高等代数北大版教案第5章二次型.docx

高等代数北大版教案第5章二次型.docx

《高等代数北大版教案第5章二次型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数北大版教案第5章二次型.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高等代数北大版教案第5章二次型

第五章二次型

§1二次型的矩阵表示

一授课内容：

§1二次型的矩阵表示

二教学目的：

通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性替换和矩阵的合同.

三教学重点：

矩阵表示二次型

四教学难点：

二次型在非退化下的线性替换下的变化情况.

五教学过程：

定义：

设是一数域，一个系数在数域中的的二次齐次多项式

…（3）

称为数域上的一个元二次型，或者，简称为二次型.

例如：

就是有理数域上的一个3元二次型.

定义1设，是两组文字，系数在数域中的一组关系式

（4）

称为到的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式，那么线性替换（4）就称为非退化的.

二次型的矩阵表示：

令，由于,那么二次型（3）就可以写为

…+

（5）

把（5）的系数排成一个矩阵

它称为二次型（5）的矩阵.因为，，所以

.

我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型（5）的矩阵都是对称的.

令,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来，

.

故.

显然，二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此还能得到，若二次型

且，则，

线性替换的矩阵表示

令,,那么，线性替换（4）可以写成，

或者.

显然，一个非退化的线性替换把二次型还是变成二次型，现在就来看一下替换后的二次型与原二次型之间有什么关系.

设，，（7）

是一个二次型，作非退化的线性替换

（8）

得到一个的二次型.

现在来看矩阵与矩阵的关系

把（8）代入（7）有

.

容易看出，矩阵也是对称的，事实上，

.

由此，即得

.

定义2数域上矩阵称为合同的，如果有数域上可逆的矩阵，使

.

合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有

（1）反身性.

（2）对称性由，即得.

（3）传递性由，，即得.

因之，经过非退化的线性替换，替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.

§2标准形

一授课内容：

§2标准形

二教学目的：

通过定理的证明掌握二次型化为标准形的配方法.

三教学重点：

化普通的二次型为标准形.

四教学难点：

化普通的二次形为标准形的相应矩阵表示.

五教学过程：

I导入

可以认为，在二次型中最简单的一种是只含有平方项的二次型

（1）

II讲授新课

定理1二次型都可以经过非退化的线性替换变为平方和

（1）的形式.

不难看出，二次型

（1）的.

=.

反过来，矩阵是对角形的二次型就只含有平方项.

定理2在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.

定义二次型经过非退化的线性替换所变成的平方和称为的一个标准形.

例化二次型

为标准形.

解：

作非退化的线性替换

则

再令或

则.

最后令或

则

是平方和，而这几次线性替换的结果相当于作一个总的线性替换，

.

用矩阵的方法来解

例化二次型

为标准形.

解：

的矩阵为.

取,则

.

再取，则

.

再取，则

是对角矩阵，因此令

，

就有

.

作非退化的线性替换

即得

.

§3唯一性

一授课内容：

§3唯一性

二教学目的：

通过本节的学习，让学生掌握复二次型，实二次型的规范形，正（负）惯性指数，符号差.

三教学重点：

复二次型，实二次型的规范形的区别及唯一性的区别.

四教学难点：

实二次型的唯一性

五教学过程：

在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关.二次型的矩阵的秩有时候就称为二次型的秩.至于标准形的系数就不是唯一的.

例二次型经过非退化的线性替换

得到标准形

.

而经过非退化的线性替换

就得到另一个标准形

.

这就说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化的线性替换有关.

下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题.

对于复数域的情形

设是一个复系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换后，变为标准形，不妨设标准形为

，，

（1）

易知，就是的矩阵的秩.因为复数总可以开平方，我们再作一非退化的线性替换

（2）

（1）就变为

（3）

（3）称为复二次型的规范形.显然，规范形完全被原二次型的矩阵的秩所决定.

定理3任意一个复系数的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.

定理3换个说法就是，任意一个复的对称矩阵合同于一个形式为

的对角矩阵.从而有，两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等.

对于实数域的情形

设是一个实系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换，再适当排列文字的次序，可使变为标准形，

（4）

，就是的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以，再作一非退化的线性替换

（5）

（4）就变为

（6）

（6）称为实二次型的规范形.显然，规范形完全被这两个数所决定.

定理4（惯性定理）任意一个实数域上的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.

定义3在实二次型的规范形中，正平方项的个数称为的正惯性指数，负平方项的个数称为的负惯性指数，它们的差称为的符号差.

惯性定理也可以叙述为，实二次型的标准形中系数为正的平方项个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项个数也是唯一的，它等于负惯性指数.

§4正定二次型

一授课内容：

§4正定二次型

二教学目的：

通过本节的学习，让学生掌握正定（负定，半正定，半负定，不定）二次型或矩阵.（顺序）主子式的定义，掌握各种类型的判别法.

三教学重点：

正定二次型.

四教学难点：

判别方法

五教学过程：

定义4实二次型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数都有.

显然，二次型

是正定的，因为只有在时，才为零.

一般的，实二次型

是正定的，当且仅当.

可以证明，非退化的实线性替换保持正定性不变.

定理5元实二次型是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于.

定理5说明，正定二次型的规范形为

（5）

定义5实对称矩阵称为正定的，如果二次型正定.

因为二次型（5）的矩阵是单位矩阵，所以一个实对称矩阵是正定的，当且仅当它与单位矩阵合同.

推论正定矩阵的行列式大于零.

定义6子式

称为矩阵的顺序主子式.

定理6实二次型

是正定的充分必要条件为矩阵的顺序主子式全大于零.

例判断二次型

是否正定.

解：

的矩阵为

它的顺序主子式

，，

因之，正定.

与正定性平行，还有下面的概念.

定义7设是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数，如果都有，那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果它既不是半正定又不是半负定，那么就称为不定的.

对于半正定，我们有

定理7对于实二次型，其中是实对称的，下面条件等价：

（1）是半正定的.

（2）它的正惯性指数与秩相等.

（3）有可逆实矩阵，使

，其中，.

（4）有实矩阵使.

（5）的所有主子式皆大于或等于零.

注意：

在（5）中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的.

比如，就是一个反例.