数列知识点总结及题型归纳.docx
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数列知识点总结及题型归纳
数列知识点总结及题型归纳
数列
、数列的概念
（1）数列定义：
按一定次序排列的一列数叫做数
列;
数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作an，在数
列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作an；数列的一般形式：
印,a2,a3,,an,，简记作4。
例：
判断下列各组元素能否构成数列
（1）a,-3,-1,1,b,5,7,9;
（2）2010年各省参加高考的考生人数。
（2）通项公式的定义：
如果数列｛an｝的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如：
①：
1,2,3,4,5,…・
②：
11111…
，2，3,4，5
数列①的通项公式是an=n（n7,数列②的通项公式是an=1（nN）
n
说明：
1an表示数列，an表示数列中的第n项，an=示数列的通项公式；
2同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
1,n2k1
1,n2k（kZ）；
3不是每个数列都有通项公式。
例如，1,
an=
（1）n=
an—n
n7,nN）,
例如，
1.4,
让学习成为一种习惯！
1.41，1.414，
（3）数列的函数特征与图象表示：
序号：
123456
项：
456789
上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。
从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数f（n）当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值f
（1），f
（2）,f（3）,,f（n）,•通常用an来代替fn，其图象是
一群孤立点。
例：
画出数列an2n1的图像.
（4）数列分类：
①按数列项数是有限还是无限分:
有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分:
单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。
例：
下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？
（1）1,2,3,4,5,6,…
（2）10,9,8,
7,6,5,…
（3）1,0,1,0,1,0,…（4）a,a,a,a,
a,…
（5）数列｛an｝的前n项和Sn与通项an的关系：
S1（n1）
SnSm（n>2）
例：
已知数列｛an｝的前n项和Sn2n23，求数列｛务｝的通
（1）
（2）
（3）
（4）
项公式练习:
1•根据数列前4项，写出它的通项公式:
1,3,5,7……;
221321421521；
2，3，4，5；
1111
1*2，2*3，3*4，4*5
9,99,999,9999…
（5）7,77,777,7777,
（6）8,88,888,8888…
2
2•数列an中，已知an—^（nN）
3
（2）792是否是数列中的项？
若是,是第几项?
3
3.（2003京春理14,文15）在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表•观察表中数据的特点,用适当的数填入表中空白（内。
30巧40書50、石&D込
1101昨130135130135（）145
70737S75fit?
（）舸
4、由前几项猜想通项：
根据下面的图形及相应的点数,在空格及括号中分别填
上适当的图形和数，写出点数的通项公式
（1（4（7（
5.观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是（），其通项公式
为.
A.40个
/
B.45个
C.50个/D.55个
/
7\
//\
2条直
3条直
4条直
线相
线相
线相
二、等差数列
题型一、等差数列定义：
一般地，如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
用递推公式表示为ananid（n2）或a.ia.d（n1）。
题型二、等差数列的通项公式：
ana1（n1）d；
说明：
等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：
d0为递增数列，d0为常数列，d0为递减数列。
例：
1.已知等差数列an中，a7a916,a41,则孔等于（）
A.15B.30C.31D.64
2005,
2.{an}是首项a1
1，公差d3的等差数列，如果an
则序号
n等于
（A）667
（B）668（C）669
（D）
670
3.
等差数列an
2n1,bn2n1,则an为
bn为
（填“递增数列”或“递减数列”）
题型三、等差中项的概念：
定义：
如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差
中项。
其中A心
2
例：
1.（06全国I）设a.是公差为正数的等差数列，若
A.120B・105C.90
D・75
2.设数列｛an｝是单调递增的等差数列，前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是（）
A.1B.2C.4D.8
题型四、等差数列的性质：
（1）在等差数列an中，从第2项起，每一项是它相邻二项
的等差中项；
（2）在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是等差
数列；
（3）在等差数列an中，对任意m,nN,anam（nm）d,d色弘（mn）；
nm7
（4）在等差数列an中，若m,n,p,qN且mnpq，则
amanapaq；
题型五、等差数列的前n和的求和公式：
Snn（a1an）na’In2（a’d）n。
（S”An2Bn（A,B为常数）a”是
2222v
等差数列）
递推公式：
Sn（313n）nmawJn
22
例：
1.如果等差数列an中,a3a4a512,那么aa?
