最新中考数学压轴题精选.docx
《最新中考数学压轴题精选.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新中考数学压轴题精选.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
最新中考数学压轴题精选
2019中考数学压轴题
1.（眉山）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣
x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）.
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G.过点G作GF⊥x轴于点F.当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；
（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA,MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？
若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由.
2.（甘肃）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．
3.（广安）如图，抛物线
与x轴交于A、B两点
在B的左侧
，与y轴交于点N，过A点的直线l：
与y轴交于点C，与抛物线
的另一个交点为D，已知
，
，P点为抛物线
上一动点
不与A、D重合
．
求抛物线和直线l的解析式；
当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作
轴交直线l于点E，作
轴交直线l于点F，求
的最大值；
设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
4.（武威）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
5.（无锡）已知二次函数
（a＞0）的图像与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．D为顶点，直线AC交对称轴于点E，直线BE交y轴于点F，AC：
CE＝2：
1．
（1）求C点坐标，并判断b的正负性；
（2）设这个二次函数的图像的对称轴与直线AC交于点D，已知DC：
CA＝1：
2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．
6.（菏泽）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0）P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在第二象限内，且PE＝
OD，求△PBE的面积．
（3）在
（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
7.（凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在
（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC？
若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
8.（河南）如图，抛物线y?
ax2?
x?
c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线
y?
?
x?
2经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．
①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；
②作点B关于点C的对称点B?
，则平面内存在直线l，使点M，B，B?
到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出
直线l：
y?
kx?
b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）
9.（衡阳）如图，二次函数
的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上的一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E.
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当P点在线段OB（点P不与O、B点重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？
并求出这个最大值.
（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB.请问：
△MNB的面积是否存在最大值？
若存在，求此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.
10.（青岛）已知：
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分AC．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？
（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？
若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？
若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
11.（怀化）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）过定点Q的直线l：
y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．
①若S△PMN＝2，求k的值；
②证明：
无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；
③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．
12.（连云港）问题情境：
如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．
问题探究：
在“问题情境”的基础上．
（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；
（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最小值．
问题拓展：
如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG＝
，请直接写出FH的长．
13.（泰州）已知一次函数y1＝kx+n（n＜0）和反比例函数y2＝
（m＞0，x＞0）．
（1）如图1，若n＝﹣2，且函数y1、y2的图象都经过点A（3，4）．
①求m，k的值；
②直接写出当y1＞y2时x的范围；
（2）如图2，过点P（1，0）作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点B，与反比例函数y3＝
（x＞0）的图象相交于点C．
①若k＝2，直线l与函数y1的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求m﹣n的值；
②过点B作x轴的平行线与函数y1的图象相交与点E．当m﹣n的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d．
14.（无锡）如图1，在矩形ABCD中，BC＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB′，设点P的运动时间为t（s）．
（1）若AB＝
．①如图2，当点B′落在AC上时，显然△PAB′是直角三角形，求此时t的值；②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB′是直角三角形？
若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？
若不存在，请说明理由．
（2）当P点不与C点重合时，若直线PB′与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠PAM＝45°成立，试探究：
对于t＞3的任意时刻，结论∠PAM＝45°是否总是成立？
请说明理由．
15.（宿迁）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标；
（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？
如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
16.（德州）如图，抛物线y＝mx2﹣
mx﹣4与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x2﹣x1＝
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤x1≤a+2，x2≥
时，均有y1≤y2，求a的取值范围；
（3）抛物线上一点D（1，﹣5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC＝∠MCE时，求点M的坐标．
17.（菏泽）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在第二象限内，且PE＝
OD，求△PBE的面积．
（3）在
（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
18.（聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；
（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．
19.（自贡）如图，已知直线
与抛物线
：
相交于
和点
两点.
