浙教版七年级数学下册第三单元《整式的乘除》培优题.docx
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浙教版七年级数学下册第三单元《整式的乘除》培优题
浙教版七年级数学下册第三单元《整式的乘除》培优题
•选择题（共7小题）
2•已知xm=a,xn=b（x工0）,则x3m2n的值等于（
3.根据图中数据，计算大长方形的面积，通过不同的计算方法，你发现的结论是（）
2222
A.（a+b）（a+2b）=a+3ab+2bB.（3a+b）（a+b）=3a+4ab+b
C.（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+t）D.（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2t）
4.使（x2+px+8）（x2-3x+q）的乘积不含x3和x2，则p、q的值为（）
A.p=0，q=0B.p=-3，q=-1C.p=3，q=1D.p=-3，q=1
5.已知2a-b=2,那么代数式4a2-b2-4b的值是（）
A.6B.4C.2D.0
22
6.设Ovnvmm+n2=4mr，则屮.门的值等于（）
im
A.3B.一「；C.:
D.2■:
7.为了求1+2+F+23+…+22011+22012的值，可令S=1+2+2+23+…+22011+22012，则
2S=2+2+23+24+…+22012+22013,因此2S-S=2"013-1,所以1+22+23+…+22012=22013-1.仿
20132013
A.5-1B.5+1C.
照以上方法计算1+5+R+53+…+52012的值是（）
4-
二•填空题（共5小题）
&若代数式X+3x+2可以表示为（x-1）?
+a（x-1）+b的形式，则a+b的值是
9.
有足够多的长方形和正方形的卡片，如图.
重叠无缝隙）.
（1）请画出如图这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义.这个长方形的代数意义是
（2）小明想用类似的方法拼成了一个边长为a+3b和2a+b的矩形框来解释某一
个乘法公式，那么小明需用2号卡片张，3号卡片张.
10.4个数a，b，c，d排列成卜“，我们称之为二阶行列式.规定它的运算法
|cd
11.若x=2m—1，y=1+4m+1，用含x的代数式表示y为12.若m,m，…m°15是从0,1,2这三个数中取值的一列数，若m+m+…+伽5=1525,
（m-1）+（m-1）+…+（mo15-1）=1510,则在m,m,…mo15中，取值为2
的个数为
•解答题（共3小题）
13.已知a是大于1的实数，且有a3+a「3=p,a3-a「3=q成立.
（1）若p+q=4,求p-q的值；
（2）当『=尸+・-2（n》1,且n是整数）时，比较p与（a3丄）的大小，并说明理由.
14•归纳与猜想：
（1）计算：
◎（x-1）（x+1）=；
购（x-1）（x2+x+1）=；
32
@（x-1）（x+x+x+1）=；
（2）根据以上结果，写出下列各式的结果.
©（x-1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=；
®（x-1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=
（3）
（n为整数）;
（x-1）（xn-1+xn-2+xn-3+…+x2+x+1）=
（4）若（x-1）?
m=x5-1,则m=;
（5）根据猜想的规律，计算：
226+225+…+2+1.
15.杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每
一横行都表示（a+b）“（此处n=0,1,2,3,4,5…）的计算结果中的各项系数.杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它肩”上的两个数之和.
（a+b）0=1
1
（a+b）=a+b
（a+b）2=a2+2ab+b^
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5=a5+5a4b+10aib2+10a2b3+5ab4+b5
上面的构成规律聪明的你一定看懂了！
（1）请直接写出（a+b）6的计算结果中a2b4项的系数是；
（2）利用上述规律直接写出27=;
杨辉三角还有另一个特征：
（3）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与的积.
（4）由此你可以写出115=.
（5）由第行可写出118=.
1
11
浙教版七年级数学下册第三单元《整式乘除》
参考答案与试题解析
一•选择题（共7小题）
1.（2012秋?
南陵县期末■'■=（）
A-1B洛C4D-l<>2M5
【分析】根据xa?
ya=（xy）a，进行运算即可.
【解答】解：
原式=（舟x¥）20°x
丄£"J
一-.
12-
故选B.
x%a=（xy）
【点评】此题考查了同底数幕的乘法运算，属于基础题，注意式子:
a的运用.
【分析】利用同底数幕的除法和幕的乘方的性质的逆运算计算即可.
【解答】解：
•••xm=a,xn=b（xm0）,
故选D.
【点评】本题考查了同底数幕的除法，幕的乘方的性质，逆用性质是解题的关键.
【分析】大长方形的长为3a+2b,宽为a+b,表示出面积；也可以由三个边长为
a的正方形，2个边长为b的正方形，以及5个长为b,宽为a的长方形面积之
和表示，即可得到正确的选项.
【解答】解：
根据图形得：
（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+26.故选：
D.
【点评】此题考查了多项式乘多项式，弄清题意是解本题的关键.
4.（2016秋?
简阳市期中）使（x2+px+8）（x2-3x+q）的乘积不含x3和x2，则p、q的值为（）
A.p=0，q=0B.p=-3，q=-1C.p=3，q=1D.p=-3，q=1
【分析】根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据不含x2项和x3项就是这两
项的系数等于0列式，求出p和q的值，从而得出.
