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篮球比赛问题的数学建模竞赛论文
篮球比赛问题
摘要：
本题第一问给出了篮球比赛过程的临场技术统计结果，让我们分析各个技术指标与运动队最终成绩之间的关联关系。
题中涉及到了12个学院的代表队，通过分析，我们选取其中的一个队为例子，对其进行分析，然后把分析求解方法推广到其他代表队，最终求出关联关系。
我们是用灰色系统理论提出的关联度分析方法来进行系统分析的。
根据关联度的定义，可以知道关联度越大两者之间的相关程度也就越大，所以在第二问中我们就可以按照关联度的大小对这些技术指标进行排序。
信电
失误
0.79247
抢断
0.65408
2分球%
0.91297
2分球进
0.77988
篮板（合）
0.64215
3分球投
0.899
盖帽
0.76302
罚球进
0.63354
罚球%
0.85074
犯规
0.73272
罚球投
0.61249
助攻
0.8056
3分球%
0.71606
篮板（攻）
0.58809
2分球投
0.80297
篮板（防）
0.68779
3分球进
0.568
（以信电为例给出前两问的结果）
在第三问中，我们认为关键比赛场次是指在以积分高低进行排名的前提下，最影响名次的比赛场次。
由此我们分析出了最终比赛积分相同的几支队伍之间的关键场次。
在第四问中，我们定义了积分率和胜率的概念，用来衡量各个队伍的实力，这样我们就可以通过总积分率和胜率来给12支球队进行排序。
胜率从高到低依次是：
学院
数学
机电
信电
管理
化学
物理
胜率（%）
54.02
53.74
53.06
52.16
51.92
51.38
学院
测绘
资源
计算机
能源
生物
地质
胜率（%）
49.74
49.24
49.02
48.28
44.42
43.02
在第五问中，我们根据已求出的关联度和题目中的统计数据给出了一些参考建议。
在模型的进一步讨论中，我们又提出负相关性和权重胜率来优化模型。
一、问题假设及名词定义
1．问题假设：
1、在所给出的所有比赛中双方都是全力以赴的，不存在放水或者刻意保存实力的现象，也就是每一场比赛的结果都反映了两者之间的真实的实力对比。
2、对于每一个队，只考虑本队各指标的总体情况，而不考虑每个队员的强弱情况。
3、每一个篮球队为一个系统。
2．名词定义：
1、积分率：
该队每场比赛的得分除以比赛双方得分之和。
2、总积分率：
五场比赛积分率之和。
3、胜率：
积分率的平均值。
4、权重胜率：
考虑A、B两组实力不同情况下，各队的胜率。
3．符号与变量说明：
1、
运动队的各项技术指标（系统的多个因素）；
2、
各个运动队的五场比赛的比赛成绩，我们将这作为比较基准；
3、
该篮球队第k场比赛的第i个技术统计数据；
4、
技术统计与比较基准之间的关联系数，这一指标反映了比较数列与基准数列之间在某一时刻的关联程度。
其中，
5、
关联度，是技术指标与比较基准之间的关联程度，这是衡量比较数列与基准数列之间的关联程度的惟一指标。
二、问题重述与分析
1．问题重述：
（略）
2．问题分析：
本题第一问要求我们通过篮球比赛过程的临场技术统计数据来分析各个技术指标与运动队最终成绩之间的关联关系。
本题目涉及12个学院的代表队，分为两个组进行比赛，每组六个队，在每组比赛中每个队都要和同组的其它队进行一场比赛，也就是对于每一个队来说，都会参加五场比赛，从而就会产生同类型的五组数据，我们就可以选取其中的一个队作为例子，对其所有的数据进行分析求解，然后把分析求解方法推广到每一支代表队，最终得出问题的结果。
这对我们进行数据分析提供了方便。
我们对数据进行分析时发现，对于任意两支篮球队之间的比赛，都在附件中给出了比赛中每个队员的具体表现情况，其中包括：
上场时间，2分球、3分球、罚球命中和投篮次数以及命中率，进攻篮板和防守篮板以及总的篮板球次数，助攻，犯规，失误，抢断，盖帽和得分的情况，我们称这些统计数据为各个球队的技术指标。
对于如此大的数据量，就需要我们从中找出最有价值的数据，从而使问题简化。
我们发现题目中要求的是每一支代表队的技术指标与该队的成绩之间的关联关系，也就是说应该把每个队看成一个有机的整体，而不需要考虑队员的情况，简化了问题。
