第十八章列方程.docx

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第十八章列方程

第十八章

列方程解应用题

知识要点及基本方法

1、列方程解应用题的认识

>列方程解应用题就是用方程式去解答应用题，从而求出应用题所求的未知数。

>列方程解应用题与用算术方法解应用题是密切联系的。

它们都是以常见的数量关系和四则运算为基础，都需要从题目中提取出数量关系，并且根据四则运算的意义列式解题。

>但是，列方程解应用题和用算术方法解应用题是有明显区别的。

>首先，在未知数方面，列方程解应用题由于一定要设未知数X，所以，一开始就把未知数与已知数处于平等地位，使它参与运算，并且根据题目中数量间的等量关系，通过解方程求出未知数。

而用算术法解应用题，是在分析已知数量关系的基础上，根据已知条件的相互关系，用已知数逐步计算，最后得出未知数，未知数始终不参与运算。

>在列式方面，列方程解应用题和用算术法解应用题也有所区别。

列方程解应用题是抓住等量关系列方程解题，也就是说，设定未知数X后，就把它当作已知量看待，与题目中原由的已知量放在一起，然后根据数量关系列出方程求解。

而用算术发解应用题，是抓住数量关系列式作答。

>在解法方面，列方程解应用题是按照四则互逆关系解方程，从而求出未知数X的数值。

而用算术发解应用题则是按照运算顺序，用已知数逐步计算，最后求出结果。

>列方程解应用体，一般有如下几个步骤：

>

（1）审题：

通过审题，理解题目的意思，弄清楚题目的已知条件和所求问题。

>

（2）设未知数X：

设未知数X一般有两种方法，一种是直接设未知数法，就是把所求的问题设为X，也就是题目要求什么数，就设什么数为X；另一种是间接设未知数法。

有些应用题，用直接设未知数法有困难，为解题方便起见，可以用间接设未知数法，即设一个与所求未知数有一定关系的未知数为X，在求出X值后，再通过其他运算求出问题的答案。

>（3）确定等量:

关系这是列方程解应用题的关键。

它是分析题目中的数量关系的基础上，找出她们的等量关系。

>（4）列方程，解方程；就是根据题目中的等量关系。

列出方程并求出方程的解。

（5）验算，写出答案。

二、例题精讲

>例1一本书共有360页，小明头5天每天看40页，剩下的书计划3天看完，剩下的书小明平均每天要看多少页？

>解题思路依题意，本题应抓住“头5天看的页数和剩下计划3天看完的页数的和就是这本书总页数”这个等量关系，列出方程，可以采用直接舍未知数法。

舍剩下的平均每天要看X页，则3天就看3X页，加上钭天每天看40页，就是这本书共有的350页，从而可以列出方程。

>解：

设剩下的书小明平均每天要看X页。

>依题意得：

40×5+3X=350

>200+3X=350

>3X=150

>X=50

>检验：

把X=50代入原方程

>左边40×5+3×50=350，与右边350相等，所以，X=50是远方程的解。

>答：

剩下的书小明每天平均要看50页。

>例2水果店云回来一批水果，香蕉是杨桃的3倍，西瓜是香蕉的4倍，西瓜有1020千克，三种水果共有多少千克？

>解题思路题目问“三种水果共有多少千克”。

依题意，用直接设未知数法列方程有困难。

本应用题卡采取间接设未知数法。

根据题目意思，本题可抓住“杨桃”的3倍是香蕉的重量，香蕉的4倍是西瓜的重量，即1020千克这个等量关系列方程。

设杨桃的重量为X千克，则香蕉的重量就是3X千克，西瓜的重量就是（4×3X）千克，正好是1020千克，据此可列出方程，并求出杨桃的重量，从而求出香蕉的重量，最后求出三种水果的总重量。

>解：

（1）设运回杨桃X千克。

>依题意得：

4×3X=1020

>12X=1020

>X=85

>检验：

把X=85代入原方程。

>左边4×3×85=1020，与右边1020相等，所以，X=85是原方程的解。

>

（2）运回香蕉多少千克？

>85×3=255（千克）

>（3）三种水果共有多少千克？

>85+255+1020=1360（千克）

>答：

三种水果共有1360千克。

>例3小青到文具店买了4个笔记本和2枝钢笔，交给售货员阿姨20元，阿姨找回他6.40元。

已知1个笔记本价钱是1.50元，1枝钢笔的价钱是多少？

>解题思路依题意，小青买个笔记本和2枝钢笔的钱，就是售货员阿姨应收他的亲，抓住这个等量关系，设一枝钢笔的价钱是X元，那么，小青应付的钱是（1.50×4+2X）元，而售货员阿姨应收他的钱是（20-6.40）元。