⑴.求抛物线
的函数表达式；
⑵.若点
是位于直线
上方抛物线上的一动点，以
为相邻两边作平行四边形
当平行四边形
的面积最大时，求此时四边形
的面积
及点
的坐标；
⑶.在抛物线
的对称轴上是否存在定点
使抛物线
上任意一点
到点
的距离等于到直线
的距离，若存在，求出定点
的坐标；若不存在，请说明理由.
20.（安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．
（1）求证：
△PAB∽△PBC；
（2）求证：
PA＝2PC；
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2?
h3．
21.（长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．
①如图1，求证：
CE＝DE；
②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．
22.（株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）
（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1
①求该二次函数图象的顶点坐标；
②定义：
对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：
二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．
（2）设b＝c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．FA的延长线与BC的延长线相交于点P，若＝
，求二次函数的表达式．
23.（苏州）如图①，抛物线y=-x2+（a+1）x-a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．
（1）求a的值；
（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；
（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ=∠AQB，求点Q的坐标．
24.（威海）
（1）方法选择
如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，AB＝BC＝AC．求证：
BD＝AD+CD．
小颖认为可用截长法证明：
在DB上截取DM＝AD，连接AM…
小军认为可用补短法证明：
延长CD至点N，使得DN＝AD…
请你选择一种方法证明．
（2）类比探究
【探究1】
如图②，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，BC是⊙O的直径，AB＝AC．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，井证明你的结论．
【探究2】
如图③，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是 ．
（3）拓展猜想
如图④，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，BC：
AC：
AB＝a：
b：
c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是 ．
25.（淄博）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．
1.26.（绵阳）如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，AD=4，连接AC，动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH．
2.
（1）求证：
△DEF是等腰直角三角形；
3.
（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；
4.（3）设点E运动的时间为t秒，△EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式．
5.
27.（遂宁）如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．
（1）求该二次函数的关系式．
（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：
①连接OP，当OP＝
MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．
②求证：
∠BNM＝∠ONM．
28.（东营）已知抛物线y?
ax2?
bx?
4经过点A（2,0）、B（-4,0），与y轴交于点C.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？
若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.
（第28题图1）（第28题图2）
29.（广东）
30.（宿迁）如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1,0），与y轴交于点C（0,-3）.
（1）求抛物钱的函数表达式；
⑵如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB=2∠AC0。
求点P的坐标；
（3）如图②.点Q为x轴下方抛物线上任意一点,点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N。
请问DM+DN是否为定值？
如泉是，请求出这个定值，如果不是,请说明理由.
31.（盐城）如图所示?
二次函数
的图像与一次函数
的图像交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0.
（1）求A、B两点的横坐标；
（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；
（3）二次函数图像的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
32.（扬州）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P事AB边上的一个动点（与点A、B不重合），直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.
（1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC边上，则AB’的长度为______；
（2）如图2，当PB=5时，若直线l∥AC，则BB’的长度为；
（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB’的面积是否变化？
若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
（4）当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值。
33.（滨州）如图①，抛物线y＝﹣
x2+
x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．
（1）求直线AD的函数解析式；
（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点
①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；
②当点P到直线AD的距离为
时，求sin∠PAD的值．
34.（济宁）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．
（1）求线段CE的长；
（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．
①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；
②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？
若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
35.（成都）如图1，在△ABC中，AB=AC=20，tanB=
，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）.以点D为顶点作∠ADE=∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于F，连接CF.
（1）求证：
△ABD∽△DCE；
（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；
（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DE＝CF？
若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由。
36.（天津）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO=30°，矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA,AB,OB上，OD=2.
（I）如图①，求点E的坐标；
（II）将矩形CODE沿x轴向左平移，得到矩形
点D,O,C,E的对应点分别为
.设
，矩形
与△ABO重叠部分的面积为
.
①如图②，当矩形
与△ABO重叠部分为五边形时，
、
分别与AB相交于点M,F，试用含有t的式子表示s，并直接写出t的范围;
②
时，求t的取值范围（直接写出结果即可）。
升级会员 