但是题目给出的信息是非常不充分的。
看起来各个数据之间以及各个统计数据和最终成绩之间毫无关系。
由于数理统计方法需要大量的数据并且要求样本有较好的分布规律，而且作为最常用的回归分析法无法分析因素间动态的关联程度，所以数理统计的方法不适用于本题。
而模糊数学的研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点，但是这也无法解决不确定系统的问题，也无法解决这样的不确定系统问题。
所以我们考虑采用灰色系统理论来解决这个问题。
在本题中我们用灰色系统理论提出的关联度分析方法来进行系统分析。
关联度分析实际上是对系统动态发展趋势进行几何关系的比较，主要是斜率的比较。
具体地说，我们认为每一支球队进行的所有比赛就是其本身的一个动态发展过程，而且我们可以证明所题目中要求的关联度与这些比赛的先后顺序无关。
灰色系统理论的研究对象是一个时间序列，而本题的五场比赛之间可以认为没有任何关联，所以它们之间的顺序可以是任意的。
我们给出了一种方法来求出关联度：
其中，关联系数为，
，关联度为，
根据关联度的定义，可以知道关联度越大两者之间的相关程度也就越大，所以我们就可以按照关联度的大小对这些技术指标进行排序。
在第三问中我们认为所谓的关键比赛场次就是指在以积分高低排序的前提下最影响排名的比赛。
在第四问中我们定义了积分率和胜率的概念来衡量各个队伍的实力，这样我们就可以通过总积分率和胜率来给12支球队进行实力排序。
三、模型的建立与求解
1．第一问的求解：
由上述问题分析，我们可以首先以信电学院为对象进行分析：
信电学院是第二组中的一个代表队。
共参加了五场比赛，每场比赛中都给出了一组临场技术统计数据，我们将这些数据放在了一起，以便找出其中的关系。
我们将这五场比赛分别给出场次（场次顺序可换）。
对于每场比赛记录下的临场技术统计数据，我们考虑将每一个指标下的所有队员的情况进行累加求和，把所得结果看成该代表队在该指标下的技术参数。
这样，就得到了五组数据如下表所示：
场次
1
2
3
4
5
得分
78
98
98
94
100
2分球进
14
14
20
15
27
2分球投
30
25
31
27
40
2分球%
46.67
56
64.52
55.56
67.5
3分球进
6
16
13
13
10
3分球投
20
27
24
27
28
3分球%
30
59.26
54.17
48.15
35.71
罚球进
32
22
19
25
16
罚球投
50
35
26
31
24
罚球%
64
62.86
73.08
80.65
66.67
篮板（攻）
18
8
10
9
9
篮板（防）
29
28
18
23
22
篮板（合）
47
36
28
32
31
助攻
12
16
17
7
13
犯规
20
34
32
27
14
失误
16
19
15
21
9
抢断
5
12
9
4
8
盖帽
3
5
4
2
3
表1.信电学院统计表
对于上面这个表格，我们的任务就变成了找出各个指标与比赛成绩之间的关联关系。
但是看起来题目给出的各个数据之间以及统计数据和最终成绩之间没有明显的关系。
为了找出它们之间的关联关系，我们先对这些数据进行画图，看是否能找出一点规律性的东西：
从图1可以看出，如果曲线几何形状越接近，变化斜率越相近，则关联程度就越大。
由于得分与2分球%的曲线最接近，因此我们可以说，2分球%，（即2分球的命中率）与得分之间关联关系越大。
但是这样做只能“看”出一些相近的曲线，得到几个与得分之间相关性比较大的指标，而不能得出所有的指标与比赛成绩之间的相关关系，也不能得到量化的相关关系，从而不能从根本上解决本题。
基于这种情况，我们考虑用灰色系统的方法来分析研究以上数据。
以得到每一个指标与比赛成绩之间的量化的关联关系。
首先我们对关联系数作一定义，然后给出衡量各指标与比赛成绩之间关联程度大小的惟一指标——关联度。
图1.信电学院分析
记
为运动队的五场比赛的比赛成绩，我们将此作为比较基准，
可以表示为数列（称为基准数列）：
其中
表示场次，
为
在第
场得到的技术统计值。
记
为运动队的各项技术指标（灰色系统的多个因素），我们需要将其与比赛成绩进行比较，首先要将它们构造为比较数列：
那么，比较数列
