波动光学复习题.docx

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波动光学复习题

波动光学-复习题

第一章

1.2光自真空进入金刚石（nd=2.4）中，若光在真空中的波长λ0=600nm，试求该光波在金刚石中的波长和传播速度。

解：

，，

1.4有一个一维简谐波沿z方向传播，已知其振幅a=20mm，波长λ=30mm，波速v=20mm/s，初相位φ0=π/3。

（1）试问该简谐波的振动物理量是什么？

（2）写出该简谐波的波函数。

（3）试在同一图中画出t=0和t=0.5s两个时刻的波形图（z的范围自0~2λ），并指出波的传播方向。

解：

（1）EB

（2）该简谐波的波函数如下：

（3）该波沿z轴方向传播。

1.6试求一维简谐波的相速度，问该简谐波的传播方向为何？

（z和t的单位分别是米和秒）

解：

将z写成：

，

，，

试求该波的频率、波长、传播速度，并求玻璃的折射率。

解：

，

频率：

1.28一束平面光波以布儒斯特角入射到一透明平行平板上，试证明在平板上、下表面反射的都是线偏振光。

证明：

如图，设平板的折射率为n，上、下皆为空气，当光线以布儒斯特角入射时，则有：

sinθB=nsinθt，由于平班上、下表面平行，，现在只要证明θt正好为下表面的布儒斯特角即可。

由上式：

，根据布儒斯特定律，布儒斯特角为：

，θB+θt=90°

∵平板两表面平行，对于下表面来说，

，，

对于下表面也是布儒斯特角，所以反射光也为线偏振光。

1.33一玻璃平板（n=1.5）置于空气中，设一束振幅为E0、强度为I0的平行光垂直射到玻璃表面上，试求前三束反射光R1、R2、R3和前三束透射光T1、T2、T3的振幅和强度。