【解答】解：
（x2+px+8）（x2-3x+q），
432
=x+（p-3）x+（8-3p+q）x+（pq-24）x+8q，
•••（x2+px+8）（x2-3x+q）的展开式中不含x2项和x3项,
...『宀0
\8~3p+q-0
解得：
「.
1q=1
故选：
C.
【点评】本题考查了多项式乘多项式的运算法则，根据不含哪一项就是让这一项的系数等于0列式是解题的关键.
5.（2015春?
房山区期末）已知2a-b=2,那么代数式4a2-b2-4b的值是（）
A.6B.4C.2D.0
【分析】根据完全平方公式，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案.
【解答】解：
4a2-b2-4b=4a2-（b2+4b+4）+4=（2a）2-（b+2）2+4
=[2a+（b+2）][2a-（b+2）]+4
=（2a+b+2）（2a-b-2）+4
当2a-b=2时，原式=0+4=4,
故选：
B.
【点评】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式得出平方差公式是解题关
键.
22
6.（2012?
宁波模拟）设0vnvmmi+n2=4mn则卬-门的值等于（）
mn
A.3B._一；C..D.2；
【分析】已知等式变形后利用完全平方公式化简得到关系式，代入所求式子计算即可得到结果.
【解答】解：
m+n2=4mr变形得：
（m-n）2=2mn（m+n2=6mr，
■/0vnvm
•••mnn>0，m+n>0，
•••mnn=ii，m+n=I■，
•原式一|-i--「J丄」=：
：
「i"■/:
=2、卜；
rmmn
故选D.
【点评】此题考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键.
7.（2014?
金水区校级模拟）为了求1+2+2"+23+…+22011+22012的值，可令
S=1+2+2+23+…+22011+22012，贝U2S=2+2+23+24+…+22012+22013，因此2S—S=Z°13-1,
所以1+22+23+…+22012=22013-1.仿照以上方法计算1+5+R+53+…+52012的值是（）
^20131
4
S=1+5+5+53+…+52012，再两边同时乘以5,
求出5S，用5S-S,求出4S的值，进而求出S的值.
【解答】解：
令S=1+5+5+53+…+52012,
则5S=5+5+53+…+52012+52013,
5S-S=-1+52013,4S=R013-1,
故选D.
【点评】本题考查了同底数幕的乘法，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键.
二.填空题（共5小题）
8.（2012?
泰州）若代数式X+3x+2可以表示为（x-1）?
+a（x-1）+b的形式，则a+b的值是11.
【分析】利用x2+3x+2=（x-1）2+a（x-1）+b，将原式进行化简，得出a，b的值，进而得出答案.
【解答】解：
：
x2+3x+2
=（x-1）2+a（x-1）+b
2
=x+（a-2）x+（b-a+1），
--a—2=3，
--a=5，
vb-a+1=2,
b-5+1=2,
b=6,
a+b=5+6=11,
故答案为：
11.
【点评】此题主要考查了整式的混合运算与化简，根据已知得出x2+3x+2=x2+（a
-2）x+（b-a+1）是解题关键.
9.（2012翫州模拟）有足够多的长方形和正方形的卡片，如图.
重叠无缝隙）.
（1）请画出如图这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个
长方形的代数意义•这个长方形的代数意义是a2+3ab+26=（a+b）（a+2b）
（2）小明想用类似的方法拼成了一个边长为a+3b和2a+b的矩形框来解释某一
个乘法公式，那么小明需用2号卡片3张，3号卡片7张.【分析】
（1）画出相关草图，表示出拼合前后的面积即可；
（2）得到所给矩形的面积，看有几个b2,几个ab即可.
【解答】解：
（1）如图所示：
故答案为：
a2+3ab+2t）=（a+b）（a+2b）;
2222
（2）（a+3b）（2a+b）=2a+ab+6ab+3b=2a+7ab+3b,需用2号卡片3张，3号卡片7张.
故答案为：
a2+3ab+2t）=（a+b）（a+2b）;3;7.
【点评】考查多项式与多项式相乘问题；根据面积的不同表示方法得到相应的等式是解决本题的关键.
10.（2015?
崇左）4个数a，b，c，d排列成'j,我们称之为二阶行列式.规定
它的运算法则为：
ab
=ad-be.若
x+3x-3
=12，贝Ux=1
cd
x-3xt3|
【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到x的值.
【解答】解：
利用题中新定义得：
（x+3）2-（x-3）2=12，
整理得：
12x=12,
解得：
x=1.
故答案为：
1.
【点评】此题考查了整式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键.
11.（2014春贺州期末）若x=2m-1,y=1+4m+,用含x的代数式表示y为y=4（x+1）2+1.
【分析】将4m变形，转化为关于2m的形式，然后再代入整理即可
【解答】解：
：
4m+1=22mX4=（2。
2X4,x=2m-1,
•••2m=x+1,
•••y=1+4m+1,
2
•••y=4（x+1）+1,
故答案为：
y=4（x+1）2+1.
