广州市调研数学理科试题及参考答案新浪微博高考直通车.docx
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广州市调研数学理科试题及参考答案新浪微博高考直通车
试卷类型：
A
2018年广州市高考模拟考试
数学（理科）2018.1
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座
位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区
域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，按要求交回试卷和答题卡．
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
已知i为虚数单位，复数
z
12i
i对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2.已知集合M
x|1
x
1，N
x|y
x，则M
N
A.x|0x1
B.
x|0x1
C.
x|x0
D.
x|1x0
．设向量a（x,1），b
（4,x）
若a,b
方向相反
则实数
x
的值是
3
A．0
B．2
C．2
D．2
开始
4．一算法的程序框图如图
1，若输出的y
1
，
2
输入整数x
则输入的x的值可能为
A．1
B．0
C．1
D．5
否
x2?
5.
将函数ysin
2x
6
的图象向左平移
6
个单位，再向上
是
平移1个单位，所得图象的函数解析式是
A．y
2cos2x
B．
C．y
1sin2x
D．
3
y
2sin2x
ysin
x
y2x
6
y
cos2x
6.用a,b,c
表示空间中三条不同的直线,
表示平面,给出下列命题:
输出y
①若a
b,bc,则a∥c;
②若a∥b,a∥c,则b∥c;
③若a∥,b∥,则a∥b;
④若a,b
则a∥b.
结束
其中真命题的序号是
A．①②
B．②③
C．①④
D．②④
图1
7.
已知双曲线C:
x2
y2
1的左，右焦点分别为
F1，F2
，过点F2
的直线与双曲线C的右支相
3
交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则△PFQ1的周长为
A．163
B．53
C．143
D．43
3
3
8.
已知映射
f:
P（m,n）
P（m,n）m
0,n
0.
A1,3
，
B2,2
，点M是线段AB上
设点
一动点，f:
MM
.当点M在线段AB上从点A开始运动到点
B结束时，点M的对应点M
所经过的路线长度为
A．
B．
C．
4
D．
3
12
6
二、填空题：
本大题共
7小题，考生作答
6小题，每小题
5分，满分
30分．
（一）必做题（
9～13
题）
9.
不等式2x
1
x
2的解集是
.
10.
已知数列
an
是等差数列，且
a3a4
a5
12，则a1a2a3
a7的值为
.
11.在平面直角坐标系
1
x
1,
所表示的平面区域是
W，从区域W中随
xOy中，设不等式组
y
2
0
机取点M
x,y，则OM
2的概率是
.
12.由0，1，2，⋯，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝
对值等于7的四位数的个数是
.
13.已知函数fx
xsinx3,则f
1
f
2
f
3
f
4029的
2015
2015
2015
2015
值为
.
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
B
14．（几何证明选讲选做题）
O
如图2，圆O的直径AB
9，直线CE与圆O相切于点C，
A
ADCE
于点D，若
AD
1
，设
ABC
，则
sin
．
______
E
C
D
15．（坐标系与参数方程选讲选做题）
图2
在极坐标系中，设曲线
C1:
2sin
与C2:
2cos
的交点分别为
A，B，
则线段AB的垂直平分线的极坐标方程为
.
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数fxsinxacosx（xR），是函数fx的一个零点.
4
（1）求a的值，并求函数fx的单调递增区间；
（2）若,
0,，且f
4
10，f
3
35，求sin
的值.
2
5
4
5
17.（本小题满分12分）
广州某商场根据以往某种商品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布表（如表1）和频
率分布直方图（如图3）．
频率
分组频数频率
组距
0,50n1
50,100n2
100,150n3
0.15
0.25
0.30
a5
a4
a3
a2
a1
150,200n4
200,250n5
表1
0.20
0.10
050100150200250日销售量/个
图3
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（1）求a1，a3的值.
（2）求在未来连续3
天里，有连续
天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50
．．2
个的概率；
（3）用X表示在未来
3天里日销售量高于
100个的天数，求随机变量
X的分布列和数学期望．
18.（本小题满分14分）
如图4，四边形ABCD是正方形，△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
P
点F是PB的中点，点E是边BC上的任意一点.
（1）求证：
AF
EF；
F
（2）求二面角A
PCB的平面角的正弦值.
A
B
E
D
C
图4
19.（本小题满分14分）
已知数列an
的前n项和Sn满足：
Sn
a
1，a为常数，且a0，a
1．
an
a1
（1）求数列
an的通项公式；
1
an
an1
，且数列bn
的前n项和为Tn，求证：
Tn
1
（2）若a
，设bn
1an1
．
3
1an
3
20．（本小题满分
14分）
2
2
3，且经过点
已知椭圆C:
x2
y2
1a
b0的离心率为
0,1．圆C1:
x2
y2
a2
b2
.
a
b
2
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l:
y
kx
mk
0与椭圆C有且只有一个公共点
M，且l与圆C1相交于A,B两点，
问AMBM
0
是否成立？
请说明理由．
21.（本小题满分14分）
已知函数fx
x
a
R.
