.

16.118．8由题意得，

SEFGH

=4⨯6-4⨯1⨯2⨯3=12cm2，

2

四棱锥O−EFG的高3cm，∴VO-EFGH

=1⨯12⨯3=12cm3．

3

又长方体ABCD-ABCD的体积为V=4⨯6⨯6=144cm3，

11112

所以该模型体积为V=V-V=144-12=132cm2，

21

其质量为0.9⨯132=118.8g．

（一）必考题：

共60分。

17．（12分）

为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：

将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

记C为事件：

“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．

（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．

17．

（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．

b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．

（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为

2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．

乙离子残留百分比的平均值的估计值为

3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．

18．（12分）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA+C=bsinA．

2

（1）求B；

（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．

18.

（1）由题设及正弦定理得sinAsinA+C=sinBsinA．

2

因为sinA≠0，所以sinA+C=sinB．

2

由A+B+C=180︒，可得sinA+C=cosB，故cosB=2sinBcosB．

22

因为cosB≠0，故sinB=1，因此B=60°．

222

222

（2）由题设及

（1）知△ABC的面积S△ABC=4a．

csinA

sin（120︒-C）1

由正弦定理得a===+．

sinC

sinC

2tanC2

由于△ABC为锐角三角形，故0°

（1）知A+C=120°，所以30°

2

从而8

⎛

因此，△ABC面积的取值范围是ç8,2⎪．

⎝⎭

19．（12分）

图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.

（1）证明：

图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.

19．

（1）由已知得AD

BE，CG

BE，所以AD

CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．

由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE．又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE．

（2）作EH⊥BC，垂足为H．因为EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC．

由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=．

以H为坐标原点，HC的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H–xyz，

则A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，

），CG=（1，0，

），AC=（2，–1，0）．

设平面ACGD的法向量为n=（x，y，z），则

⎧⎪CG⋅n=0,

⎨

⎧⎪x+

即⎨

3z=0,

⎪⎩AC⋅n=0,

⎪⎩2x-y=0.

所以可取n=（3，6，–）．

n⋅m

又平面BCGE的法向量可取为m=（0，1，0），所以cos〈n,m〉==．

|n||m|2

因此二面角B–CG–A的大小为30°．

20．（12分）

已知函数f（x）=2x3-ax2+b.

（1）讨论f（x）的单调性；

20.

（1）f'（x）=6x2-2ax=2x（3x-a）．

令f'（x）=0，得x=0或x=a.

3

若a>0，则当x∈（-∞,0）

⎛a,+∞⎫时，f'（x）>0；当x∈⎛0,a⎫时，f'（x）<0．故f（x）在

ç3⎪ç3⎪

⎝⎭⎝⎭

（-∞,0）,⎛a,+∞⎫单调递增，在⎛0,a⎫单调递减；

ç3⎪ç3⎪

⎝⎭⎝⎭

若a=0，f（x）在（-∞,+∞）单调递增；

若a<0，则当x∈⎛-∞,a⎫（0,+∞）时，f'（x）>0；当x∈⎛a,0⎫时，f'（x）<0．故f（x）在

ç3⎪ç3⎪

⎝⎭⎝⎭

⎛-∞,a⎫,（0,+∞）单调递增，在⎛a,0⎫单调递减.

ç3⎪ç3⎪

⎝⎭⎝⎭

（2）满足题设条件的a，b存在.

（i）当a≤0时，由

（1）知，f（x）在[0，1]单调递增，所以f（x）在区间[0，l]的最小值为f（0）=b，最大值为f

（1）=2-a+b.此时a，b满足题设条件当且仅当b=-1，2-a+b=1，即a=0，b=-1．

（ii）当a≥3时，由

（1）知，f（x）在[0，1]单调递减，所以f（x）在区间[0，1]的最大值为f（0）=b，最小值为f

（1）=2-a+b．此时a，b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1，b=1，即a=4，b=1．

⎛a⎫a3

（iii）当0

（1）知，f（x）在[0，1]的最小值为fç3⎪=-27+b，最大值为b或2-a+b．

a

3

若-+b=-1，b=1，则a=332，与0

27

3

若-+b=-1，2-a+b=1，则a=3

27

或a=-3

或a=0，与0

综上，当且仅当a=0，b=-1或a=4，b=1时，f（x）在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．

2

21．已知曲线C：

y=x

2

，D为直线y=-1

2

上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

（1）证明：

直线AB过定点：

（2）若以E（0，5）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

2

21．

（1）设D⎛t,-1⎫,A（x,y），则x2=2y.

ç2⎪1111

⎝⎭

y+1

1

由于y'=x，所以切线DA的斜率为x，故

2=x.

x1-t

整理得2tx1-2y1+1=0.

设B（x2,y2），同理可得2tx2-2y2+1=0.

故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.

所以直线AB过定点1.

2

（2）由

（1）得直线AB的方程为y=tx+1.

2

⎧y=tx+1

由

⎪

⎨2

⎪y=x

⎩2

2，可得x2-2tx-1=0.

于是x+x=2t,xx=-1,y+y=t（x+x

）+1=2t2+1，

12121212

|AB|=

x-x=⨯

=2（t2+1）.

12

设d,d分别为点D，E到直线AB的距离，则d=t2+1,d=2.

1212

因此，四边形ADBE的面积S=1|AB|（d+d）=（t2+3）.

212

设M为线段AB的中点，则M⎛t,t2+1⎫.

ç2⎪

⎝⎭

由于EM⊥AB，而EM=（t,t2-2），AB与向量（1,t）平行，所以t+（t2-2）t=0.解得t=0或

t=±1.

当t=0时，S=3；当t=±1时，S=42.

因此，四边形ADBE的面积为3或4.

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4−4：

坐标系与参数方程]（10分）

如图，在极坐标系Ox中，A（2,0），B（2,π），C（2,3π），D（2,π），弧AB，BC，CD所在圆

44

的圆心分别是（1,0），π，（1,π），曲线M是弧，曲线M是弧，曲线M是弧.

（1,）

2

1AB

2BC

3CD

（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；

（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|=，求P的极坐标.

22.

（1）由题设可得，弧AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cosθ，ρ=2sinθ，ρ=-2cosθ.

所以M的极坐标方程为ρ=2cosθ⎛0≤θ≤π⎫，M的极坐标方程为ρ=2sinθ⎛π≤θ≤3π⎫，

1ç4⎪2ç44⎪

⎝⎭⎝⎭

M的极坐标方程为ρ=-2cosθ⎛3π≤θ≤π⎫.

3ç4⎪

⎝⎭

（2）设P（ρ,θ），由题设及

（1）知

ππ

若0≤θ≤，则2cosθ=，解得θ=；

46

若π≤θ≤3π，则2sinθ=，解得θ=π或θ=2π；

44

若3π≤θ≤π，则-2cosθ=

4

33

3，解得θ=5π.

6

综上，P的极坐标为⎛

3,π⎫或⎛

3,π⎫或⎛

3,2π⎫或⎛

3,5π⎫.