历年高等数学期末考试试题.docx
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历年高等数学期末考试试题
1．
2．
3．
4．
5．
6．
2008-2009学年第一学期期末试题
、填空题（每题5分，共30分）
1
曲线yxln（e）的斜渐近线方程是
x
若函数yy（x）由e2xycos（xy）e1确定，则在点（0,1）处的法线方程是
设f（x）连续，且0
2n
积分0sinxdx
微分方程y曲边三角形y
二．选择题（每题
1．
当x0时，
（A）1ex
2.
若f（x）
（2x
x21
f（t）dtx4，则f（8）
4y4y0的通解为
x，y0,x1绕x轴旋转所得的旋转体体积为
3分，共15分）
与x等价的无穷小是（
1x
（B）ln1x
（C）1x1
（D）1cosx
3．
4．
1）
1
1，则f（x）在（
x
处不连续
（A）x
若f（x）
xsinx
（A）f（0）是极大值，
（C）f（0）是极大值，
（B）x2
cosx，则（
f
（2）是极小值，
f（）也是极大值
2
（C）
（B）
（D）
设线性无关的函数y1,y2,y3都是二阶非齐次线性方程
c1,c2是任意常数，则该方程的通解为（
（A）c1y1c2y2y3，
（B）c1y1
（C）c1y1c2y2（1c1c2）y3，
3n3in
5．极限lim3（3in）2可表示为（
nni1n
（D）x
f（0）是极小值，
f（）是极大值
2
f（0）是极小值，
（D）c1y1
（A）31x2dx
1
（B）30（3x
1）2dx
f（）也是极小值
2
yp（x）yq（x）yf（x）的解，
c2y2
c2y2
（c1c2）y3，
（1c1
c2）y3，
22
（C）1（3x1）2dx
12
（D）0x2dx
三、计算题（每题6分，共36分）
1．lim
x0
x
esinx1
11x2
x
xe
2.
（1
2dx
x）2
3．设y
f（x）为单调函数，且二阶可导，
g（x）为其反函数，若f
（1）2,
f
（1）
33,f
（1）2,
求g
（2）.
4．若曲线
f（x）由x
t2
11udu,y
t2
1udu确定，，求该曲线对应于0t1的
1
弧长。
5.求微分方程
ycos2x
tanx满足y（0）0的特解。
x
6．设曲线
y
at3
在tt2bt
1
1处切线斜率为,试确定a,b使曲线与x轴所围图形的面积最
3
四．综合题（
1题7分，2、
3题6分，共19分，）
1．
设f（x）
2x1ltimt2sinxt[g（2x1t）
g（2x）]，其中g（x）可导，
2．
3．
1）证明：
f（x）xg（2x）；
2）若g（x）的一个原函数为ln（1
设f（x）在x0的某邻域内可导，且
x），求
f（0）
设f（x）是周期为2的连续函数，证明：
1
0f（x）dx.
1,f（0）2，求lnim[f（n）]
1
1
1n（1cos）
n
x
g（x）02f（t）dtx
2
0f（t）dt也是周期为2
的函数。
五．附加题（共20分，本题的得分记入总分）
1
1．设f（x）在[0,1]连续，（0,1）可导，且f（0）f
（1）0，f（）1，证明：
（0,1），
2
使得f（）1.
4
2．设f（x）在[2,4]上连续，且f（3）0，证明：
（2,4），使得f（）32f（t）dt
2008-2009学年第二学期期末试题
、选择题（每题3分，共15分）
1．下列结论正确的是（）
（A）若f（x,y）在（x0,y0）处可微，则fx（x,y），fy（x,y）在（x0,y0）处一定连续。
（B）若f（x,y）在（x0,y0）处沿任意方向的方向导数都存在，则fx（x0,y0），fy（x0,y0）存在；
（C）若fx（x0,y0）存在，则一元函数f（x,y0）在（x0,y0）处连续，所以limf（x,y0）存在；xx0
（D）若fx（x0,y0）a，fy（x0,y0）b，则dz（x0,y0）adxbdy；
222xyz2．设f（x,y,z）具有一阶连续偏导数，且f（x,y,z）0，曲面为椭球面2221abc
的外侧在第二卦限内的部分，则下列积分小于零的是（）
（A）f（x,y,z）ds（B）f（x,y,z）dxdy
（C）f（x,y,z）dzdx（D）f（x,y,z）dydz
3．设幂级数an（x1）n在x2处条件收敛，则此级数在x2处（）
n0
（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）收敛性不能确定
24．设为非零实数，则级数
（1）n（）
n2nlnn
（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与a有关
2u（x,y）5．设函数u（x,y）在平面有界闭区域上具有二阶连续偏导数，且满足0，
xy
2u（x2,y）2u（x2,y）0，则u（x,y）的（）
xy
（A）最大值点和最小值点都在D的内部；
（B）最大值点和最小值点都在D的边界上；
（C）最大值点在D的内部，最小值点都在D的边界上；（D）最小值点在D的内部，最大值点都在D的边界上。
二、填空题（每题3分，共15分）
1．曲面ezzxy3在点（2,1,0）处的切平面方程是
123x11x2
2．积分I2dxf（x,y）dy1dxf（x,y）dy在极坐标系下的累次积分为0020
3．设f（u）具有连续导数，且0f（u）du4，L为半圆周y2xx2，起点为A（0,0），
终点为B（2,0），则f（x2y2）（xdxydy）
4．设L为正向闭曲线xy2，则?
