111与三角形有关的线段.docx
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111与三角形有关的线段
数学个性化教学教案
授课时间：
年月日
备课时间
年月日
年级
八上
学科
数学
课时
学生姓名
授课主题
与三角形有关的线段
授课教师
教学目标
1.了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形；
2.理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题.
3.认识三角形的高、中线与角平分线，会画三角形的高、中线与角平分线，了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点.
4.知道三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，了解三角形的稳定性在生产、生活中的应用.
教学重点
1.三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系.
2.三角形的高、中线与角平分线
教学难点
1.用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形.
2.三角形的角平分线与角的平分线的区别，画钝角三角形的高.
3.三角形稳定性及应用.
教学过程
一、【历次错题讲解】
二、【趣味课程导入】
1.三角形是一种最常见的几何图形，[投影1-6]如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处处都有三角形的形象。
那么什么叫做三角形呢？
2.任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?
各条路线的长一样吗?
为什么？
A
B
C
a
b
c
有两条路线：
（1）从B→C，
（2）从B→A→C；不一样，AB+AC＞BC①；因为两点之间线段最短。
同样地有AC+BC＞AB②
AB+BC＞AC③
由式子①②③我们可以知道什么？
3.盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？
〔实验〕1、把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
（2）
不会改变。
2、把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
会改变。
3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？
不会改变。
从上面的实验中，你能得出什么结论？
三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。
三、【基础知识梳理】
（一）、三角形及有关概念
不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
注意：
三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接.
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点.
三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.
A
B
C
a
b
c
（二）、三角形的分类：
按角分类:
三角形直角三角形
斜三角形锐角三角形
钝角三角形
三边都相等的三角形叫做等边三角形；
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形.
显然，等边三角形是特殊的等腰三角形.
按边分类:
三角形不等边三角形
等腰三角形底和腰不等的等腰三角形
等边三角形
（三）、三角形三边的不等关系（理论依据：
两点之间，线段最短）
三角形的两边之和大于第三边，即
三角形的两边之差小于第三边，即
应用：
（1）判断三条线段能否组成三角形；
（2）已知三角形的两边求第三边的范围.
注意：
判断三条线段能否组成三角形的两种方法（无需判断任意两边之和大于第三边；任意两边只差小于第三边）
（1）看最短的与次短的线段的和是否大于最长的线段，若是则能，反之，不能.
（2）看最长的线段减去最短（或次短）的线段的差是否小于第三条线段，若是则能，反之，不能.
（四）、三角形的高
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高，表示为AD⊥BC于点D.
注意：
高与垂线不同，高是线段，垂线是直线.
现在我们来画钝角三角形三边上的高，如图。
A
B
C
O
D
E
F
三角形的三条高相交于一点（垂心）.
（五）、三角形的中线
如图，我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线，表示为BD=DC或BD=DC＝1/2BC或2BD=2DC=BC.
三角的三条中线相交于一点（重心）.
（六）、三角形的角平分线
如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝1/2∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC。
三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的
三角形三个角的平分线相交于一点（内心）.
注：
三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部.
（七）、三角形具有稳定性.
学习札记
学习札记
四、【典型例题剖析】
[例1]如图，图中共有多少个三角形？
[引导分析]根据三角形的概念，不重复、无遗漏地找出所有的三角形，关键在于按照某种顺序去找.
可以边为顺序找：
BC为边的共4个，分别是：
△ABC，△BCD， △BCF,△BCE;AC为边的2个（其中重复一个）,分别是：
△ACF,△ACB（与前面重复）； 同理可得AB为边1个，是△ABD;CD为边1个，为：
△CDE;以BF为边1个，为△BEF；AD、AF为边已计。
共8个。
[举一反三]
（1）如图所示，以AB为一边的三角形有_________个.
（2）图中有个三角形，用符号表示为
C
B
E
A
D
[例2]
（1）已知三角形的两边分别为5cm和6cm，求第三边c的取值范围及三角形周长的取值范围；
（2）已知三角形的三边分别为14，4x和3x，求x的取值范围；
（3）已知三角形的三边分别为a，a－1和a＋1，求a的取值范围.
[引导分析]
（1）根据三角形的三边关系，可得第三边的取值范围是：
两边之差＜第三边＜两边之和，所以较容易确定第三边的取值范围.对于
（2）（3）已知三边长度（其中三边含有参数），根据三边关系列不等式，
，
由于任意两边只差小于第三边可由任意两边之和大于第三边推导，故一般只需考虑最短的与次短的线段的和大于最长的线段即可，当然隐含条件（边长大于零）要考虑.
[举一反三]
（1）如果线段a、b、c能组成三角形，那么，它们的长度比可能是（）
A.1∶2∶4B.1∶3∶4C.3∶4∶7D.2∶3∶4
（2）已知等腰三角形的两边长分别为4cm和7cm，则此三角形的周长为（）
A.15cmB.18cmC.15cm或18cmD.不能确定
例3
[例3]如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为12cm和15cm的两部分，求三角形各边的长.
