高中数学必修5数列复习+专练+提高+检测.docx

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高中数学必修5数列复习+专练+提高+检测

数列复习

2.1数列的表示

一、概念

1、定义：

按一定顺序排列的一列数叫做数列。

★注意：

“有序性”是数列的基本特征！

注意和集合区分

2、表示：

一般我们用符号：

表示一个数列

★注意：

“”是集合的符号，但不代表数列就是集合。

3、通项公式：

用含n的式子表示数列中的某项。

即

★注意：

①通项公式是一种特殊的函数表示形式（离散型）；

②并不是所有的数列都能写出通项公式。

4、前n项和公式：

用含n的式子表示数列前n项的和。

即

★注意：

①前n项和公式同样是一种特殊的函数表示形式；

②前n项和与通项的关系：

····································································

例题1：

下列叙述正确的是

★注意：

数列与集合的区别。

A、数列1、3、5、7和数列7、5、3、1是同一个数列

B、同一个数字在数列中可能重复出现

C、数列的通项公式是定义域为正整数集的函数

D、数列的通项公式是惟一的

5、递增数列和递减数列

递增数列都满足：

或

递减数列都满足：

或

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例题2：

已知数列是递增数列，且，则实数的取值范围是。

····································································

2.2等差数列

一、概念

1、如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做。

2、定义法证明数列是等差数列

★若数列中存在：

（d为常数），则为等差数列；

····································································

例题1：

判断下列数列是否等差数列

（1）；

（2）；

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二、等差数列的通项公式

1、通项公式：

2、推导过程：

累加法

3、等差中项：

若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且

★注意：

通项公式中的“”中，知任意三个可求另一个。

例题2：

已知等差数列：

3，7，11，15……则：

135，是中的项吗？

注意：

检验一个数（式）是否数列中的一项，只需把这个数（式）代入数列的通项公式中即可。

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三、等差数列的简单性质

1、若，则

2、下标为等差数列的项仍为等差数列

3、数列（为常数）仍为等差数列

4、和均为等差数列，则也为等差数列。

····································································

例题1：

已知等差数列中，，则的值是。

例题2：

等差数列中，。

求数列的通项公式。

★注意：

利用等差数列性质转换时，不要混淆性质。

例题3：

设数列、都是等差数列，且，则的值是。

例题4：

等差数列中，，则

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四、判断一个数列是否为等差数列的方法

①定义法：

②等差中项：

③通项法：

为n的一次函数；

④求和法：

····································································

例题1：

已知数列满足，令，求证：

数列是等差数列

例题2：

已知a，b，c成等差数列，求证：

也成等差数列。

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2.3等差数列前n项和

一、前n项和公式

1、公式：

2、推导：

倒序求和（等差专用）

3、★注意：

中，“知三求二”。

要根据已知条件合理选用公式，列方程求解。

4、运用公式，要注意性质“”的运用。

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例题1：

此类题目的中心思想是——方程思想。

（1）已知等差数列的前5项和为25，第8项是15，求第21项。

（2）等差数列―16，―12，―18，…，的前几项和为72？

（3）一个等差数列第5项为10，前3项和为3，求和。

例题2：

已知数列的前n项和，则数列的通向公式为

注意：

活用前n项和通项的关系。

例题3：

在等差数列中，，求。

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二、等差数列的性质

1、等差数列中，连续m项的和仍组成等差数列，即：

仍为等差数列。

2、设数列的前n项和的公式为，则为等差数列的充要条件是。

3、等差数列中，

①当n为奇数时，，

②当n为偶数时，

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例题1：

等差数列的公差，且，求。

例题2：

已知等差数列的前n项和为377，项数n为奇数，且前n项和中奇数项和偶数项的比是6：

7，求中间项。

例题3：

等差数列的前4项和为25，后四项和为63，前n项和为286，求n。

变式1：

（中难）在等差数列中，，求。

例题4：

（中难）已知等差数列的前n项和分别为和，若，求

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三、裂项相消法求数列前n项和

例题1：

求数列；

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2.4等比数列

一、概念

1、如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做。

2、定义法证明数列是等比数列

★若数列中存在：

（q为常数），则为等比数列；

3、注意：

等比数列中公比，任意一项不能等于0

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例题1：

判断下面数列是否等比数列：

（1）

（2）在数列中已知；

（3）常数列

（4）在数列中，，其中。

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二、等比数列通项公式

1、通项公式：

2、推导过程：

累乘法

3、等差中项：

若a，G，b成等比数列，则A叫做a与b的等比中项，且

★注意：

通项公式中的“”中，知任意三个可求另一个。

····································································

例题1：

已知等比数列，若，，求。

例题2：

已知数列为等比数列。

若，且，求的值

例题3：

（整体思想的应用）若数列满足关系，，求数列的通项公式。

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三、等比数列的简单性质

1、若，则

2、下标为等比数列的项也为等比数列

3、数列（为常数）仍为等比数列

4、和均为等比数列，则也为等比数列。

5、若为等比数列，公比为q，则其奇数项或偶数项也能组成等比数列，公比为q2.

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例题4：

在等差数列中，若，则有等式

成立，类比上述性质，相应地，在等比数列中，若，则有等式

成立。

例题5：

设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则＝。

四、判断一个数列是否为等比数列的方法

①定义法：

②等比中项：

③通项法：

④求和法：

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例题5：

数列的前n项和记为，已知。

证明：

（1）数列是等比数列；

（2）

例题6：

设数列的前n项和记为，已知，求证：

当时，是等比数列

2.5等比数列前n项和

一、等比数列前n项和公式

1、公式：

2、“知三求二”

3、注意求和时，讨论“1”

4、对等比数列前n项和：

“”的理解。

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例题1：

求和

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二、等比数列前n项和的性质

答：

①我们每个人要做到不乱扔果皮，不随地吐痰，爱护花草树木，搞好环境卫生，保护好身边的环境。

②力争做一个环保小卫士，向身边的人宣传和倡议环保。

1、连续m项的和仍为等比数列

2、为等比数列

3、若n为奇数，则奇数项和＝偶数项和×公比；

21、血液中的细胞好像运输兵，负责运输吸入的氧气和产生的二氧化碳。

若n为偶数，则偶数项和＝奇数项和×公比

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1、月球是地球的卫星，月球围绕着地球运动，运动的方向是逆时针方向。

例题2：

已知等比数列中，求。

8、对生活垃圾进行分类和分装，这是我们每个公民应尽的义务。

1、人们把放大镜叫作凸透镜（边沿薄、中间厚、透明），它能把物体的图像放大，早在一千多年前，人们就发明了放大镜。

放大镜在我们的生活、工作、学习中被广泛使用。

例题3：

已知等比数列前n项和为，则a的值为。

6、二氧化碳气体有什么特点？

11、在淡水资源短缺的情况下，水污染更给人类和其他生物造成了威胁。

绝大多数的水污染都是由人类的活动引起的。

例题4：

一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项和是85，偶数项和是170，求此数列的公比和项数。

13、清洁的自来水被用来洗脸、刷牙、洗衣、拖地后就成了污水。

1、我们每天都要消耗食物和各种各样的生活用品，与此同时，也产生了许多垃圾。

例题5：

一个项数为偶数的等比数列，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求通项公式。

答：

①可以节约能源；②减少对环境的污染；③降低成本。

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三、错位相减法（等差×等比专用）

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