相似三角形复习练习题.docx

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相似三角形复习练习题

华师大版八年级下相似三角形复习练习

一、【方法指导与教材延伸】

1．在数学上，把具有形状的图形称为相似形。

2．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做

，简称。

3.已知四条线段a、b、c、d，如果a∶b＝c∶d，那么a、b、c、d叫做组成比例的，线段a、d叫做比例，线段b、c叫做比例，线段d叫做a、b、c的。

比例中项：

如果比例内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a和c的比例中项。

4.比例的性质：

a∶b＝c∶d

；a∶b＝b∶c

5．两个相似形的特征：

对应边成比例，对应角相等；

6．识别两个多边形是否相似的方法：

如果两个多边形，那么这两个多边形相似

7．相似三角形：

定义：

的三角形叫相似三角形。

如△ABC与△A/B/C/相似，

记作:

。

相似比：

相似三角形的比叫相似比，若△ABC∽△A/B/C/，相似比为k，则△A/B/C/与△ABC的相似比是。

即相似比是有顺序的。

8．相似三角形的识别方法：

（1）定义法：

的两个三角形相似。

（2）平行线法：

的直线和其它两边（或两边的延长线），所构成的三角形与原三角形相似。

注意：

适用此方法的基本图形，（简记为A型，X型）

∵ED∥BC，∴△ABC∽△AED

（3）的两个三角形相似。

（4）的两个三角形相似。

（5）的两个三角形相似。

（6）对应成比例的两个直角三角形相似。

（7）被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。

3．相似三角形的识别方法的选择：

（1）已知有一角相等时，可选择方法和方法；

（2）已知有二边对应成比例时，可选择方法和方法；

（3）若有平行条件时，可考虑方法；

（4）有直角三角形时，可考虑方法

4.相似三角形的性质

（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例．

（2）相似三角形对应的比、对应的比、对应角的比都等于相似比．

（3）相似三角形的比等于相似比．

以上各条可以概括为：

相似三角形的对应之比等于相似比．

（4）相似三角形面积之比等于．

5．相似三角形性质的作用

综合使用相似三角形的性质与相似三角形的识别可以解决以下问题：

（1）可用来证明线段成比例、角相等、线段相等、垂直、平行等；

（2）可用来计算周长、边长、角度等；

（3）用来证明线段的平方比、图形面积的比等。

注意：

（1）求三角形某边长，可根据相似三角形的性质，得到对应线段成比例，再利用方程的思想方法，解出所求线段．

（2）有关三角形或其它图形面积的题目，常用到两个知识点：

一、是三角形面积公式：

S＝

底×高，这里特别注意图形中“同高”这个隐含条件，二、是相似三角形的面积比等于相似比的平方。

3．直角三角形中的比例线段是这部分内容的一个重点．如图，

由Rt△ACD∽Rt△CBD∽Rt△ABC，得

AC2＝AD·AB，

BC2=BD·AB，

CD2=AD·DB．

熟记这三个等式有时会给解题带来很大的方便，

尤其解几何综合题更明显，但须注意，在使用它们时，一定要证明这三个直角三角形相似．

二、例题选讲

例1：

已知线段a＝15厘米，b＝20厘米，c＝75毫米，d＝0.1米，问这四条线段成比例吗？

说明：

在线段求比时，线段的长度单位要统一；要同单位下，两线段的比值是无单位的正数。

例2：

已知线段a＝7，b＝4，求线段a＋b与a－b的比例中项。

说明：

（1）此处是求线段的比例中项，所以只能取正值，但实际上，比例中项并不一定都是指两条线段，两个数、两个字母同样也可以求出它们的比例中项，并且比例中项也可为负。

（2）所以在求比例中项时，一定要看清是求线段的比例中项，还是两个数的比例中项，它们的结果不一样的。

例3：

已知

，且3x＋4z－2y＝40，求x、y、z的值。

说明：

设k法是有关比例式计算题中常用的方法，应学会、掌握。

例题4：

判断正误，并简要说出理由

（1）两个矩形一定相似。

；

（2）两个菱形都有一个角是400，那么这两个菱形相似

（3）两个正方形一定相似。

（4）有一个角相等的两个等腰梯形相似。

例题5：

如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，求矩形ABCD的面积

说明：

运用相似多边形特征解题，应注意确定对应边、对应角，这里的AB是大矩形的宽，那么它只能中小矩形的长，大矩形宽与长的比等于小矩形宽与长的比。

例题6：

（1）、如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似形三角形有对，分别是。

（2）、如果AD＝5，DB＝3，FC＝2，则△ADE与△ABC的相似比是；

如何求出BF的长？

例题7：

如图，在四边形ABCD中，E是对角线BD上的一点，EF∥AB，EM∥CD，

求

的值。

例题8：

如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，则图中有对相似三角形，

当△∽△时，则有

；

要AC·CE＝CB·CD，则应找哪两个三角形相似？

解：

例题9：

如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过点C作

CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，说明：

BP2＝PE·PF。

解：

说明：

当成比例的四条线段在同一直线上时，可用相等的线段代换的方法来分散开来，后再找相似三角形

例10．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，并将△ABC分成三块S1、S2、S3，

若S1︰S2︰S3＝1︰4︰10，BC＝15，求DE、FG的长