【点评】本题考查幕的乘方的性质，解决本题的关键是利用幕的乘方的逆运算，把含m的项代换掉.
12.（2015；雅安）若m,m,…m°15是从0,1,2这三个数中取值的一列数，若m+m+…+mo15=1525,（m—1）2+（m—1）2+…+（m°15—1）2=1510,则在m,m,…m°15中，取值为2的个数为510.
【分析】通过m,m,…m°15是从0,1,2这三个数中取值的一列数，（m-1）2+（m—1）$—卜（m°15-1）2=1510从而得到1的个数，由m+m+…+mo15=1525得到2的个数.
【解答】解：
：
（m-1）2+（m-1）2+…+（m°15-1）2=1510,
•••m,m,…，mo15是从0,1,2这三个数中取值的一列数，
•m,m,…，m°15中为1的个数是2015—1510=505,
■/m+m+…+m°15=1525,
•2的个数为（1525—505）十2=510个.
故答案为：
510.
【点评】此题考查完全平方的性质，找出运算的规律.禾U用规律解决问题.
三•解答题（共3小题）
13.（2015秋?
厦门期末）已知a是大于1的实数，且有a+a「3=p,a3-a「3=q成立.
（1）若p+q=4,求p-q的值；
（2）当『=尸+・-2（n》1,且n是整数）时，比较p与（a3丄）的大小，并说明理由.
【分析】
（1）根据已知条件可得a3=2,代入可求p-q的值；
（2）根据作差法得到p-（a3」）=2-n-丄，分三种情况：
当n=1时；当n=2时;当n》3时进行讨论即可求解.
【解答】解：
（1）；a3+a-3=p①，a3-a-3=q②，
二①+②得，2a3=p+q=4,
•••a3=2；
①-②得，p-q=2a"=1.
当n=1时，p>
当n=2时，p=a3^j-;
当n》3时，pva+
ap=（a^0,p为正整数），关键是加减消元
4
【点评】考查了负整数指数幕:
法和作差法的熟练掌握.
14•归纳与猜想：
（1）计算：
©（X-1）（X+1）=X2-1；
购（X-1）（x2+x+1）=X3-1；
3（X-1）（X3+X2+X+1）=X4-1；
（2）根据以上结果，写出下列各式的结果.
©（X-1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=X7-1；
®（x-1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x10-1；
（3）（x-1）（xn1+xn2+xn3+・・.+x2+x+1）=xn-1（n为整数）;
151413122
（4）右（x-1）?
m=x-1，贝Um=x+x+x+…+x+x+1;
（5）根据猜想的规律，计算：
226+225+…+2+1.
【分析】
（1）运用乘法公式以及多项式乘多项式的法进行计算即可；
（2）根据
（1）中的计算结果的变换规律进行判断即可；
（3）根据
（1）
（2）中的计算结果总结变换规律即可；
（4）根据（3）中的规律，直接求得m的表达式即可；
（5）根据（3）中的规律列出等式进行变形，求得226+225+-+2+1的值.
【解答】解：
（1）©（X-1）（X+1）=X2-1；
23
购（X-1）（X+X+1）=X-1；
@（X-1）（X3+X2+X+1）=X4+X3+X2+X-X3-X2-1=X4-1；
（2）©（x-1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=X7-1；
®（x-1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=X10-1；
（3）（x-1）（xn+xn-2+xn-3+…+x2+x+1）=xn-1（n为整数）；
15
（4）v（x-1）?
m=x-1，
.1413122.
••m=x+x+x+…+x+x+1；
（5）v（2-1）（226+225+224+…+22+2+1）=玻-1,
•226+225+…+2+1=Z7-1.
【点评】本题主要考查了多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加.计算时按一定的顺序进行，必须做到不重不漏.
15.（2014春？
泰兴市校级期末）杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（a+b）（此处n=0,1,2,3,4,5…）的计算结果中的各项系数.杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是数字1
组成，而其余的数则是等于它肩”上的两个数之和.
（a+b）0=1
1
（a+b）=a+b
222
（a+b）=a+2ab+b
33223
（a+b）=a+3ab+3ab+b
44,3223.4
（a+b）=a+4ab+6ab+4ab+b
（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
上面的构成规律聪明的你一定看懂了！
（1）请直接写出（a+b）6的计算结果中a2b4项的系数是15;
（2）利用上述规律直接写出27=128;
杨辉三角还有另一个特征：
（3）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行
的数与11的积.
（4）由此你可以写出115=161051.
（5）由第9行可写出118=214358881.
1
11
121
1551
【分析】观察图表寻找规律：
三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．【解答】解：
（1）请直接写出（a+b）6的计算结果中a2b4项的系数是15;
（2）利用上述规律直接写出27=128；
杨辉三角还有另一个特征：
（3）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行
的数与11的积．
（4）由此你可以写出115=161051．
（5）由第9行可写出118=214358881．故答案为：
15，128，11，161051，9，214358881．
【点评】考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．
2.（2001?
乌鲁木齐）已知xm=a,xn=b（x^0）,则x3mr2n的值等于（
3.（2016春?
苏州期中）根据图中数据，计算大长方形的面积，通过不同的计算
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