从而可以列出方程，求出一枝钢笔的价钱是多少元。

>解：

设1枝钢笔的价钱是X元。

>题意得：

1.50×4+2X=20-6.40

>6+2X=13.60

>2X=7.60

>X=3.80

>检验：

把X=3.80代入原方程。

>左边：

1.50×4+2×3.80=13.60；右边；20-6.40=13.60，两边相等，

>所以，X+3.80是原方程的解。

>答：

一枝钢笔的价钱是3.80元。

>例4甲仓库存粮食45.5吨，乙仓库存粮食120.5吨，从两个仓库运走同样数量的粮食，结果，乙仓库存的粮食是甲仓库的3.5倍。

从甲、乙两个仓库运走了多少吨粮食？

>解题思路根据已知条件“结果，乙仓库存的粮食是甲仓库的3.5倍”，也就是说，甲仓库存粮的3.5倍，就是乙仓库的存粮数，抓住这一等量关系，即可列方程。

设运走粮食X吨，则甲仓库存粮的3.5倍，就是〔（45.5-X）×3.5〕吨，正好是乙仓库存粮的（120.5-X）吨，从而可以列出方程。

>解：

设各运走粮食X吨。

>依题意得：

（45.5-X）×3.5=120.5-X

>159.25-3.5X=120.5-X

>2.5X=38.75

>X=15.5

>检验：

把X=15.5代入原方程。

>左边：

（45.5-15.5）×3.5=105；右边：

120.5-15.5=105。

方程的左右两边相等，所以，X=15.5是原方程的解。

>答：

从甲、乙两个仓库各运走了15.5吨粮食。

>例5张师傅和3个徒弟共同加工一批零件，3个徒弟平均每人加工零件53个，加上师傅的零件数，4个人平均加工零件56个。

张师傅加工零件多少个？

>解题思路这是一道求平均数问题应用体。

依题意可以知道，本题说的是张师傅和3个徒弟加工零件的事，因此，总份数应该是4，平均数应该是4个人平均加工的零件数，即56个，总数量是4个人加工零件的总数。

其中徒弟3人加工的零件数可以根据已知条件：

“3个徒弟平金每人加工53个零件”求出，即（53×3）个，而张师傅加工的零件数则为未知数。

设张师傅加工零件X个，根据平均问题应用题的数量关系，即可列出方程。

>解法一：

根据“平均数=总数÷总份数”这一数量关系式列方程。

>解：

设张师傅加工零件X个。

>依题意得：

56=（53×3+X）÷4

>56=（159+X）÷4

>56×4=159+X

>159+X=224

>X=65

>检验：

把X=65代入原方程。

>右边：

（53×3+65）÷4=56，与左边56相等，所以，X=65是原方程的解。

>答：

张师傅加工零件65个。

>解法二根据“总数量=平均数×总份数”这一数量关系式列方程。

>解：

设张师傅加工零件X个。

>依题意得：

53×3+X=56×4

>159+X=224

>X=65

>检验：

（略）

>答：

（略）

>解法三根据“总份数=总数量÷平均数”这个数量关系式列方程。

>解；设张师傅加工零件X个。

>依题意得：

4=（53×3+X）÷56

>4=（159+X）÷56

>4×56=159+X

>X=65

>检验：

（略）

>答：

（略）

>例6A、B两城相距583千米，甲、乙两车同时从A、B两地相向而行。

已知甲车平均每小时行60千米，乙车平均每小时比甲车慢14千米，几小时后，两车相遇？

>解题思路这是一道行程问题应用踢。

依题意可以知道：

A、B两城距离实际就是甲、乙两车所行的总路程。

又根据已知条件：

“乙车每小时比甲车慢14千米”，可以求出乙车每小时行（60-14）千米，从而可以根据行程问题应用题的数量关系列出方程，求出几小时后两车相遇。

>根据“总距离=速度和×相遇时间”这一数量关系式列方程。

>解：

设X小时后两车相遇。

>依题意得：

583=（60+60-14）X

>583=106X

>X=5.5

>检验：

把X=5.5代入愿方程。

>右边：

（60+60-14）×5.5=583，与左边583相等，所以，X=5.5是原方程的解。

>答：

5.5小时后两车相遇。

>解法二：

根据“速度和=总距离÷相遇时间”这一数量关系式列方程。

>解：

设X小时后两车相遇。

>依题意得：

60+60-14=583÷X

>106=583÷X

>X=5.5

>检验：

（略）

>答：

（略）

>例7甲船在静水航行的速度是每小时22千米，乙船在静水航行的速度是每小时18千米。

乙船从A港出发，顺水航行2小时后，甲船从A港出发。

已知水流的速度是每小时4千米，甲船开出后几小时追上乙船？

>解题思路解法一：

依题意可以招待所：