…a7
（A）14（B）21（C）28
（D）35
2.（2009湖南卷文）设Sn是等差数列an的前n项和，
已知a23,a611,贝VS等于（
）
A.13B
.35
C.49
D.63
3.（2009全国卷I理）
设等差数列
an的前n项和为3,
^若S972,贝Ua2a4ag—
4.（2010重庆文）
（2）
在等差数列
an中，a1a910，则
as的值为（）
（A）5
（B）6
（C）8
（D）10
5.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为
146,且所有项的和为390,则这个数列有（）
A.13项B.12项C.11项
D.10项
6.已知等差数列an的前n项和为Sn，若
S〔221，贝卩a?
玄5a$a〔1
7.（2009全国卷U理）设等差数列an的前n项和为S,,
若as5a3贝寸严
S5
8.（98全国）已知数列｛bn｝是等差数列，b=1,b1+b2+…
+b10=100.
（I）求数列｛bn｝的通项bn；
aio10，其前10项的和
9.已知an数列是等差数列，
S1070，则其公差d等于（）
A•2B•1C.1D.
2
333
3
10.（2009陕西卷文）设等差数列
an的前n项和为sn,
若a6S12,则an
11.（00全国）设｛an｝为等差数列，S为数列｛an｝的前n项和，已知Sr=7,S5=75,Tn为数列｛鱼｝的前nn
项和，求Tn。
12.等差数列an的前n项和记为Sn，已知a1030,a2050①求通项an；②若Sn=242,求n
13.在等差数列｛an｝中，
（1）已知S848,S12168,求a1和d；
（2）已知a610,S5,求a*和S8；（3）已知a3a1540,求S17
题型六.对于一个等差数列：
（1）若项数为偶数，设共有2n项，则①S偶S奇nd；②
an1
（2）若项数为奇数，设共有2n1项，则①S奇S偶ana中;
题型七.对与一个等差数列，S,S2nS,S3nS?
n仍成等差数列。
例：
1.等差数列｛an｝的前m项和为30，前2m项和为100,则它的前3m项和为（）
A.130B.170C.210
D.260
2.一个等差数列前n项的和为48,前2n项的和为60,
则前3n项的和为。
3.已知等差数列an的前10项和为100,前100项和
为10,则前110项和为
4.设Sn为等差数列an的前n项和，S414,S10S730,则S9=_
5.（06全国II）设S是等差数列｛an｝的前n项和，
若t=1，则盏=
A.色B.1C.〕
1038
D.1
9
题型八•判断或证明一个数列是等差数列的方法：
1定义法：
an1and（常数）（nN）an是等差数列
2中项法：
2an1anan2（nN）a”是等差数列
3通项公式法：
anknb（k,b为常数）an是等差数列
4前n项和公式法：
SnAn2Bn（A,B为常数）an是等差数列
例：
1.已知数列｛an｝满足anani2，则数列｛an｝为（）
A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列
也不是等比数列D.无法判断
2.已知数列｛an｝的通项为an2n5，则数列｛弭为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断
3.已知一个数列｛an｝的前n项和Sn2n24，则数列｛an｝为
（）
A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列
也不是等比数列D.无法判断
4.已知一个数列{an}的前n项和Sn2n2,则数列{an}为（）
A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断
5.已知一个数列{an}满足an22an1an0，则数列{an}为（）
A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断
6.数列an满足a1=8，a42，且an22an1an0（nN）
①求数列an的通项公式；
7.（01天津理，2）设S是数列{an}的前n项和，且S=n2,则{an}是（）
A.等比数列，但不是等差数列B.等差数
列，但不是等比数列
C.等差数列，而且也是等比数列D.既非
等比数列又非等差数列
题型九.数列最值
（1）ai0,d0时，Sn有最大值；ai0,d0时，Sn有最小值;
（2）Sn最值的求法：
①若已知Sn，Sn的最值可求二次函数
Snan2bn的最值；
可用二次函数最值的求法
中的正、负分界项，即:
an0
an10
例：
1•等差数列an中，ai0,S9Si2，则前项
的和最大
2•设等差数列an的前n项和为Sn，已知
a312,$2°,$30
1求出公差d的范围，
2指出S1,S2,,S12中哪一个值最大，并说明理由
*
3.（02上海）设｛an｝（n€N）是等差数列，S是其前
n项的和，且S5vS6,S7>S.，则下列结论错误的是
••
（）
A.dv0B.a7=0C.S9>S5D.S6与S7均
为Sn的最大值
4.已知数列an的通项哗（nN）,则数列an的前30
n\'99
项中最大项和最小项分别是
5.已知｛a”｝是等差数列，其中ai31，公差d8。
（1）数列｛an｝从哪一项开始小于0?
