高三数学导数的概念与运算教案17.docx
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高三数学导数的概念与运算教案17
高三数学导数的概念与运算教案17
113导数概念与运算
一、明确复习目标
1了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);
2掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念;
3熟记基本导数公式;
4掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;
了解复合函数的求导法则会求某些简单函数的导数
二.建构知识网络
1.导数的概念:
设函数=f(x)在x=x0处附近有定义,如果Δx→0时,Δ与Δx的比(也叫函数的平均变化率)有极限即无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数=f(x)在Δx→0处的导数,记作
;
2.导数的几何意义:
函数=f(x)在x0处的导数的几何意义,就是曲线=f(x)在点(x0,0)处的切线的斜率,即斜率为f′(x0)
过点P的切线方程为:
-0=f′(x0)(x-x0)
3导函数、可导:
如果函数=f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数,即对于每一个x∈(a,b),都对应着一个确定的导数f′(x0),从而构成了一个新的函数f′(x0),称这个函数f′(x0)为函数=f(x)在开区间内的导函数,简称导数。
此时称函数=f(x)在开区间(a,b)内可导
4.可导与连续的关系:
如果函数=f(x)在点x0处可导函数=f(x)在点x0处连续
依定义求导数的方法:
(1)求函数的改变量
(2)求平均变化率
(3)取极限,得导数=
6.几种常见函数的导数:
(为常数);();;;;;;。
7.导数的四则运算法则:
;;
;
8.复合函数的导数:
设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x),函数=f(u)在点x的对应点u处有导数′u=f′(u),则复合函数=f((x))在点x处也有导数,且或=f′(u)′(x)
9求导数的方法:
(1)求导公式;
(2)导数的四则运算法则;
(3)复合函数的求导公式;(4)导数定义
三、双基题目练练手
1在曲线=x2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δ),则为()
AΔx++2BΔx--2Δx+2D2+Δx-
2设f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值等于()
ABD
3.(200湖南)设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则f200(x)=()
A.sinx B.-sinx .sx D.-sx
4(2006湖南)设函数,集合,若,则实数的取值范围是()
A.B..D.
(2006全国Ⅰ)设函数若是奇函数,则__________
6.设函数若该函数在实数集R上可导,则该函数的最小值是____.
7(200北京)过原点作曲线的切线,则切点的坐标为,切线的斜率为
8.对正整数n,设曲线在x=2处的切线与轴交点的纵坐标为,则数列的前n项和的公式是
简答:
1-4D;π6;
6答案:
-14依题意作图易得函数的最小值是f(12)=-14
7(1,e)e;82n+1-2
四、经典例题做一做
【例1】求下列函数的导数:
(1)=
(2)=ln(x+);
(3)=;
解:
(1)′=
=
=
(2)′=•(x+)′
=(1+)=
(3)′==
◆提炼方法:
题
(1)是导数的四则运算法则;題
(2)(3)是复合函数的求导方法都是导数问题的基础
【例2】
(1)求曲线在点(1,1)处的切线方程;
(2)运动曲线方程为,求t=3时的速度
分析:
根据导数的几何意义及导数的物理意义可知,函数=f(x)在处的导数就是曲线=f(x)在点处的切线的斜率瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数
解:
(1),
,即曲线在点(1,1)处的切线斜率=0
因此曲线在(1,1)处的切线方程为=1
(2)
解题点评:
切线是导数的“几何形象”,是函数单调性的“几何”解释,要熟练掌握求切线方程的方法
【例3】若f(x)在R上可导,
(1)求f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数的关系;
(2)证明:
若f(x)为偶函数,则f′(x)为奇函数