对基准数列
在
处的关联系数定义为：
其中
称为分辨系数，
和
分别称为两级最小差和两级最大差。
一般来说分辨系数
取0.5。
关联系数这一指标描述了比较数列与基准数列在某一场次的关联程度，但是每一场都有一个关联系数就示得过于分散，难以全面比较。
因此，定义比较数列
对基准数列
的关联度为：
，作为衡量系统指标间的关联程度大小的惟一指标。
从关联度的表达式可以看出，它把各个场次的关联系数整合成一个平均值，实现了把分散的信息集中起来，从而从整体上进行处理。
现在我们再看表1，由于表中数据的量纲不同，而在计算过程中又要求量纲保持一致，所以我们要将这些数据进行初始化处理，主要是将所有的数据无量纲化，同时还应使得所有的数列有一个公共的交点以方便比较。
我们采用了以下方法进行转化：
设原始数列为：
则可以构造它的初始化数列为：
那么这个初始化数列显然满足无量纲化的要求，而且如果所有的原始数列都构造成这样的初始化数列，则必然有公共交点1。
这样我们就得到了初始化数列所形成的表，如下表2所示：
场次
1
2
3
4
5
得分
1
1.25641
1.25641
1.205128
1.282051
2分球（进）
1
1
1.428571
1.071429
1.928571
2分球（投）
1
0.833333
1.033333
0.9
1.333333
2分球%
1
1.199914
1.382473
1.190486
1.446325
3分球（进）
1
2.666667
2.166667
2.166667
1.666667
3分球（投）
1
1.35
1.2
1.35
1.4
3分球%
1
1.975333
1.805667
1.605
1.190333
罚球（进）
1
0.6875
0.59375
0.78125
0.5
罚球（投）
1
0.7
0.52
0.62
0.48
罚球%
1
0.982188
1.141875
1.260156
1.041719
篮板（攻）
1
0.444444
0.555556
0.5
0.5
篮板（防）
1
0.965517
0.62069
0.793104
0.758621
篮板（合）
1
0.765958
0.595745
0.680851
0.659574
助攻
1
1.333333
1.416667
0.583333
1.083333
犯规
1
1.7
1.6
1.35
0.7
失误
1
1.1875
0.9375
1.3125
0.5625
抢断
1
2.4
1.8
0.8
1.6
盖帽
1
1.666667
1.333333
0.666667
1
表2.信电学院初始化数列
要计算关联度，我们还要求出
以及两级最小差和两级最大差。
我们先将
求出如下表3所示：
1
2
3
4
5
1
0
0.25641
0.172161
0.133699
0.64652
2
0
0.423077
0.223077
0.305128
0.0513
3
0
0.0565
0.126063
0.014642
0.164274
4
0
1.410257
0.910257
0.961539
0.384616
5
0
0.0936
0.0564
0.144872
0.117949
6
0
0.718923
0.549257
0.399872
0.0917
7
0
0.56891
0.66266
0.423878
0.782051
8
0
0.55641
0.73641
0.585128
0.802051
9
0
0.274223
0.114535
0.0550
0.240332
10
0
0.811966
0.700854
0.705128
0.782051
11
0
0.290893
0.63572
0.412024
0.52343
12
0
0.490453
0.660665
0.524277
0.622477
13
0
0.0769
0.160257
0.621795
0.198718
14
0
0.44359
0.34359
0.144872
0.582051
15
0
0.06891
0.31891
0.107372
0.719551
16
0
1.14359
0.54359
0.405128
0.317949
17
0
0.410257