（图见书p49）

解：

根据菲涅耳公式，当光线垂直入射时，有：

，

对于上表面，有：

，

，

对于下表面，有：

，，，

先看反射光：

R1反射一次，

R2：

R3：

强度：

，，

对于透射光，T1：

T2：

T3：

，，

1.35一束振动方向平行于入射面的平行光以布儒斯特角射到玻璃棱镜（n=1.5）的侧面AB上，如图所示，欲使入射光通过棱镜时没有反射损失，问棱镜顶角A应为多大？

解：

与入射面平行的是P分量，当以布儒斯特角入射到界面上时，P分量的反射系数为0，没有能量损失。

所以，只要该光线在AC面上仍旧以布儒斯特角入射，就没有反射损失。

，

在AC面上，

由1-28题可知，当时，

所以此时光线在AB面上也满足布儒斯特定律

θB

又因为，D是AB、AC两法线的交点，

，，

，

1.38如图所示，一直角棱镜（n=1.5）置于空气中，试问为了保证在棱镜斜面上发生全反射，最大入射角αmax为何？

解：

若要在斜面上全反射，则

，

θt与θc之间的关系是：

，

答：

最大入射角约为4.79°

第三章光的干涉

3.1试利用复数表示法求下述两个波：

的合成波函数，并说明该合成波的主要特点。

解：

，

，这是两个传播方向相反的波，合成后为驻波，利用驻波合成：

，该驻波满足时，为驻波；满足时，为波节。

3.3有两个波面与y轴平行的单色平面波分别以α1和α2角射向观察屏II（z=0平面），如图所示。

已知此两光波的振幅均为E0，振动方向平行于xz平面，波长λ=500mm，初相位分别为φ10=0，φ20=30°。

（1）试求沿x轴的光强分布表达式；

（2）试问距离O点最近的光强极大值位置为何？

（3）设α1=20°，α2=30°，求x方向光强度分布（即条纹）的空间频率和空间周期。

（4）求干涉条纹的反衬度。

解：

根据空间频率的计算公式，在x轴方向，波的空间频率分别为：

，

现在，两列波在xy面上相遇并干涉，则在xy面上，波的复振幅可表示为：

，或可表示为

，或可表示为

所以，干涉场为：

则光强为：

，其中，

利用欧拉公式，

将φ1、φ2代入，最终得到：

当时，为干涉极大，；当m=0时，，此时，为距O点最近的极大处。

求出m=0时条纹位置和m=1时条纹位置，它们的差就是条纹的间距。

当m=1时，，

与m=0时的位置之差：

其空间频率为空间周期的倒数，则：

。

（4）由公式：

，其中α为两支光的振动方向的夹角，可以得到：

所以，此时干涉条纹的反衬度为0.71。

3.5在杨氏实验装置的一个小孔s1后面放置一块n=1.5、厚度h=0.01mm的薄玻璃片，如图所示。

试问与放玻璃片之前相比，屏II上干涉条纹将向哪个方向移动？

移动多少个条纹间距？

（设光源波长为500nm）。

解：

（1）放入玻璃片之后，由s1到达P点的光波的光程增加，所以，屏上的干涉条纹的零级将向上方移动。

（2）由厚度为h的玻璃片引进的光程差为，由于这个光程差，使原来的0级条纹可能移动到了P处，原来P处的条纹可能是m级，mλ是s1P和s2P的差，现在这个差被h中和了，，

，条纹移动了10个间距。

3.6在图3-16的杨氏干涉装置中，设光源s是一个轴外点光源，位于ξ=0.2mm处，光源波长λ=550nm。

已知双缝间距l=1mm，光源至双缝距离a=100mm，双缝至观察屏II的距离d=1m。

试求：

（1）屏II上的强度分布；

（2）零级条纹的位置；（3）条纹间距和反衬度。

解：

由于s位于轴外，此时由s发出的经s1、s2到达P点的光的光程差就由两部分组成：

，所以，根据干涉公式：

（1）屏上的光强分布为。

（2）零级条纹位于Δ=0处，

，，，

零级条纹位于P点下方2mm处。

（3）条纹间距为：

当为2mπ时，，

当为（2m+1）π时，，，。

3.9已知He–Ne激光器的波长λ=632.8nm，谱线宽度约为0.00006nm，试问若用它作为光源，干涉条纹的最高干涉级和相干光程各为何？

解：

由公式：

最大干涉级，相干长度

3.11假设图示菲涅耳双棱镜的折射率n=1.5，顶角α=0.5°，光源s和观察屏II至双棱镜的距离分别为a=100mm和d=1m，若测得屏II上干涉条纹间距为0.8mm，试求所用光源波长的大小。

解：

根据双棱镜干涉的公式：

屏幕上条纹间距为，

3.13瑞利干涉仪可用来测量媒质折射率的大小，其光路如图所示，T1和T2是两个完全相同的玻璃管，对称地放置在双缝S1、S2后的光路中。

通过玻璃管的两束光被透镜L2汇聚在屏II上产生干涉条纹。

测量时，光在T1、T2管内以相同气压的空气开始观察干涉条纹；然后把T1管逐渐抽成真空，与此同时计数到条纹向下移动了49条。

其后，再向T1管内充以相同气压的CO2气体，观察到条纹回到原位后又向上移动了27条。

已知管长为100mm，光源波长为589nm，试求空气和CO2气体的折射率大小。

解：

（1）移动的49个条纹是由两路光程不一样引起的，即此时两路光的光程差为Δ1=49λ，此是由管内分别为空气和真空引起的，所以：

，，=1.00028861

将CO2充入T1后，条纹回到原位又向上移了27条，这27条是空气和CO2的折射率不同造成的，，或者，与真空的T1管情况相比条纹共移动了27+49=76条，这是由真空和CO2的折射率不同引起的，所以，由此可求出nCO2：

或：

3.14在海定格干涉仪中，设平板玻璃折射率为n=1.5，板厚d=2mm，宽光源s的波长λ=600nm，透镜焦距f=300mm。

试求：

（1）干涉条纹中心的干涉级，试问是亮纹还是暗纹；

（2）从中心向外数第8个暗环的半径及第8个和第9个暗纹间的条纹间距；

（3）条纹的反衬度。

解：

（1）诲定格干涉仪圆环中心处对应的干涉级为：

，所以中心处为暗级。

（2）从中心处自外数，第8个暗纹的半径为：

，N=8

第9个暗纹的半径为（N=9）：

所以，它们的条纹间距为：

（3）在不考虑其它因素的情况下（可以用扩展光源，光源只有一个λ），干涉条纹的反衬度与I1、I2有关，海定格干涉仪是双光束反射光干涉，其第一支光的反射光强为0.04I0，I0为入射光强，第二支反射光的光强度为0.037I0，所以：

