中考数学开放探索问题复习导学案.docx

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中考数学开放探索问题复习导学案

中考数学开放探索问题复习导学案

第　开放探索问题

第一部分讲解部分

一、专题诠释

开放探究型问题，可分为开放型问题和探究型问题两类．

开放型问题是相对于有明确条和明确结论的封闭型问题而言的，它是条或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：

条开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．

探究型问题是指命题中缺少一定的条或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：

条探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．

二、解题策略与解法精讲

由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：

1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．

2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条一致．

3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．

4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．

以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．

三、考点精讲

（一）开放型问题

考点一：

条开放型：

条开放题是指结论给定，条未知或不全，需探求与结论相对应的条．解这种开放问题的一般思路是：

由已知的结论反思题目应具备怎样的条，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．

例1：

（2011江苏淮安）在四边形ABD中，AB=D，AD=B请再添加一个条，使四边形ABD是矩形你添加的条是（写出一种即可）

分析：

已知两组对边相等，如果其对角线相等可得到△ABD≌△AB≌AD≌△BD，进而得到，∠A=∠B=∠=∠D=90°，使四边形ABD是矩形．

解：

若四边形ABD的对角线相等，

则由AB=D，AD=B可得．

△ABD≌△AB≌AD≌△BD，

所以四边形ABD的四个内角相等分别等于90°即直角，

所以四边形ABD是矩形，

故答案为：

对角线相等．

评注：

此题属开放型题，考查的是矩形的判定，根据矩形的判定，关键是是要得到四个内角相等即直角．

考点二：

结论开放型：

给出问题的条，让解题者根据条探索相应的结论并且符合条的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：

充分利用已知条或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．

例2：

（2011天津）已知一次函数的图象经过点（0，1），且满足随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为　　．

分析：

先设出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象经过点（0，1）可确定出b的值，再根据随x的增大而增大确定出的符号即可．

解：

设一次函数的解析式为：

=x+b（≠0），

∵一次函数的图象经过点（0，1），

∴b=1，

∵随x的增大而增大，

∴＞0，

故答案为=x+1（答案不唯一，可以是形如=x+1，＞0的一次函数）．

评注：

本题考查的是一次函数的性质，即一次函数=x+b（≠0）中，＞0，随x的增大而增大，与轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在轴的正半轴上．

考点三：

条和结论都开放的问题：

此类问题没有明确的条和结论，并且符合条的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条或特定条下的结论，多方面、多角度、多层次探索条和结论，并进行证明或判断．

例3：

（2010•玉溪）如图，在平行四边形ABD中，E是AD的中点，请添加适当条后，构造出一对全等的三角形，并说明理由．分析：

先连接BE，再过D作DF∥BE交B于F，可构造全等三角形△ABE和△DF．利用ABD是平行四边形，可得出两个条，再结合DE∥BF，BE∥DF，又可得一个平行四边形，那么利用其性质，可得DE=BF，结合AD=B，等量减等量差相等，可证AE=F，利用SAS可证三角形全等．

解：

添加的条是连接BE，过D作DF∥BE交B于点F，构造的全等三角形是△ABE与△DF．理由：

∵平行四边形ABD，AE=ED，

∴在△ABE与△DF中，

AB=D，

∠EAB=∠FD，

又∵DE∥BF，DF∥BE，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∴DE=BF，

又AD=B，

∴AD﹣DE=B﹣BF，

即AE=F，

∴△ABE≌△DF．（答案不唯一，也可增加其它条）评注：

本题利用了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、以及等量减等量差相等等知识．

考点四：

编制开放型：

此类问题是指条、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性．

例4：

（2010年江苏盐城中考题）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．

分析：

本题的等量关系是：

两班捐款数之和为1800元；2班捐款数-1班捐款数=4元；1班人数=2班人数×90%，从而提问解答即可．

解：

解法一：

求两个班人均捐款各多少元？

设1班人均捐款x元，则2班人均捐款（x+4）元，根据题意得

1800x•90%=1800x+4

解得x=36经检验x=36是原方程的根

∴x+4=40

答：

1班人均捐36元，2班人均捐40元

解法二：

求两个班人数各多少人？

设1班有x人，则根据题意得

1800x+4=180090x%

解得x=0，经检验x=0是原方程的根

∴90x%=4

答：

1班有0人，2班有4人．

评注：

对于此类编制开放型问题，是一类新型的开放型问题，它要求学生的思维较发散，写出符合题意的正确答案即可，难度要求不大，但学生容易犯想当然的错误，叙述不够准确，如单位的问题、符合实际等要求，在解题中应该注意防范．