甲船在静水的速度是每小时22千米，水流速度是每小时4千米，则甲船顺水航行的速度为每小时（22+4）千米；同样道理可以知道，乙船顺水航行的速度是（18+4）千米。

已知乙船比甲船早出发2小时，也就是乙船比甲船多行〔（18+4）×2〕千米，也就是甲船要追乙船的行程。

根据“路程=速度差×时间”这一数量关系，即可列出方程，求出甲船开出几小时后追上乙船。

>解：

设甲船开出X小时后追上乙穿。

>依题意得：

（18+4）×2=〔（22+4）-（18+4）〕X

>22×2=（26-22）X

>44=4X

>X=11

>检验：

把X=11代入原方程。

>左边：

（18+4）×2=44；右边：

〔（22+4）-（18+4）〕×11=44，方程的左右两边相等，所以X=11是原方程的解。

>解法二依题意，当甲船追上乙船时，甲、乙两船所行的路程是相等的。

设甲船开出X小时后追上乙船，则甲船所行的路程是〔（22+4）X〕千米，乙船所行的路程是〔（18+4）×（X+2）〕千米。

根据这一等量关系，即可布列方程。

>解：

设甲船开出X小时后追上乙船。

>依题意得：

（22+4）X=（18+4）×（X+2）

>26X=22×（X+2）

>26X=22X+44

>X=11

>检验：

（略）

>答：

（略）

>例8小华今年8岁，爸爸今年38岁，几年后，爸爸的年龄就是小华的3.5倍？

>解题思路这是一道年龄问题应用题。

这道题可以抓住“爸爸的年龄是小华的3.5倍”这一等量关系布列方程。

设X年后，爸爸的年龄就是小华的3.5倍，依题意可以知道，到那时候，爸爸是（38+X）岁，小华是（8+X）岁，从而可以列出方程。

>解：

设X年后，爸爸的年龄是小华的3.5倍。

>依题意得：

（38+X）÷（8+X）=3.5

>38+X=3.5×（8+X）

>38+X=28+3.5X

>2.5X=10

>X=4

>检验：

把X=4代入原方程。

>左边：

（38+4）÷（8+4）=3.5，与右边3.5相等，所以，X=4是原方程的解。

>答：

4年后，爸爸的年龄是小华的3.5倍。

>练习题

>1、城西商场第一天卖出电冰箱48台，第二天卖出同样规格的电冰箱52台，因此比第一天多收入9600元，每台电冰箱多少元？

>2、一条马路长1200米，若施工队要把埋在地下每根长7.5米的旧水管全部换上每根长12米的新水管，新水管比旧水管少多少根？

>3、甲车间有工人68人，乙车间有工人42人，甲车间往乙车间调多少人，两车间的工人相等？

>4、甲、乙两个仓库存的粮食相等，甲仓运走50吨，乙仓运走38吨，这时，乙仓库的粮食正好是甲仓的2倍，甲、乙两个仓库原来各有粮食多少吨？

>5、水果店上午运来270千克苹果，下午运来的苹果比上午的2倍少40千克，要把这些苹果装在22只筐子里，平均每只筐子装多少千克苹果？

>6、某工程队有工人24人，第一天修路63.5米，第二天修路54.3米，第三天比第二天多修7.9米。

这个工程队平均每人每天修路多少米？

>7、一列慢车从A站出发开往B站。

1.5小时后，一列快车也从A站开往B站，已知慢车的速度是每小时50千米，快车的速度是每小时70千米，快车开出4小时后，慢车和快车相距多少千米？

>8、一批货物，用小载重汽车运要装45辆。

如果用大载重汽车运要装36辆，已知大汽车比小汽车多装4吨，求这批货物的总重量是多少吨？

>9、某工程队有12人，计划15天内修一条长1440米的公路，按照这样的效率，现在要求提前3天完成，需要增加多少人？

 X透视室

护士长香擦皮阿姨带着迷迷到住院处登记。

住院部主任说：

“这个小病人要去做一下X透视。

”X透视室黑呼呼的，只开着一盏小灯。

迷迷有点害怕，想站起来。

“别动，坐好！

马上开始透视。

”透视医生命令说。

一会儿，透视医生拿来一张透视片对迷迷说：

“毛病全在上面。

”透视医生问迷迷：

“你知道18＋X＝30中，X怎么求吗？

”

　　“知道，求加数用减法。

X＝30－18，X＝12。

”迷迷回答。

“那么，X－5＝18中，X怎么求呢？

”

　　“用加法，X＝5＋18，X＝23。

”

　　“18—X＝5，X又怎么求呢？

”

　　“X＝18＋5，X＝23。

”

　　“啊！

”透视医生停了一下说，“你把X＝23代到原式18－X＝5中验算一下，看看对不对？

”

　　迷迷吞吞吐吐地说：

“18－23等于……”“不对了吧！

”透视医生说：

“X是未知数，我们在求出X的值后，一定要把它代进原式中去检验，看计算是不是正确。

”接着，透视医生又对香擦皮护士解释说：

“这上面最严重的毛病正是，求减数用加法。

减数是加法中的一个加数，只能用被减数减去差，才能得到减数。

”

　　香擦皮护士拿起透视片说了声谢谢，就带着迷迷去病房了。

请看下回。