，当时，有：

，当时，有：

3.15一束波长λ=600nm的平行光垂直照射到位于空气中的薄膜上，设薄膜的折射率为n=1.5。

试问使两表面反射光干涉抵消的最小薄膜厚度为多少？

解：

此为一平行光正入射的平行平板的双光束反射光干涉，根据光程差公式：

，，，，

若干涉相消，即得到暗纹，

，即时，得到暗纹，所以，

当时，干涉相消；当m=1时，d最小，

，最小膜厚为200nm。

3.16利用干涉法测细丝直径，如书上图。

形成的是空气楔。

当用λ=589nm的纳黄光垂直照明时，可观察到10个条纹，试求细丝直径φ的大小。

解：

此时是等厚条纹，相邻亮纹或暗纹处所对应的厚度差为λ/2，所以，厚度差即细丝的直径为：

。

3.19在平凸透镜和平晶产生牛顿环的装置中，若已知透镜材料的折射率为1.5，照明光波波长为λ=589nm，测得牛顿环第5个暗环半径为1.2mm，试问透镜曲率半径？

解：

根据牛顿环的公式，第k个暗纹的半径与透镜的曲率半径之比为：

，

现k=5，则

3.21在做迈克尔逊干涉仪实验时，若将钠灯作为光源，则在移动M1镜的过程中会看到条纹由清晰到模糊再到清晰的周期变化。

已知纳双线的波长分别为589nm和589.6nm，试问在条纹相继两次消失之间，M1镜动了多少距离？

解：

设现在纳双线的波长分别为λ1、λ2，显然当波长λ1的单色光的亮条纹和波长为λ2的单色的亮条纹重合时，条纹的可见度最好，即为清晰可见；而当λ1的亮条纹和λ2的暗条纹重合时，条纹消失，此时相当于光程差等于λ1的整数倍和λ2的半整数倍的情形，此时的光程差可表示为：

，，

当h增加Δh时，条纹两次消失，但这时两种波长的干涉级的差增加了1，所以：

，与上式相减：

，。

将纳双线的波长代入，可得到：

。

可以这样理解，λ1的m级和λ2的m+1级重合时，条纹清晰，当λ1的m级和λ2的m+2级重合时，条纹又变得清晰，两次重合之间条纹的级差为1，条纹消失也是如此。

3.24设法–珀干涉仪两反射镜的距离d=2mm，准单色宽光源波长λ=546nm，透镜焦距f=320mm。

试求从中心向外算第6个亮纹的角半径，半径和条纹间距。

解：

根据公式：

半径：

，

条纹间距：

3.26汞的同位素Hg198、Hg200、Hg202和Hg204在绿光范围各有一条特征谱线，波长分别为546.0753nm、546.0745nm、546.0734nm和546.0728nm。

分别用一法–珀标准具（ρ=0.9）分析这一精细结构，试问标准具的间隔d需要满足什么条件？

解：

标准具的自由光谱范围为，

其分辨率为：

要使用此干涉仪，可使用λ=546nm，最小的波长差为δλ，最大的波长差为Δλ。

，=0.0025nm

，即，当m=30537时，G=0.0179nm，该标准具所允许的最大波长差为0.0179nm。

而题中，4个波长的最大差别为：

546.0753-546.0728=0.0025nm，小于0.0179nm，符合要求，可以用此标准具来测量。

根据法–珀的光程差公式，，n=1，

，所以，标准具的间隔大于8.3mm即可。

第四章

4.4波长为546nm的绿光垂直照射到缝宽为1mm的狭缝，在狭缝后面放置一个焦距为1m的透镜透镜，将衍射光聚焦在透镜后焦面的观察屏上。

试求：

（1）衍射图形中央亮环的宽度与角宽度；

（2）衍射图形中央两侧2mm处的辐照度与中央辐照度的比值。

解：

（1）根据单缝衍射的公式，，时为极小，则当m=1时，得到的是中央亮环的半角宽度，此时：

，中央亮环的角宽度为2θ，

亮环宽度

（2）根据辐照度公式：

，

则，距中央2mm处的辐照度为：

，它和中央的辐照度之比为：

由此可见，此处的辐照度很低，可以认为基本为0。

4.5如图所示，一束平行光以角β