（二）探究型问题

考点五：

动态探索型：

此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条的题目．

例：

（2011•临沂）如图1，将三角板放在正方形ABD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABD的顶点A重合，三角扳的一边交D于点F．另一边交B的延长线于点G．

（1）求证：

EF=EG；

（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABD的对角线A上，其他条不变，

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请给予证明：

若不成立．请说明理由：

（3）如图3，将

（2）中的“正方形ABD”改为“矩形ABD”，且使三角板的一边经过点B，其他条不变，若AB=a、B=b，求的值．

分析：

（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性质，可利用SAS证得Rt△FED≌Rt△GEB，则问题得证；

（2）首先点E分别作B、D的垂线，垂足分别为H、I，然后利用SAS证得Rt△FEI≌Rt△GEH，则问题得证；

（3）首先过点E分别作B、D的垂线，垂足分别为、N，易证得E∥AB，EN∥AD，则可证得△EN∽△AD，△E∽△AB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GE∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解：

（1）证明：

∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，

∴∠DEF=∠GEB，

又∵ED=BE，∴Rt△FED≌Rt△GEB，

∴EF=EG；

（2）成立．

证明：

如图，过点E分别作B、D的垂线，垂足分别为H、I，

则EH=EI，∠HEI=90°，

∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，

∴∠IEF=∠GEH，

∴Rt△FEI≌Rt△GEH，

∴EF=EG；

（3）解：

如图，过点E分别作B、D的垂线，垂足分别为、N，

则∠EN=90°，

∴E∥AB，EN∥AD．

∴△EN∽△AD，△E∽△AB，

∴，

∴，即，

∵∠IEF+∠FE=∠GE+∠FE=90°，

∴∠GE=∠FEN，

∵∠GE=∠FNE=90°，

∴△GE∽△FNE，

∴，

∴．

评注：

此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．

考点六：

结论探究型：

此类问题给定条但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目．

例6：

（2011福建省三明市）在矩形ABD中，点P在AD上，AB=2，AP=1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，B于点E，F，连接EF（如图①）．

（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点重合（如图②），求P的长；

（2）探究：

将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：

①tan∠PEF的值是否发生变化？

请说明理由；

②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长．分析：

（1）由勾股定理求PB，利用互余关系证明△APB∽△DP，利用相似比求P；

（2）tan∠PEF的值不变．过F作FG⊥AD，垂足为G，同

（1）的方法证明△APB∽△DP，得相似比==2，再利用锐角三角函数的定义求值；

（3）如图3，画出起始位置和终点位置时，线段EF的中点1，2，连接12，线段12即为线段EF的中点经过的路线长，也就是△BP的中位线．

解：

（1）在矩形ABD中，∠A=∠D=90°，

AP=1，D=AB=2，则PB=，

∴∠ABP+∠APB=90°，

又∵∠BP=90°，

∴∠APB+∠DP=90°，

∴∠ABP=∠DP，

∴△APB∽△DP，

∴即，

∴P=2；

（2）tan∠PEF的值不变．

理由：

过F作FG⊥AD，垂足为G，

则四边形ABFG是矩形，

∴∠A=∠PFG=90°，GF=AB=2，

∴∠AEP+∠APE=90°，

又∵∠EPF=90°，

∴∠APE+∠GPF=90°，

∴∠AEP=∠GPF，

∴△APE∽△GPF，

∴==2，

∴Rt△EPF中，tan∠PEF==2，

∴tan∠PEF的值不变；

（3）线段EF的中点经过的路线长为．评注：

本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形．关键是利用互余关系证明相似三角形．

考点七：

规律探究型：

规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用

例7：

（2011四川成都）设,,,…,

设，则S＝_________（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．

分析：

由

，求，得出一般规律．

解：

故答案为：

评注：

本题考查了二次根式的化简求值．关键是由Sn变形，得出一般规律，寻找抵消规律．

考点八：

存在探索型：

此类问题在一定的条下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目．

例8：

（2011辽宁大连）如图1，抛物线＝ax2+bx+经过A（－1，0）、B（3，0）、（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线B相交于点，连接PB．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在一点Q，使△QB与△PB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；

（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RP与△RB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．分析：

