（1）如图1,观察并猜想，在旋转过程中，线段EA与FC有怎样的数就关系并证明你的结论：
（2）
如图2,当a=30°时，试判断四边形BC.DA的形状，并说明理由
18.在菱形ABCD中，对角线4C与3D相交于点0,AB=5,AC=6・过点D作DE//AC交BC的延长线
于点E・
（1）求△BDE的周长：
（2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q・求证：
BP=DQ・
19>如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边0B上的动点（不包括端点），作ZAEF=90.使FF交矩形的外角平分线BF于点F,设C（m,n）.
（1）若m=n时，如图，求证：
EF=AE；
（2）若m初时，如图，试问边0B上是否还存在点E,使得EF=AE若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）
若m=tn（t>l）时，试探究点£在边OB的何处时，使得（t+l）AE成立并求岀点E的坐标・
20、如图，将正方形沿图中虚线（其中Xy）剪成①②③④四块图形，用这四块图形燈能拼成一个矩形（非正方形）.
（1）画出拼成的矩形的简图;
（2）求上的值.
y
21、如图所示，在矩形ABCD中，AB=12,AC=20,两条对角线相交于点0.以OB、0C为邻边作第1个平行四边形OBB&；对角线相交于点人；再以儿坊、AC为邻边作第2个平行四边形对角线相交于点0】；再以O&、为邻边作第3个平行四边形••…依次类推.
（1）求矩形ABCD的而积；
（2）求第1个平行四边形OBBG、第2个平行四边形和第6个平行四边形的而积.
B2C2
22、如图（22）,直线/的解析式为y=—x+4,它与x轴、y轴分别相交于A、B两点.平行于直线/的直线加从原点0出发，沿x轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与工轴、y轴分别相交于M、N两点，设运动时间为/秒（0v『W4）.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）用含/的代数式表示ZW0N的而积几；
（3）以A/N为对角线作矩形0A/PN,记ZW/W和△O4B重合部分的面积为S?
1当2v/W4时，试探究S?
与f之间的函数关系式：
2在直线加的运动过程中，当/为何值时，SJ仏OAB面积的丄
23、如图15,在四边形&BCD中，E为AB±一点，AADE和△BCE都是等边三角形，AB.BC、CD.D4的中点分别
为P、Q、M.N,试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论.
24.数学课上，张老师出示了问题：
如图1,四边形&8CD是正方形，点£是边8C的中点・ZAEF=90,且EF
交正方形外角ZDCG的平行线CF于点F,求证：
AE=EF.
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：
取AB的中点M,连接A4E,则AM=EC,易证△AME^HECF,所以AE=EF.
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提岀：
如图2,如果把"点F是边BC的中点"改为"点F是边BC上（除B,C外）的任意一点"，英它条件不变，那么结论“AE=EF"仍然成立，你认为小颖的观点正确吗如果正确，写出证明过程：
如果不正确，请说明理由：
（2）
小华提出：
如图3,点F是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论"AE=EF"仍然成立.你认为小华的观点正确吗如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.
25.
如图,ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE丄AG于F,BF〃DE、交AG于F.求证：
AF=BF+EF・
G
参考答案
lxD
2、4、而3、5或94、20卷5
5、JU6、C7"8、B9、C10>8^5
llx
（1）证明：
•・•四边形ABCD是菱形Z.AB^AD,Z1=Z2又・.•AN二AN「・“ABN里AADN
（2）解:
VZ46C=90%/.菱形ABCD是正方形此时，ZGAD=45°.
下而分三种情形：
I）若ND=NA,贝IjzADN=ANAD=45°.此时，点M恰好与点B重合，得x=6：
口）若DN=DA.贝IjzDMA二ZO4A/二45。
・此时，点M恰好与点C重合，得x=12：
皿）若AN=AD=6.则Z1=Z2,由ADWBC,得Z1=Z4,又Z2=Z3,
Z3=Z4,从而CM=CN,易求AC=6Jl,/.CM=CN=AC~AN=6运一6,
故x=22—CM=12—（6血一6）=18-6^2
综上所述：
当x=6或12或18-6^2时，4ADN是等腰三角形
12、
（1）因为&BCD是正方形，所以BC=CD.又因为FCGF是正方形，所以EC=CG°
所以三角形BCE和三角形DCG全等（皿）。
所以BE=DG（全等三角形的对应边相等）
（2）存在。
以点C为旋转中心逆时针旋转90度
13、
（1）证明：
•••△ABC是正三角形，ZA=ZABC=60°,AB=BC,
AB=BC
在HABN和/\BCM中，=ZABC:
.Z\ABN竺ZXBCM.
AN=BM
:
.ZABN=ZBCM.又ZABN+ZOBC=3°,ZBCM+ZOBC=60°,ZNOC=60°.
注：
学生可以有其它正确的等价证明.
（2）在正方形中，AN=DM,ZDON=90°.
（3）在正五边形中，AN=EM,ZEON=.
