最新北师大版初中八年级数学下册14江西中考特色专题平行四边形中的设计作图与几何探究问题.docx

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最新北师大版初中八年级数学下册14江西中考特色专题平行四边形中的设计作图与几何探究问题

江西中考特色专题：

平行四边形中的设计作图与几何探究问题

类型一　平行四边形中的设计作图

1．（2016·吉林中考）图①，图②都是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点．

（1）请在图①，图②中，以4个标注点为顶点，各画一个平行四边形（两个平行四边形不全等）；

（2）图①中所画的平行四边形的面积为________．

2．如图，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB上，且四边形AEBF是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留作图痕迹，不写作法），并说明理由．

3．（2017·吉州区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC上，且AE＝EC，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹）．

（1）在图①中，画出∠DAE的平分线；

（2）在图②中，画出∠AEC的平分线．

4．（2017·吉安期末）如图①，②，在▱ABCD中，AC为对角线，AC＝BC，AE是△ABC的中线．

（1）在图①中用无刻度的直尺画出△ABC的高CH；

（2）在图②中用无刻度的直尺画出△ADC的高AK.

类型二　代几结合问题

5．在▱ABCD中，对角线AC，BD交于O点，AC＝6，BD＝2，设AB的长为x，将x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）

6．如图①，在▱ABCD中，∠B＝120°，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为xcm，△PAB的面积为ycm2，y关于x的函数的图象如图②所示，则图②中H点的横坐标为（　　）

A．11B．14C．8＋

D．8＋3

第6题图第7题图

7．（2016·无锡中考）如图，已知▱OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为________．

8．已知直线y＝2x＋4与x轴、y轴的交点分别为A，B，y轴上点C的坐标为（0，2），找一点P，使得以P，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为____________________．

9．在平面直角坐标系中，▱OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y＝2x＋1以每秒1个单位的速度向下平移，经过________秒该直线可将▱OABC的面积平分．

10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8，BC＝16，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设运动时间为t秒．

（1）当t为多少时，四边形ABQD是平行四边形？

（2）当t为多少时，四边形ABQP是平行四边形？

类型三　几何探究问题

11．（2016·常州中考）如图，在△APB中，AB＝2，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是________．

第11题图　第12题图

12．如图，在▱ABCD中，分别以AB，AD为边向外作等边△ABE和等边△ADF，延长CB交AE于点G，点G落在点A，E之间，连接EF，CF，CE.则以下四个结论：

①CG⊥AE；②△CDF≌△EBC；③∠CDF＝∠EAF；④△ECF是等边三角形．其中一定正确的是__________（填序号）．

13．（2016·牡丹江中考）在▱ABCD中，点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点，AP∥CQ，AD＝BD.

（1）如图①，求证：

BP＋BQ＝BC；

（2）请直接写出图②，图③中BP，BQ，BC三者之间的数量关系，不需要证明；

（3）在

（1）和

（2）的条件下，若DQ＝1，DP＝3，则BC＝________．

14．（2016·龙东中考）已知点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点．

（1）当点P与点O重合时，如图①，易证OE＝OF（不需证明）；

（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE＝30°时，如图②、图③的位置，猜想线段CF，AE，OE之间有怎样的数量关系？

请写出你对图②、图③的猜想，并选择一种情况给予证明．（提示：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

参考答案与解析

1．解：

（1）如图①，图②所示．

（2）6

2．解：

如图，OP是∠AOB的平分线．理由如下：

由四边形AEBF是平行四边形可得AP＝BP.又因为OA＝OB，则OP是等腰三角形OAB底边AB上的中线，所以OP是∠AOB的平分线．

3．解：

（1）如图①所示，AC即为所求．

（2）如图②所示，EO即为所求．

4．解：

（1）△ABC的高CH如图①所示．

（2）△ADC的高AK如图②所示．

5．C

6．B　解析：

作CM⊥AB于M.当点P在CD上运动时，△PAB的面积不变，由图②得BC＝4cm，∵∠ABC＝120°，∴∠CBM＝60°，∴∠MCB＝30°，∴BM＝

BC＝2cm，∴CM＝2

cm.∵△ABC的面积＝

AB·CM＝

AB×2

＝6

，∴AB＝6cm，∴OH＝4＋6＋4＝14（cm），∴点H的横坐标为14.故选B.

7．5　解析：

当点B在x轴上时，对角线OB长最小．如图所示，直线x＝1与x轴交于点D，直线x＝4与x轴交于点E，根据题意得∠ADO＝∠CEB＝90°，OD＝1，OE＝4.∵四边形OABC是平行四边形，∴OA＝BC，OA∥BC，∴∠AOD＝∠CBE.在△AOD和△CBE中，

∴△AOD≌△CBE（AAS），∴OD＝BE＝1，∴OB＝OE＋BE＝5.