（1）利用待定系数法求解；

（2）若想求Q点坐标，Q到B的距离应该等于P到B的距离，所以Q点应该在经过P点且平行于B的直线上，或者在这条直线关于B对称的直线上，因此，求出这两条直线的解析式，其与抛物线的交点即为所求Q点；（3）设出R点坐标，分别用其横坐标表示出△RP与△RB的面积，利用相等列出方程即可求出R点坐标．

解：

（1）

（2）∵∴P（1，4）

B：

，（1，2）P（1，4）；PB：

，

当PQ∥B时：

设PQ1：

∵P（1，4）在直线PQ上；

∴PQ1：

解得，

∴：

（2，3）；

将PQ向下平移4个单位得到解得，

∴：

（，）；：

（，）（3）存在，设R的坐标为（，）

∵P（1，4），（1，2）

∴

∵解得，（舍）

∴当时，

∴R（，2）

评注：

求面积相等问题通常是利用过顶点的平行线完成；在表示面积问题时，对于边不在特殊线上的通常要分割．

四、真题演练

1．（2011东潍坊）一个关于x的函数同时满足两个条：

①图象过（2，1）点；②当时．随x的增大而减小，这个函数解析式为_______________（写出一个即可）

2．（2011西）如图，四边形ABD是平行四边形，添加一个条：

___________

_______________________，可使它成为矩形．3．（2011•泰州）“一根弹簧原长10，在弹性限度内最多可挂质量为g的物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，，则弹簧的总长度（）与所挂物体质量x（g）之间的函数关系式为=10+0x（0≤x≤）．”

王刚同学在阅读上面材料时发现部分内容被墨迹污染，被污染的部分是确定函数关系式的一个条，你认为该条可以是：

　　（只需写出1个）．

3．（

4．（2011广西百色）已知矩形ABD的对角线相交于点，、N分别是D、上异于、、D的点．

（1）请你在下列条①D=N，②=N，③N是△D的中位线，④N∥AB中任选一个添加条（或添加一个你认为更满意的其他条），使四边形ABN为等腰梯形，你添加的条是　　．

（2）添加条后，请证明四边形ABN是等腰梯形．

第二部分练习部分

1．（2011•贺州）写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限：

　=﹣x（答案不唯一）　．

分析：

先设出此正比例函数的解析式，再根据正比例函数的图象经过二、四象限确定出的符号，再写出符合条的正比例函数即可．

解答：

解：

2．（2011•湖南张家界）在△AB中，AB=8，A=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，要使△AB与△DEF相似，则需添加的一个条是　　（写出一种情况即可）．

分析：

解答：

解：

则需添加的一个条是：

B：

EF=2：

1．

∵在△AB中，AB=8，A=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，

∴AB：

DE=2：

1，A：

DF=2：

1，

∵B：

EF=2：

1．

∴△AB∽△DEF．

故答案为：

．

3．（2010江苏连云港中考题）若关于x的方程x2－x＋3＝0有实数根，则的值可以为___________．（任意给出一个符合条的值即可）

4．（2011广东湛江）如图，点B，，F，E在同直线上，∠1=∠2，B=EF，∠1_______（填“是”或“不是”）∠2的对顶角，要使△AB≌△DEF，还需添加一个条，可以是_______（只需写出一个）

．（2011福建省漳州市，19,8分）如图，∠B=∠D，请在不增加辅助线的情况下，添加一个适当的条，使△AB≌△ADE，并证明．

（1）添加的条是　　；

（2）证明：

6．（2010浙江杭州中考题）给出下列命题：

命题1．点（1,1）是直线＝x与双曲线＝的一个交点;

命题2．点（2,4）是直线＝2x与双曲线＝的一个交点;

命题3．点（3,9）是直线＝3x与双曲线＝的一个交点;

……．

（1）请观察上面命题，猜想出命题（是正整数）;

（2）证明你猜想的命题n是正确的．7．（2011•德州）●观察计算

当a=，b=3时，与的大小关系是＞．

当a=4，b=4时，与的大小关系是=．●探究证明

如图所示，△AB为圆的内接三角形，AB为直径，过作D⊥AB于D，设AD=a，BD=b．

（1）分别用a，b表示线段，D；

（2）探求与D表达式之间存在的关系（用含a，b的式子表示）．

●归纳结论

根据上面的观察计算、探究证明，你能得出与的大小关系是：

≥．

●实践应用

要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．8．（2011浙江绍兴）数学上，李老师出示了如下框中的题目．