Laxdybydx
Lxy
5．设函数f（x）xx2（x）的付立叶级数展开式为
a0（ancosnxbnsinnx），则其中系数b3的值为
2n1
三、计算题（每题8分，共48分）
xzz
1．设zz（x,y）由方程ln所确定，求
zyy
2．设:
x2y2z2a2，求ò（sinxyz2）ds
3．求（sinxz）dV，其中是由曲面zx2y2与z1x2y2所围的区域
f（x）14．若f（x）具有连续的导数，曲线积分[1]ydxf（x）dy与路径无关，且f
（1），Lx2求f（x）
5．计算
4xzdydz2yzdzdx（1z2）dxdy，其中
为曲线z
x
ey
e0（0
ya）绕z轴旋
转而成的曲面的上侧
6．求级数f（x）ln（32xx2）在x1处展开成幂级数，并指出收敛域
四、综合与证明题（选作两题，每题11分，共22分）
222
1．设f（x,y）x2xyy2，L为抛物线yx2自原点至点A（1,1）的有向弧段，n为L的
切向量顺时针旋转角所得的法向量，f表示f（x,y）在曲线L上点M（x,y）处沿法向量2n
n的方向导数，计算fds
Ln
2．设闭曲面
上任一点x,y,z处的法向量为P,Q,R，为
1）证明：
òP2Q2R2ds（
2）利用（
1）中所得的结论计算：
ò
3.．设f（x）在x0的某领域内连续，且
1）计算limF（t4）其中
t0t4
F（t）=
2）问为何值时，级数
1
F
n1n
4．设为曲面yf（x,y）的上侧，
P
Q
R
）dV
x
y
z
2
2
4x2
4y2
zds，
其中
:
x
22zy
4
4
f（x）
222
lim
1，
（x,y,z）
xyz
x0
x
所围成的闭区域，
1
t2
f（x2y2z2）dxdydz
1
（1）收敛
n
的正向边界曲线为，P（x,y,z）在
及其边界
PP有一阶连续偏导数，证明：
dzdxdxdy?
P（x,y,z）dx
Zy
考生注意：
第四大题如选作两个以上，可酌情加分，但卷面总分不得超过100分。
2009-2010学年第一学期期末试题
.填空题（每题3分，共15分）
1．设f（x）
y（x）与ysinx在（0,0）点处相切，
lxim0
2．若函数y
f（x）
x
3．积分[ln（x1x2）1]4x2dx
2x
e
4．积分xdx=
5．lim
n
1
n1
n2
1
nn
1e
．选择题（每题3分，共15分）
1．
x1是函数f（x）
21
x1
e
x1
0
x1
1
1的（
1
）间断点。
2．
A）
可去
（B）
跳跃
（C）无穷
（D）振荡
（A）
（C）
0时，与4x等价的无穷小量是（
3
tan（x222）
314x21
（B）ln1
（D）xsin3x4x
（A）0dyy
（B）0ydy
x3
5.设f（x）为连续的奇函数，且
（x）
0f（t）dt，
（2）a，2f（x）dx
3
5
（A）（3）
（2）
4
（B）
（3）54
（2）
3
（C）（3）
（2）
（D）
（3）
5
（2）
44
三、计算题（每题
8分，共48分）
m
li
sinxxcosx
3
x
2.
arctanx
x2
（1
2dx
x2）
3．
4．
5.
6.
f（x）
2
sint
cos2t其中
f（u）du
2
xt2
etdt，求I
1
f（u）可导，求
1
0xf（x）dx
f（x）是以为周期的连续函数，求
2n
f（x）在[0,]上连续，且f（x）
2
2
sinx
d2y.dx2.
sinxf（x）dx
4f（2x）dx，求
02f（x）dx
四．综合题（共
22分，选作三题）
1．若
f（x
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