（4）以上所求的角恰好等于正〃边形的内角叱土里-
n
14、
（1）①证明：
•••ZVIBC和△ADE都是等边三角形，
AE=AD,AB=AC,ZEAD=ABAC=60°.
又JAEAB=AEAD_ZBAD,ADAC=ZBAC-ABAD,:
.ZEAB=ZDAC,
^AEB竺ZvlDC.
②法一：
由①得AAEB^/^ADC,:
.ZABE=ZC=（^°.又vZBAC=ZC=60°,
ZABE=ZBAC,EB//GC.又丁EG〃BC,四边形BCGE是平行四边形.
法二：
证出△AEG^AADB,得EG=AB=BC.由①得/XAEB^AADC.
得BE=CG.:
.四边形BCGE是平行四边形.
（2）①②都成立.
（3）兰CD=CB（BD=2CD或或ZC4£>=30°或ZBAD=90。
或ZADC=30°）时，四边形
2
BCGE是菱形.
理由：
法一：
由①得AAEB^Z\ADC,BE=CD分又tCD=CB,・.BE=CB.
由②得四边形BCGE是平行四边形，四边形BCGE是菱形.
法二：
由①得AAEB^/XADC,:
.BE=CD.又t四边形BCGE是菱形，
BE=CB:
.CD=CB.
法三：
•.•四边形BCGE是平行四边形，:
.BE〃CG,EG//BC,
ZFBE=ZBAC=60°,ZF=ZABC=60°.•ZF=ZFBE=60°,.•ABEF是等边三角形.
又••AB=BC,四边形BCGE是菱形，二AB=BE=BF,4E丄FG:
.ZEAG=30°,丁ZE4D=60°,/.ZC4£>=30°.
15、
（1）OE=OF.
其证明如下:
CE是ZACB的平分线，.•.Z1=Z2.MV〃BC,Z1=Z3.
Z2=Z3./.OE=OC.同理可证OC=OF.OE=OF.
（2）四边形BCFE不可能是菱形，若BCFE为菱形，则BF丄EC,而由
（1）可知FC丄EC,在平而内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线.
（3）当点0运动到AC中点时，OE=OF,OA=OC,则四边形AECF为口，要使AECF为正方形，必须使EF丄AC.
•••EF//BC,:
.AC丄BC,/\ABC是以ZACB为直角的直角三角形，
当点0为AC中点且/\ABC是以ZACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形.
2Q
16.
（1）解：
由二x+[=0,得x=-4.・・・4点坐标为（-40）.
由-2x+16=0,得x=&.•.B点坐标为（8,0）.AB=8-（7）=12.
28,
由{•~3亍解得~IC点的坐标为（5,6）.
y=-lx+16.
••SSBC=—AB・yc=—x12x6=36.
22
2Q
（2）解：
•・•点£）在厶上且勺=心=&.•・儿=二x8+-=8.・•.£）点坐标为（8,8）.
又•.•点E在厶上且yE=>'D=&•••一2尤£+16=&xE=4.E点坐标为（4,8）.
OE=8-4=4,EF=8.
17、
（1）EA{=FC.
证明：
（证法一）•/AB=BC.:
.ZA=ZC.
由旋转可知，AB=BC,,ZA=ZCeZABE=ZC\BF,..AABE竺gBF.
:
.BE=BF,又B\=BC,:
.BA、-BE=BC-BF.即EA严FC.
（证法二）•/AB=BC,:
.ZA=ZC.
由旋转可知，ZA,=ZC,A、B二CB,而ZEBC=ZFBAy“BF竺ACBE.
:
.BE=BF,:
.BA,-BE=BC-BF,即EA}=FC.
（2）四边形BC}DA是菱形.
证明：
vZA,=ZABA^=30°,/.//AB,同理AC//BCV
・・・四边形BC}DA是平行四边形.
又•••AB=BC「:
.四边形BC}DA是菱形.
18.
（1）因为四边形ABCD为菱形，所以BE//AD,AC//DE.故四边形ABCD为平行四边形,则有AB=AD=BC=CE=5,所以BE=BC+CE=\0,
AC=DE=6,又OA=-AC=[-}=3,AB=5,OA垂直于OB,
2{2）
所以在RtAABC中有AB2=OB2+OA\所以03=4=-BD,BD=E、
2
故三角形BDE的周长为BD+DE+BE=8+6+10=24
（2）因为四边形ABCD为菱形，
所以=BE//AD,则ZDBOZDOQ又ZBOP=ZDOQ,
故有BP=DQ
19.
（1）由题意得m=n时，AOBC是正方形.
如图，在04上取点C,使＞4G=BE,则0G=OE.
・•・ZEGO=45,从而Z.AGE=135・
由BF是外角平分线,得ZffiF=135,/.ZAGE=ZEBF.
TZ&EF=90,・•・ZFEB+ZAEO=90・
在Rt\AE0中，•・•ZEAO^AAEO=90.
ZEAO=ZFEB,・•・"GE里△EBF,EF=AE.