（2）求数列｛an｝前n项和的最大值，并求出对应n的值.
6.已知｛an｝是各项不为零的等差数列，其中a0，公差
d0，若S100,求数列｛an｝前n项和的最大值.
7.在等差数列｛a”｝中，a25，S17S9，求Sn的最大值.
题型十.利用anSS（:
2）、求通项.
Ml51（n2）
让学习成为一种习惯！
1.数列｛an｝的前n项和sn21.
（1）试写出数列的前5项；
（2）数列｛an｝是等差数列吗？
（3）你能写出数列｛an｝的通项公式吗？
2•已知数列an的前n项和S,n24n1,则
3.设数列｛an｝的前n项和为s=2n2，求数列啣的通项公式；
4.已知数列an中，a13,前n和S,扌51）（a”1）1
1求证：
数列an是等差数列
2求数列an的通项公式
5.（2010安徽文）设数列｛an｝的前n项和Snn2，则a8的值为（）
（A）15（B）16（C）49
（D）64
等比数列
等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前
••••
一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，
••
这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q0）,
ani:
anq（q0）。
，、递推关系与通项公式
递推关系：
an1anq
通项公式：
n1
ana1q
推广：
an
nm
amq
1.在等比数列
an中,a14,q2，贝an
2.在等比数列
an中,a712,q32,贝盹
（07重庆文）在等比数列
则公比q为（）
（A）2（B）3（C）4（D）8
4■在等比数列an中，a22,a554，则a*=
5.在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a.3，前三项和为21,则a3a4a5（）
A33B72C84D189
二、等比中项：
若三个数a,b,c成等比数列，则称b为a与c的等比中项，且为b,ac，注：
b2ac是成等比数列的必要而不充分条件•
例：
1.23和23的等比中项为（）
（A）1（B）1（C）1
（D）2
2.（2009重庆卷文）设an是公差不为0的等差数
列，ai2且ai,a3,a6成等比数列，贝K的前n项和Sn=（）
pq，则amanapaq（其中m,n,p,q
（2）qnm」,a/anmanm（nN）
am
（3）an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等丄数列•
（4）an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列•
例：
1•在等比数列an中,ai和aio是方程2x25x10的两个
根,则a4
a7（
）
（A）
5
2
（d）2
2.
在等比数列a„,
3.
在等比数列a”中
①求a„
②若T„lga】lga2
lgan,求Tn
（叱（C）i
已矢口a15,agag100，贝Va18=
a1a633,a3a432,anan1
4.等比
数列脚的
Llog3a10（
B.10
各项为正数，且
）
C.8D.2+log35
0,n1,2,L
（）
C.
asa6848718,则log3a1log3a
A.12
5.（2009广东卷理）已知等比数列的满足a
且a5a2n52"（n3），则当n1时，
A.
a5a2n52（n3）
D.
2.前n项和公式
g（q1）
Snqn）a1a.q
1
例：
项和Sn
n2
log23]log2a3Llog2a2n
n（2n
（q
1）
B.
（n1）2
（n1）2
1）
q1q
1.已知等比数列
｛an｝的首相a1
5，公比q
则其前n
2.已知等比数列趋近与无穷大时，其前
和Sn
3.设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已a2求an和Sn
4.（2006年北京卷）设f（n）22427210L等于（）
A・|（8n1）B・|（8n11）C.|（8n
｛an｝的首相a1
n项
5，公比q
2，当项数n
6,6a1a330，
23n10（nN）,则
f（n）
1）
D・2（8n41）
7
5.（1996全国文，21）设等比数列｛an｝的前n项和为S，若S+2S9，求数列的公比q；
6•设等比数列｛an｝的公比为q,前n项和为S,若S+i,S-
S+2成等差数列，则
的值为
3.若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*,那么Sk,S2kSk,S3kS2k成等比数列.