[引导分析]因为中线BD中的点D为AC边的中点，所以AD＝DC，造成所分的两部分不等的原因就在于BC边与AB、AC边的不等，故应分类讨论.
举一反三
（2）
举一反三
（1）
[举一反三]
（1）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，求△ABD与△ACD的周长之差．
（2）如图所示，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC=4cm2，求S△ABE.
例4
[例4]如图所示，在△ABC中，∠C-∠B=90°，AE是∠BAC的平分线，求∠AEC的度数．
[引导分析]根据角平分线性质和三角形内角和.
[举一反三]如图，ΔACB中，∠ACB=900，∠1=∠B.
举一反三
（1）试说明CD是ΔABC的高；
（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长
[例5]
（1）木工师傅在做完门框后，为了防止变形常常像图所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的AB、CD两个木条），这样做根据数学道理是____________________.
例6
（2）
例6
（1）
（2）如图是放缩尺，其工作原理是______________.
[引导分析]三角形具有稳定性，而四边形具有不稳定性.
[举一反三]下列图形中哪些具有稳定性？
[例6]创新探究：
如图，在小河的同侧有A，B，C三条村庄，图中的线段表示道路，某邮递员从A村送信到B村，总是走经过C村的道路，不走经过D村的道路，这是为什么呢？
请你用所学的数学知识加以证明.
[引导分析]邮递员走经过C村而不走经过D村的路，其理由很明显：
因为路程更近。
若将该问题抽象成数学问题即为：
已知：
C是△ABD内一点，试证明：
AD＋BD＞AC＋BC.
解决几条线段间的不等关系，应利用三角形三边关系性质，为此，连接AB，得BD＋DA＞AB，CA＋CB＞AB，但仍无法的得出结论，故可考虑构造另外的三角形，找到所证线段之间的相互关系.
方法与技巧总结
方法与技巧总结
课堂作业
1.下列各组给出的三条线段中不能组成三角形的是（）
A.3，4，5B.3a，4a，5a
C.3+a，4+a，5+aD.三条线段之比为3∶5∶8
2..如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定
3.已知等腰三角形的周长是25cm，其中一边长为10cm，求另两边长__________.
4.在△ABC中,AD是BC上的中线,且S△ACD=12,S△ABC＝.
5.在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm,求AD的长.
6.如图，△ABC的周长为18cm，BE、CF分别为AC、AB边上的中线，BE、CF相交于点O，AO的延长线交BC于D，且AF=3cm,AE=2cm，求BD的长.
7.已知：
AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，BC＝10cm，AC＝8cm，∠CAB＝90°.
求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；（3）△ACE和△ABE周长的差.
8.在△ABC中,高CE,角平分线BD交于点O,∠ECB=50°,求∠BOC的度数.
9.在△ABC中，∠A=50°，高BE，CF所在的直线交于点O，求∠BOC的度数．
10.如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC>
（AB+BC+AC）．
11.如图，线段
、
相交于点
，能否确定
与
的大小，并加以说明．毛
12.如图所示，已知在△ABC中，AB=AC
=8，P是BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E.若△ABC的面积为14，问：
PD+PE的值是否确定？
若能确定，是多少？
若不能确定，请说明理由.
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本课小结
课后作业
布置
课后赏识评价
课后反馈
本节课教学计划完成情况：
□照常完成□提前完成
□延后完成，原因___________________________________
学生的接受程度：
□完全能接受□基本能接受
□不能接受，原因___________________________________________
学生的课堂表现：
□很积极□比较积极□一般
□不积极，原因_____________________________________________
学生上次作业完成情况：
完成数量____%已完成部分的质量____分（5分制）
存在问题_______________________________________
配合需求：
家长________________________________________________
学管师________________________________________________
提交时间
教研组长签名
学管师签收
例2.解：
（1）（6－5）cm＜c＜（6＋5）cm
∴1cm＜c＜11cm设周长为pcm
又因另两边分别为5cm和6cm
∴[（5＋6）＋1]cm＜p＜[11＋（5＋6）]cm即12cm＜p＜22cm
（2）根据三角形的三边关系：
4x－3x＜14＜4x＋3x∴2＜x＜14
（3）∵a－1＜a＜a＋1
又∵三角形的三边长为正∴a－1＞0即a＞1
又∵a＋1＜a＋（a－1）∴a＞2∴a＞2
例3.解：
如图，设AB＝x，则AD＝DC＝
x
（1）若AB＋AD＝12，
即
x＝12，得x＝8即AB＝AC＝8
则DC＝4，故BC＝15－4＝11
此时AB＋AC＞BC，可构成三角形；
（2）若AB＋AD＝15，
x＝15，∴x＝10
即AB＝AC＝10，则DC＝5，故BC＝12－5＝7
显然此时可构成三角形
综上，三角形的各边长为：
8,8,11或10,10,7
例6 解答：
延长AC交BD于点E，由三角形的三边关系：
在△ADE中，AD＋DE＞AC＋CE①
在△CBE中，CE＋BE＞BC②
由①和②得：
AD＋DE＋BE＋CE＞AC＋BC＋CE
所以：
AD＋BD＞AC＋BC
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