8．（－2，－2）或（－2，2）或（2，6）　解析：

∵直线y＝2x＋4，当y＝0时，x＝－2.当x＝0时，y＝4，∴A（－2，0），B（0，4），∴OB＝4，OA＝2.∵点C的坐标为（0，2），∴OC＝2，∴BC＝OB－OC＝2.当AC为对角线时，点P的坐标为（－2，－2）；当AB为对角线时，点P的坐标为（－2，2）；当BC为对角线时，点P的坐标为（2，6）．综上所述，以P，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形时，点P的坐标为（－2，－2）或（－2，2）或（2，6）．

9．6　解析：

连接AC，BO，交于点D，如图所示．当直线y＝2x＋1经过点D时，该直线可将▱OABC的面积平分．∵四边形AOCB是平行四边形，∴BD＝OD.∵B（6，2），∴D（3，1）．设直线y＝2x＋1平移后的直线为y＝2x＋b，∵过D（3，1），∴2×3＋b＝1，∴b＝－5，∴y＝2x－5，∴直线y＝2x＋1要向下平移6个单位，∴时间为6秒．

10．解：

（1）当四边形ABQD为平行四边形时，AD＝BQ＝8.∵点Q速度为2个单位/秒，∴CQ＝2t，BQ＝BC－CQ＝16－2t，∴16－2t＝8，解得t＝4，即当t为4秒时，四边形ABQD是平行四边形；

（2）当四边形ABQP为平行四边形时，AP＝BQ.∵点P，Q的速度分别为1个单位/秒、2个单位/秒，∴AP＝t，BQ＝16－2t，∴t＝16－2t，解得t＝

，即当t为

秒时，四边形ABQP是平行四边形．

11．1　解析：

延长EP交BC于点F，∵∠APB＝90°，∠APE＝∠BPC＝60°，∴∠EPC＝150°，∴∠CPF＝180°－150°＝30°＝

∠CPB，∴PF平分∠BPC.又∵PB＝PC，∴PF⊥BC.设Rt△ABP中，AP＝a，BP＝b，则CF＝

CP＝

BP＝

b，a2＋b2＝22＝4.∵△APE和△ABD都是等边三角形，∴AE＝AP，AD＝AB，∠EAP＝∠DAB＝60°，即∠EAD＋∠DAP＝∠PAB＋∠DAP，∴∠EAD＝∠PAB，∴△EAD≌△PAB（SAS），∴ED＝PB＝CP，同理可得△APB≌△DCB（SAS），∴EP＝AP＝CD，∴四边形CDEP是平行四边形，∴四边形CDEP的面积为EP·CF＝a·

b＝

ab.又∵（a－b）2＝a2－2ab＋b2≥0，∴2ab≤a2＋b2＝4，∴

ab≤1，即四边形PCDE面积的最大值为1.

12．②③④　解析：

∵在等边△ABE中，顶角平分线、底边上的中线、高是同一条线段，∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG＝30°，∠ABC＝150°，而题目缺少这个条件，∴CG⊥AE不能求证，故①错误；∵△ABE、△ADF是等边三角形，∴FD＝AD，BE＝AB.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝DC，∠ABC＝∠CDA，∴FD＝BC，BE＝DC.∵∠FDA＝∠ABE＝60°，∴∠CDF＝∠EBC，∴△CDF≌△EBC，故②正确；∵∠FAE＝∠FAD＋∠DAB＋∠BAE＝60°＋（180°－∠CDA）＋60°＝300°－∠CDA，∠FDC＝360°－∠FDA－∠ADC＝360°－60°－∠ADC＝300°－∠CDA，∴∠CDF＝∠EAF，故③正确；由②③可得∠CBE＝∠EAF＝∠CDF.∵BC＝AD＝AF，BE＝AE，∴△EAF≌△EBC，∴∠AEF＝∠BEC，∴∠AEF＋∠FEB＝∠BEC＋∠FEB＝∠AEB＝60°，∴∠FEC＝60°.由②可得△CDF≌△EBC，∴CF＝CE，∴△ECF是等边三角形，故④正确；∴正确的有②③④.

13．

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD.∵AP∥CQ，∴∠APQ＝∠CQB，∴△ADP≌△CBQ，∴DP＝BQ.∵AD＝BD，AD＝BC，∴BD＝BC.∵BD＝BP＋DP，∴BP＋BQ＝BC.

（2）解：

图②：

BQ－BP＝BC，图③：

BP－BQ＝BC　解析：

图②同

（1）可证△ABP≌△CDQ，∴BP＝DQ，∴BC＝AD＝BD＝BQ－DQ＝BQ－BP；图③同理得△ADP≌△CBQ，∴PD＝BQ，∴BC＝AD＝BD＝BP－PD＝BP－BQ.

（3）解：

2或4　解析：

图①，BC＝BP＋BQ＝DQ＋PD＝1＋3＝4；图②，BC＝BQ－BP＝PD－DQ＝3－1＝2，∴BC＝2或4.

14．解：

（2）图②中的结论为CF＝OE＋AE，图③中的结论为CF＝OE－AE.

选图②中的结论，证明如下：

延长EO交CF于点G.∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO＝∠GCO.∵点O为AC的中点，∴AO＝CO.在△EOA和△GOC中，

∴△EOA≌△GOC，∴EO＝GO，AE＝CG.在Rt△EFG中，∵EO＝OG，∴OE＝OF＝GO.∵∠OFE＝30°，∴∠OFG＝90°－30°＝60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF＝GF.∵OE＝OF，∴OE＝FG.∵CF＝FG＋CG，∴CF＝OE＋AE.

选图③的结论，证明如下：

延长EO交FC的延长线于点G.∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠AEO＝∠G.∵点O为AC的中点，∴AO＝CO.在△AOE和△COG中，

∴△AOE≌△COG，∴OE＝OG，AE＝CG.在Rt△EFG中，∵OE＝OG，∴OE＝OF＝OG.∵∠OFE＝30°，∴∠OFG＝90°－30°＝60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF＝FG.∵OE＝OF，∴OE＝FG.∵CF＝FG－CG，∴CF＝OE－AE.