如下图所示：
S3k
a1a2a3akak1a2ka2k1a3k
SkS2kSkS3kS2k
例：
1.（2009辽宁卷理）设等比数列｛an｝的前n项和为
S6Q
Sn，若S3=3,贝VS=
78
A.2B.3C.3D.3
2.一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60,则前3n项的和为（）
A.83B.108C.75D・63
3.已知数列an是等比数列，且Sm10,S2m30,则Ssm
4.等比数列的判定法
（1）定义法：
也q（常数）an为等比数列;an7
（2）中项法：
an「anan2（an0）an为等比数列；
（3）通项公式法：
ankqn（k,q为常数）an为等比数列；
（4）前n项和法：
Snk（1qn）（k,q为常数）an为等比数列。
Snkkqn（k,q为常数）an为等比数列。
例：
1.已知数列｛an｝的通项为an2"，则数列｛an｝为（）
A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断
2.已知数列｛an｝满足an/anan2（an0），则数列｛an｝为（）
A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断
3.已知一个数列｛an｝的前n项和Sn22n1，则数列｛an｝为（）
A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断
5.利用anS1S（n；求通项.
SnSn1（n2）
例：
1.（2005北京卷）数列｛an｝的前n项和为S,且a1=1,an13s>,n=1,2,3,，求a?
a3,a4的值及数
3
列｛an｝的通项公式.
2.（2005山东卷）已知数列an的首项ai5,前n项和为Sn，且Sn1Snn5（nN*），证明数列an1是等比数列．
四、求数列通项公式方法
（1）．公式法（定义法）
根据等差数列、等比数列的定义求通项
例：
1已知等差数列｛an｝满足：
a37,a5a726,求务；
2.已知数列｛an｝满足ai2,anani1（n1）,求数列｛a.｝的通项公式；
3.数列an满足ai=8,a42，且a.22a.ia.0（nN），求数列an的通项公式；
4.已知数列｛an｝满足ai2,丄丄2,求数列务的通项公
an1an
式；
5.设数列｛an｝满足ai0且1-1，求｛an｝的通项公式
1an11an
7.等比数列｛an｝的各项均为正数，且2a13a21，as'9a2a6，
让学习成为一种习惯！
求数列{an}的通项公式
8.已知数列{an}满足a12,an3an1（n1），求数列{an}的通项公式；
9.已知数列{an}满足ai2,a24且an2anan（nN）,求数
列an的通项公式；
10.已知数列{an}满足ai2,且am5n12（a.5n）（nN）,求数列an的通项公式；
让学习成为一种习惯！
11.已知数列｛an｝满足ai2,且ani52n123®52n2）
12.数列已知数列
（nN）,求数列an的通项公式；
an满足a12,an4务11（n1）.则数列an的
通项公式=
（2）累加法
1、累加法适用于：
an1anf（n）
a2aif
（1）
右anianf（n）（n2），贝：
⑵
an1anf（n）
1，求数列｛an｝的通项
a13，求数列｛an｝的通项
项公式。
2.已知数列｛an｝满足an1an2n1，公式。
3.已知数列｛an｝满足an1an23n1,公式。
4.设数列｛an｝满足ai2,anian322n1,求数列｛%｝的通项公式
（3）累乘法
适用于：
anif（n）an
若乳f（n），贝V生f
（1）,空f
（2）,LL,也f（n）
anaia2an
两边分别相乘得，乩ai°f（k）
3]ki
例：
1.已知数列｛an｝满足an12（n1）5na”，a3，求数列｛a”｝的通项
公式。
3■已知ai3,ani^^an（n1）,
（4）待定系数法适用于an1qanf（n）解题基本步骤：
1、确定f（n）
2、设等比数列anif（n），公比为
求an。
f（n）]
3、列出关系式aniif（n1）2[an2
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4、比较系数求
5、解得数列an1f（n）的通项公式
6、解得数列an的通项公式
例：
1.已知数列｛an｝中，a,1,an2a”11（n2）,求数列a”的通项公式。
2.（2006,重庆，文,14）在数列an中，若a11,a”12a”3（n1）,
则该数列的通项an
3.（2006.福建.理22.本小题满分14分）已知数列an满足a11,a”12a”1（nN*）.求数列a”的通项公式；
4.已知数列｛an｝满足an12an35n，务6，求数列务的通项公式。
解：
设an1x5n12（anx5n）
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7.已知数列｛an｝满足ani2an3n24n5,ai1，求数列®｝的通项公式。
解：
设an1x（n1
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