（2）假设存在点&使EF=AE.设E（a,0）・作FH丄x轴于H,如图.
由
（1）知ZE4O二ZFEH,于是RtAAOE^RthEHF.
:
.FH=OE,EH=OA・
.•.点F的纵坐标为a，即FH=a.
由BF是外角平分线，知乙FBH=45,ABH=FH=a・
又由C（m,n）有OB二m,.IBE=OB~OE=m~
・•.EH二m~a+a=n?
.
又EH=OA=n,m=n,这与已知mH/?
相矛盾.
因此在边OB上不存在点E,使=M成立.
（3）如
（2）图，设F（a,0）,FH二h,贝'JEH=OH~OE=h^m~a.
所以ZiBOP全等于△DOQ
由Z^EF=90,ZEAO二乙FEH,得"OE八EHF、
:
.EF二（t+1）4E等价于FH二（t+1）OE.即h二（t+1）a.
整理得nh=□/?
+am~a29h=_—-
a（m-a）
n-an-a
把b二（t+1）a代入得+n-a
即m~a=（t+1）（n—a）・
而m=tn9因此tn~a=（t+1）（n—a）・
化简得ta=n.解得a=-・
t
Tt>l,・•・-・••当F在03边上且离原点距禽为巴处时满足条件，此时E（-,0）・tt
20.
（1）
因为尸0,整理得：
（上）？
+丄一1=0解得：
丄：
=竺二1（负值不合题意，舍去）
yyy2
解法二：
由拼成的矩形可知：
—一=-
（x+y）+yy
以下同解法一.
21.
（1）在RtAABC中，
BC=ylAC2-AB2=>/202-122=16,
S矩形abcd=AB・BC=12x16=192.
（2）•.•矩形ABCD,对角线相交于点0,
•••Sabcd=4Smbc，•••四边形是平行四边形,：
.OB〃CB\、OC//BB.,
ZOBC=ZB&B,乙OCB=ZB、BC,又vBC=CB,..AOBC,
SoBB\C=2Smbc=2$abcd=96，同理，S佔qc=2S（）b&c=2X2X'abcd=第6个平行四边形的而积为*S朋“J=3.
22.
（1）当x=0时，y=4；当y=0时，x=4・・・・A（4,0）,B（0,4）:
（2）沖N〃AB,.••羚=鑰=\,.5=ON7.."¥m9N=Y；
（3）①当2v/W4时，易知点P在△OAB的外而，则点P的坐标为⑺6
x=t9
F点的坐标满足｛即尸（血4一/）,
卜=_『+4,
同理£（4-6t）,则PF=PE=|/-（4-r）|=2/-4.
所以$2=SypN—S£peF
=-r--PE^PF=-r一丄⑵一4）（2r-4）=--r2+8z-8：
22222
②当0v/W2时，s.=l/2,lr=Axix4x4=-,
"221622
解得/1=-a/5<0,r2=75>2,两个都不合题意，舍去：
357
当2v/W4时，S.=—二尸+8/—8=二，解得l=3,r=-,二223
75
综上得，当r=丄或/=3时，S抄/\OAB的而积的一・
3「16
23.如图，连结AC.BD.
•・•PQ为AABC的中位线，・•・PQ-AC.
2
同理MN^L-AC.:
.MN里PQ、
2
・•・四边形PQMN为平行四边形.在厶AEC和厶DEB中，
AE=DE.EC=EB、Z>4£D=60o=ZCEB,即ZAEC=ZDEB・/.AAEC^DEB・二AC=BD.
・•・PQ=-AC=-BD=PN,・•・dPQMN为菱形.
22
24.
（1）正确.
证明：
在AB±取一点M,使AM=EC,连接ME.
.•.BM=BE./.Z5A/E=45°,/.ZAME=135°.
•••CF是外角平分线，
/.ZDCF=45°,:
.ZECF=\35Q.:
.ZAME=AECF.
vZ4EB+ZfiAE=90\ZAEB+ZCEF=90\:
.ZBAE=ZCEF.
:
./\AME^/\BCF（ASA）・
:
.AE=EF.
（2）正确.
证明：
在34的延长线上取一点N.
使AN=CE,连接NE・:
・BN=BE・
・•・ZN=ZPCE=45。
・・・•四边形ABCD是正方形、：
2//BE.
:
.ZDAE=ZBEA.:
.ZNAE=ZCEF.:
.AANE^AECF（ASA）.:
AE=EF.
25、ABCD是正方形，
/.AD=AB,ZBA£>=90°.
•.DE丄AG,
:
.ADEG=ZAED=90Q.
:
.ZADE+ZDAE=90°.
又•/ZBAF+ZDAE=ABAD=90°,
:
.ZADE=ZBAF.
•.BF//DE,
:
.ZAFB=ZDEG=ZAED.
ZAFB=ZAED
在△ABF与中，ZADE=ZBAF,
AD=AB
..△ABF^A£）AE（AAS）・
:
.BF=AE.
\AF=AE+EFf
・・AF=BF+EF・
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