2lnx，a
x
（1
）讨论函数
fx
的单调性;
（2
）若函数f
x有两个极值点
x1,x2,且x1
x2,求a的取值范围;
（3
）在
（2）的条件下,证明:
f
x2
x21.
2018年广州市调研考试
数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：
1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法
供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分
标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正
确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一．选择题：
本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
D
C
A
D
A
B
二．填空题：
本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共
7小题，考生作答
6小题，每小题5
分，满分
30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．
9.,
1
3,
10.
28
11．2
3
3
12
．280
13．8058
3
12
14．1
15．
sin（
）
2
3
4
2
三．解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
（1）解：
∵
4
是函数fx
的一个零点，
∴
f
4
sin
acos
0.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1
分
4
4
∴a
1.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2
分
∴
f
x
sinx
cosx
2
2sinx
2cosx
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3
分
22
2sin
x
4
.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4
分
由2k
x
4
2k
2
，k
Z，
2
得2k
x
2k
3
，k
Z，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5
分
4
4
∴函数fx
的单调递增区间是
2k
2k
3
4
（kZ）.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
4
（2）解：
∵f
4
10，
5
∴
2sin
10
.
5
∴sin
5
.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7
分
5
∵
0,
，
2
∴cos
1
sin2
2
5
.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8
分
5
∵f
3
35，
4
5
∴
2sin
2
3
5.
5
∴
310
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9
分
cos
.
10
∵
0,
，
2
∴sin
1
cos2
10
.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
分10
10
∴sin
sin
cos
cos
sin
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11
分
5
3
10
2
5
10
5
10
5
10
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
分12
.
2
17.（本小题满分12分）
（1）解：
a1
0.10
0.002，a3
0.20
0.004.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
50
50
（2）
解：
设A1表示事件“日销售量高于
100
个”，A2
表示事件“日销售量不高于
50个”，
B表示事件“在未来连续
3天里有连续
2天日销售量高于
100个且另1天销售量不高于50个”．
P
A1
0.300.20
0.10
0.6
，
P
A2
0.15，
P
B
0.6
0.6
0.152
0.108.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5分
（3）
解：
依题意，X的可能取值为
0，1，2，3，且X
B3,0.6.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
PX
0
C30
1
3
0.064
PX
1
C130.6
10.6
2
0.6
，
0.288，
P
X
2
C32
0.62
10.6
0.432，P
X
3
C330.63
0.216
，⋯⋯⋯⋯10分
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
∴EX
3
0.6
1.8.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11
分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12
分
18.（本小题满分14分）
（1）证明：
∵F是PB的中点，且PA
AB，
∴AF
PB.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
∵△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴PA
AD，PAAB.
∵AD
ABA，AD
平面ABCD，AB
平面ABCD，
∴PA
平面ABCD.
P
∵BC平面ABCD，
∴PA
BC.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
H
F
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC
AB.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3分
A
B
∵PA
AB
A，PA
平面PAB，AB平面PAB，
∴BC
平面PAB.
C
E
∵AF
平面
PAB，
D
∴BC
AF.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
∵PB
BC
B，PB
平面PBC，BC平面PBC，
∴AF平面PBC
∵EF平面PBC
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
，
∴AFEF.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
（2）解法1：
作FH
PC于H
，连接AH，
∵
AF⊥平面PBC，PC
平面PBC
∴
AF
PC.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7分
∵
AF
FH
F，AF
平面AFH，FH
平面AFH，
∴
PC⊥平面AFH.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8分
∵AH平面AFH，
∴PCAH.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9分
∴∠AHF为二面角A
PC
B的平面角.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10
分
设正方形ABCD的边长为2，则PA
AB
2，AC
22，
在Rt△PAB中，AF
1PB
1
22
22
2，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分
2
2
在Rt△PAC中，PC
PA2
AC2
23，AH
PAAC
26
PC
3
，⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
在Rt△AFH
中，sin
AHF
AF
3
.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1
3分
AH
2
∴二面角A
PC
B的平面角的正弦值为
3.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14
分
2
2
A
为坐标原点，分别以
AD,AB,AP
所在直线为
x
轴，y
轴，
z
轴，
解法：
以
建立空间直角坐标系
A
xyz，设PA
1，
z
则P0,0,1
，B0,1,0
，C
1,1,0,
D1,0,0
.⋯⋯⋯⋯⋯7分
P
∴PB
0,1,1，BC
1,0,0.
设平面PBC的法向量为m（x,y，）z，
F
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