分析:
(1)需求f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数;
(2)求f′(x),然后判断其奇偶性
(1)解:
设f(-x)=g(x),则
g′(a)=
=
=-=-f′(-a)
∴f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数互为相反数
(2)证明:
f′(-x)=
=
=-=-f′(x)
∴f′(x)为奇函数
解题点注:
用导数的定义求导数时,要注意Δ中自变量的变化量应与Δx一致
【例4】(2006浙江)已知函数=x3+x2,数列{xn}(xn>0)的第一项x1=1,以后各项按如下方式取定:
曲线=在处的切线与经过(0,0)和(xn,f(xn))两点的直线平行(如图)。
求证:
当n时:
(I);(II)
证明:
(I)∵
∴曲线在处的切线斜率
∵过和两点的直线斜率是
∴
(II)∵函数当时单调递增,
而
,
∴,即
因此
又∵
令则
∵∴
因此故
考查知识:
函数的导数、数列、不等式等基础知识,以及不等式的证明,同时考查逻辑推理能力。
五.提炼总结以为师
1.了解导数的概念,初步会用定义式解决一些问题;
2.会用定义式求导数;
3.了解导数的几何意义;会求切线方程;
4.掌握常见函数的导数公式,并会正确运用;
.掌握导数的四则运算法则及复合函数的求导法则。
同步练习113导数概念与运算
【选择题】
1设函数f(x)在x=x0处可导,则()
A与x0,h都有关B仅与x0有关而与h无关
仅与h有关而与x0无关D与x0、h均无关
2已知函数f(x)在x=1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为()
Af(x)=(x-1)2+3(x-1)Bf(x)=2(x-1)
f(x)=2(x-1)2Df(x)=x-1
3.(200湖北)在函数的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数是()
A.3B.2.1D.0
4(2006安徽)若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为()
A.B..D.
【填空题】
一点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的距离为,那么速度为零的时刻是________
6.过点(0,-4)与曲线=x3+x-2相切的直线方程是.
7设f(x)在x=1处连续,且f
(1)=0,=2,则f′
(1)=_______
8曲线=2-x2与=x3-2在交点处的切线夹角是__________(以弧度数作答)
简答提示:
1-4BADA;1,2,4秒末;
6.=4x-4;7∵f
(1)=0,=2,
∴f′
(1)====2
8由消得:
(x-2)(x2+4x+8)=0,∴x=2
∵′=(2-x2)′=-x,∴′|x=2=-2
又′=(-2)′=x2,∴当x=2时,′=3
∴两曲线在交点处的切线斜率分别为-2、3,
||=1∴夹角为
【解答题】
9.下列函数的导数
①
②
③f(x)=e-x(sx+sinx)
分析:
利用导数的四则运算求导数
①法一:
∴
法二:
=+
②
∴
③f/(x)=-e-x(sx+sinx)+e-x(-sinx+sx)
=-2e-xsinx,
10.如果曲线的某一切线与直线平行,求切点坐标与切线方程.
解:
切线与直线平行,斜率为4
又切线在点的斜率为∵∴
或
∴切点为(1,-8)或(-1,-12)
切线方程为或
即或
11.(200福建)已知函数
的图象过点P(0,2),且在点(-1,f(-1))处的切线方程为.
(Ⅰ)求函数=f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数=f(x)的单调区间.
解:
(Ⅰ)由f(x)的图象经过P(0,2),知d=2,
所以由在(-1,f(-1))处的切线方程是,知
故所求的解析式是
(Ⅱ)解得
当
当
故内是增函数,在内是减函数,在内是增函数.
考查知识:
函数的单调性、导数的应用等知识,考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.
12证明:
过抛物线=a(x-x1)•(x-x2)(a≠0,x1<x2)上两点A(x1,0)、B(x2,0)的切线,与x轴所成的锐角相等
解:
′=2ax-a(x1+x2),
′|=a(x1-x2),即A=a(x1-x2),′|=a(x2-x1),即B=a(x2-x1)
设两条切线与x轴所成的锐角为、β,则tan=|A|=|a(x1-x2)|,
tanβ=|B|=|a(x2-x1)|,故tan=tanβ
又、β是锐角,则=β