在等边三角形AB中，点E在AB上，点D在B的延长线上，且ED=E，如图．试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况•探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：

AE　=　DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例启发，解答題目

解：

题目中，AE与DB的大小关系是：

AE　=　DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：

如图2，过点E作EF∥B，交A于点F，（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形AB中，点E在直线AB上，点D在直线B上，且ED=E．若△AB的边长为1，AE=2，求D的长（请你直接写出结果）．★“真题演练”参考答案★

1．【分析】本题的函数没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条①②即可．

【答案】符合题意的函数解析式可以是=，=-x+3，=-x2+等，（本题答案不唯一）

故答案为：

=，=-x+3，=-x2+等．

2．【分析】：

由有一个角是直角的平行四边形是矩形．想到添加∠AB＝90°；由对角线相等的平行四边形是矩形．想到添加A＝BD．

【答案】∠AB＝90°（或A＝BD等）

3．解：

根据弹簧的总长度（）与所挂物体质量x（g）之间的函数关系式为=10+0x（0≤x≤）可以得到：

当x=1时，弹簧总长为10，

当x=2时，弹簧总长为11，…

∴每增加1千克重物弹簧伸长0，

故答案为：

每增加1千克重物弹簧伸长0．

4．解：

（1）选择①D=N；

（2）证明：

∵AD=B，∠AD=∠BN，D=N

∴△AND≌△BN，

∴A=BN，由D=知=N，

∴

∴N∥D∥AB，且N≠AB

∴四边形ABN是等腰梯形．

★“练习部分”参考答案★

1．【分析】设此正比例函数的解析式为=x（≠0），

∵此正比例函数的图象经过二、四象限，

∴＜0，

∴符合条的正比例函数解析式可以为：

=﹣x（答案不唯一）．

【答案】故答案为：

=﹣x（答案不唯一）．

2．【分析】因为两三角形三边对应成比例，那么这两个三角形就相似，从题目知道有两组个对应边的比为2：

1，所以第三组也满足这个比例即可．

【答案】B：

EF=2：

1

3．【分析】由于这个方程有实数根，因此⊿＝≥0，即2≥12．

【答案】答案不唯一，所填写的数值只要满足2≥12即可，如4等

4．【分析】根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角．要使△AB≌△DEF，已知∠1=∠2，B=EF，则只需补充A=FD或∠BA=∠FED都可，答案不唯一．

【答案】解：

根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角

故填：

不是．

添加A=FD或∠BA=∠FED后可分别根据SAS、AAS判定△AB≌△DEF，

故答案为：

A=FD，答案不唯一．．解：

（1）添加的条是：

AB=AD，答案不唯一；

（2）证明：

在△AB和△ADE中，

∠B=∠D，

AB=AD，

∠A=∠A，

∴△AB≌△ADE．

6．

（1）命题n；点（n,n2）是直线=nx与双曲线=的一个交点（是正整数）．

（2）把代入=nx，左边=n2，右边=n•n=n2，

∵左边=右边，∴点（n，n2）在直线上．

同理可证：

点（n，n2）在双曲线上，

∴点（n，n2）是直线=nx与双曲线=的一个交点，命题正确．

7．解：

●观察计算：

＞，=．

●探究证明：

（1）∵AB=AD+BD=2，

∴=

∵AB为⊙直径，

∴∠AB=90°．

∵∠A+∠AD=90°，∠AD+∠BD=90°，

∴∠A=∠BD．

∴△AD∽△BD．（4分）

∴．

即D2=AD•BD=ab，

∴D=．（分）

（2）当a=b时，=D，=；

a≠b时，＞D，＞．

●结论归纳：

≥．

●实践应用

设长方形一边长为x米，则另一边长为米，设镜框周长为l米，则=4

当x=，即x=1（米）时，镜框周长最小．

此时四边形为正方形时，周长最小为4米．

8．解：

（1）故答案为：

=．

（2）故答案为：

=．

证明：

在等边△AB中，∠AB=∠AB=∠BA=60°，AB=B=A，

∵EF∥B，

∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BA，

∴AE=AF=EF，

∴AB﹣AE=A﹣AF，

即BE=F，

∵∠AB=∠EDB+∠BED=60°，

∠AB=∠EB+∠FE=60°，

∵ED=E，

∴∠EDB=∠EB，

∴∠BED=∠FE，

∴△DBE≌△EF，

∴DB=EF，

∴AE=BD．

（3）答：

D的长是1或3．