0.0769
0.538461
0.282051
表3.求
表
可得：
所以有
再由
可得信电学院的各技术指标与比赛成绩的关联度分别为：
0.77988
0.80297
0.91297
0.568
0.899
0.71606
0.63354
0.61249
0.85074
0.58809
0.68779
0.64215
0.8056
0.73272
0.79247
0.65408
0.76302
至此我们对信电学院求出了需要的结果。
显然上述计算过程过于麻烦，并且我们要计算出12个学院的各技术指标与比赛成绩之间的关联度，计算量过大。
因此我们考虑用计算机来进行求解。
我们对这一计算过程编写的程序在附程序代码1中。
由于在计算中都求出了初始化数列，因此两级最小差一定为0即：
，因此，关联系数公式可化简为：
关联度公式仍为：
上述两个公式是程序中运用的最主要的公式。
通过这个程序，先对信电学院的结果进行了一下验证，与上述计算出的结果一模一样，由此可以说明程序的可使用性。
然后我们用此程序对其它十一个学院都进行了统计和求解，得出了每一个代表队的各项技术指标与比赛成绩之间的关联度，见附表1。
现在我们回过头来对信电学院的各技术指标与比赛成绩的关联度进行更深的讨论。
从计算出的关联度我们可以发现，和最终比赛成绩关联关系最大的是2分球的命中率，其关联度为0.91297，其次是3分球的投掷次数，关联度为0.899，第三位的是罚球命中率，关联度为0.85074。
然后依次为：
助攻，2分球投，失误等等。
为了证明我们求出的关联度的排序是与图形的相似性是相符合的，我们将这几个主要因素和最终成绩之间的关联度绘制成折线图，如图2所示。
从中我们可以看到各指标与比赛成绩之间的一致性是很强的。
但是原始数据中由于有的数大，有的数小，并且两都相差比较大，所以不能很好的看出它们之间的一致性，因此我们又用对应的初始化数列进行了同样的画图，如图3所示。
另外，在图中我们可以看到，对于罚球%（即罚球命中率）与比赛成绩之间呈负相关的关系，即当比赛成绩曲线上升时，罚球%曲线下降，当比赛成绩曲线下降时，罚球%曲线上升。
这是违反常识的，我们认为这是由于题目中给出的数据的偶然因素造成的，也就是说，如果给出的数据量足够大，那么这两者之间是应该呈正相关的。
对于负相关，我们在模型的进一步讨论中有更具体的分析。
图2.信电关联度分析
图3.信电初始化数列关联度分析
2．第二问的求解：
第二问让我们按照各个技术指标对代表队成绩贡献的大小，对这些技术指标进行排序。
这也就是让我们将各个技术指标与比赛成绩间的关联度的大小进行排序。
因此，我们只需对第一问的结果进行一下排序就可以了。
我们用Excel对每个代表队中的各个指标的关联度进行计算得出了结果。
但由于篇幅的限制，我们在此只给出其中A组的数学学院、物理学院和化学学院三个学院的关联度排序，如表4所示。
其他的学院就不在正文中一一列出了，其它学院的结果见附表2。
数学
物理
化学
罚球%
0.96653
2分球%
0.96673
2分球进
0.96653
助攻
0.96352
罚球%
0.90384
3分球%
0.96352
2分球投
0.95464
失误
0.90375
2分球投
0.95464
2分球%
0.9545
犯规
0.9024
2分球%
0.9545
篮板（防）
0.95417
篮板（防）
0.89805
篮板（合）
0.95417
犯规
0.93968
2分球进
0.88841
犯规
0.93968
2分球进
0.93757
2分球投
0.88278
抢断
0.93757
篮板（合）
0.92073
罚球进
0.88137
罚球%
0.92073
3分球投
0.91387
篮板（合）
0.86736
失误
0.91387
罚球投
0.87548
罚球投
0.86553
3分球进
0.87548
篮板（攻）
0.86477
3分球进
0.85971
篮板（防）
0.86477
失误
0.86441
盖帽
0.85503
罚球进
0.86441
罚球进
0.85066
3分球投
0.84046
3分球投
0.85066
3分球%
0.84742
3分球%
0.81852
篮板（攻）
0.84742
抢断
0.84088
助攻
0.77586