例11如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F。

（1）说明：

△ABC∽△FCD

（2）若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长。

三【同步练习】

练习一

一、判断题：

1．所有的三角形都相似；2．所有的梯形都相似；

3．所有的等腰三角形都相似；4．所有的直角三角形都相似；

5．所有的矩形都相似；6．所有的平行四边形都相似；

7．大小的中国地图相似；8．所有的正多边形都相似。

二、填空：

1．延长线段AB到C，使BC＝AB，则AC︰AB＝，AB︰BC＝，BC︰AC＝

2．在比例尺为1︰500000的地图上，量得甲、乙两地的距离是25㎝，则两地的实

际距离是。

3．已知点P在线段AB上，且AP︰PB＝2︰5，则AB︰PB＝，AP︰AB＝

4．如图，已知

，AD＝15，AB＝40，AC＝28，则AE＝。

5．已知：

线段a＝3，b＝2，c＝4，则b、a、c的第四比例项d＝；

则a、b、（a－b）的第四比例项是；3a、（2a－b）的比例中项是。

6．已知：

数3、6，请再写出一个数，使这个数是另外两个数的比例中项，这个

数是。

7．已知：

则

。

8．已知

，且3y＝2z＋6，则x＝、y＝。

9．把一个矩形的硬纸片剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，那么原

矩形的长边和短边之比为。

三、判断下列各组线段是否成比例？

1．4㎝、6㎝、8㎝、2㎝；2．1.5㎝、4.5㎝、2.5㎝、7.5㎝

3．1.1㎝、2.2㎝、3.3㎝、6.6㎝；4．2㎝、4㎝、4㎝、8㎝。

四、解答题：

1．已知：

3x－5y＝0，求：

（1）

；

（2）

；（3）

2．已知：

x︰y︰z＝2︰3︰4，求：

的值。

练习二

一、填空：

1、如图

（1），在中，R在BC的延长线上，AR交BD于P，交CD于

Q，若DQ∶CQ＝4∶3，则AP∶PR＝

图

（1）图（3）图（4）

2、如图

（2），在梯形ABCD中，CD∥AB，AC、BD交于点O，过点O作AB的平行线交AD于点E，交BC于点F，则图中有对相似形三角形；若DC＝9，AB＝15，则OD∶OB＝，EF＝。

3、如图（3），在△ABC中，∠BAC＝900，CE平分∠ACB，AD⊥BC，垂足为D，AD、CE相交于点F，则△AFC∽△。

4、如图（4），要使△AEF∽△ABC，已具备的条件是，还需补充的条件是或或。

5、如图（5），点D是△ABC内一点，连结BD并延长到E，连结AD、AE，若∠BAD＝200，

，则∠EAC＝

图（5）图（6）

6、在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，则有AD2＝，ED2＝，BD2＝。

若DF⊥AC，则还有线段是比例中项。

二、解答题：

1、如图

（1），在中，对角线AC、BD相交于点O，BC＝18，E为OD的中点，连结CE并延长交AD于点F，求DF的长。

2、如图（3），在△ABC中，E、F分别是AC、BC的中点，AF与BE交于点O，ED∥AF，交BC于点D，求BO∶OE的值。

3、如图，AE2＝AD·AB，且∠ABE＝∠C，试说明△BCE∽△EBD。

2

E

4、如图，已知

，试说明：

AB·EC＝AC·BD。

5、如图，D是△ABC内一点，在△ABC外取一点E，使∠CBE＝∠BAD，试说明△ABC∽△DBE

E

6、如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上，AD＝2，试在AB上求一点E，使△ADE和△ABC相似，并求出AE的长。

7、如图，在直角梯形ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC＝3，如果边AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，则这样的P点有个

8、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，

①当AC、CD、BD满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？

②当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。

练习三

一、填空：

1．如果两个相似三角形对应高的比为4:

5，那么它们的面积比为

2．把一个三角形变成和它相似的三角形，而面积扩大为原来的100倍，则边长扩大为原来的倍。

3．如果两个相似三角形的面积比为8，周长比为k，那么

＝　　　　　　。

4．在△ABC中，DE∥BC，

，且S△ABC＝8cm2，那么S△ADE＝cm2

5．如图

（2），C为线段AB上的一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，若AC＝3，BC＝2，则△MCD与△BND的面积比为。

6．如图（3），在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE与四边形DECB的面积之比为。

7．如图（4），DE∥FG∥BC，且S△ADE＝S梯形DFGE＝S梯形FBCG，则DE:

FG＝　　　　。

8．如图（5），在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:

S△COB＝1:

9，

则S△DOC:

S△BOC＝

二、解答：

1、在△ABC中，∠C＝900，BC＝8㎝，AC︰AC＝3︰5，点P从点B出发，沿BC向点C以2㎝/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1㎝/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发：

⑴经过多少秒△CPQ∽△CBA？

⑵经过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似