罚球投
0.84088
3分球进
0.81666
抢断
0.71086
盖帽
0.81666
盖帽
0.6579
篮板（攻）
0.5783
助攻
0.6579
表4.数学、物理、化学三学院各指标排序
3．第三问的求解：
在本题中，我们首先要确定何为关键比赛场次，我们认为所谓的关键比赛场次就是最终决定该队的排名的比赛场次。
首先，我们用胜负的积分来对各代表队进行排名，也就是胜一场得2分，输一场得1分，那么我们可以得到A组的六个学院的积分分别为：
学院
数学
物理
化学
生物
计算机
资源
积分
10
8
8
7
6
6
B组的六个学院的积分分别为：
学院
机电
信电
测绘
管理
能源
地质
积分
8
10
8
8
6
5
可以看到，A组的物理学院和化学学院、计算机学院和资源学院都出现了积分相同的情况，B组中的机电学院、测绘学院和管理学院的积分也是相同的，因此，用积分的方法来进行排名并不完善。
于是我们找到另外一种方法来进行排名，也就是用总积分率来排名。
具体方法如下：
先求出该代表队在每一场比赛中的积分率，然后将五场比赛的积分率累加得到总积分率（胜率是五个积分率的平均值）。
再以各队的总积分率进行排名，如果两队或两队以上的总积分率相等,则以各队之间比赛的积分率来确定名次,如仍相同,则以各队比赛的总得分除以所有比赛双方得分之和来确定。
这样我们就可以计算出A组各个队伍的总积分率和胜率如表5所示；计算出的B组各个队伍的总积分率和胜率如表6所示。
A组
数学
物理
化学
生物
计算机
资源
总积分率
胜率
数学
87-76
73-63
83-58
88-84
76-68
2.701
0.5402
0.534
0.538
0.589
0.512
0.528
物理
76-87
75-76
82-57
98-94
83-82
0.466
0.497
0.59
0.511
0.505
2.569
0.5138
化学
63-73
76-75
89-52
71-69
72-74
0.462
0.503
0.631
0.507
0.493
2.596
0.5192
生物
58-83
57-82
52-89
69-62
67-66
0.411
0.41
0.369
0.527
0.504
2.221
0.4442
计算机
84-88
94-98
69-71
62-69
90-87
0.488
0.489
0.473
0.493
0.508
2.451
0.4902
资源
68-76
82-83
74-72
66-67
87-90
0.472
0.495
0.507
0.496
0.492
2.462
0.4924
表5.A队总积分率与胜率
B组
机电
信电
测绘
管理
能源
地质
总积分率
胜率
机电
76-78
78-58
71-77
76-54
88-56
0.437
0.574
0.48
0.585
0.611
2.687
0.5374
信电
98-76
98-90
94-90
100-85
78-73
0.563
0.521
0.511
0.541
0.517
2.653
0.5306
测绘
58-78
90-98
92-73
87-82
83-80
0.426
0.479
0.558
0.515
0.509
2.487
0.4974
管理
77-71
90-94
73-92
89-79
89-53
0.52
0.489
0.442
0.53
0.627
2.608
0.5216
能源
54-76
85-100
82-87
79-89
83-59
0.415
0.459
0.485
0.47
0.585
2.414
0.4828
地质
56-88
73-78
80-83
53-89
59-83
0.389
0.483
0.491
0.373
0.415
2.151
0.4302
表6.B队总积分率与胜率
从上表中我们可以发现，以上各个积分相同的队伍的总积分率和胜率是不同的，所以我们可以通过总积分率和胜率来很好的对这些队伍进行排名。
然后再通过比较这两者之间的不同，来找出这几个积分相同的队伍之间的关键场次。
我们是这样进行分析的，对A组就物理和化学学院的排名来
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