最大公因数相关应用题.docx

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最大公因数相关应用题

小学应用题基础解法——最大公因数法

1、最大公因数的概念：

几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

2、最大公因数的性质：

（1）两个数分别与它们的最大公因数的商一定是互质数。

（2）两个数的公因数都是这两个数的最大公因数的因数。

3、解答公因数问题的关键

从公因数的意义入手来分析，把原题归结为求几个数的公因数问题。

▓▓最大公因数相关应用题▓▓

例1：

甲班有42名学生，乙班有48名学生，现在要把这两个班的学生平均分成若干个小组，并且使每个小组都是同一个班的学生。

每个小组最多有多少名学生？

解：

要使每小组都是同一个班的学生，且每小组的人数尽可能多，就要求出42和48的最大公因数：

（42、48）=6

所以，每个小组最多能有6名学生。

例2：

有一张长150厘米、宽60厘米的长方形纸板，要把它分割成若干个面积最大，井已面积相等的正方形。

能分割成多少个正方形？

解：

因为分割成的正方形的面积最大，并且面积相等，所以正方形的边长应是150和60的最大公因数。

正方形的边长：

（150、60、30）=30（厘米）

长可以分：

150÷30=5（个）

宽可以分：

60÷30=2（个）

所以，这个长方形能分割成正方形：

5×2=10（个）

例3：

有一个长方体的方木，长是3.25米，宽是1.75米，厚是0.75米。

如果将这块方木截成体积相等的小正方体木块，并使每个小正方体木块尽可能大。

小木块的棱长是多少？

可以截成多少块这样的小木块？

解：

3.25米=325厘米，1.75米=175厘米，0.75米=75厘米。

根据题意，小立方体一条棱长应是长方体长、宽、厚的最大公因数。

即：

（325、175、75）=25（厘米）

长可以分：

325÷25=13（段）

宽可以分：

175÷25=7（段）

高可以分：

75÷25=3（段）

所以，长方体可以截成这样的小木块：

13×7×3=273（个）

例4：

有一个两位数，除50余2，除63余3，除775。

求这个两位数是多少？

解：

这个两位数除50余2，则说明它是（52－2）的因数。

同理，这个两位数也是（63－3）、（77－5）的因数。

而48、60、72的公因数1、2、3、4、6、12。

所以，满足条件的只有公因数12，即（48、60、72）=12。

例5：

有三根绳子，第一根长45米，第二根长60米，第三根长75米。

现在要把三根长绳截成长度相等的小段。

每段最长是多少米？

一共可以截成多少段？

解：

根据题意，每一小段绳子最长度就是三条绳子长度的最大公因数。

每一小段绳子最长：

（45、60、75）=15（米）

第一根可以截成：

45÷15=3（段）

第二根可以截成：

60÷15=7（段） 

第三根可以截成：

75÷15=5（段）

总共可以截成：

3+4+5=12（段）

例6：

某校有男生234人，女生146人，把男、女生分别分成人数相等的若干组后，男、女生各剩3人。

要使组数最少，每组应是多少人？

能分成多少组？

解：

因为男、女生各剩3人，所以进入各组的男、女生的人数分别是：

男：

234－3=231（人）、女：

146－3=143（人）

要使组数最少，每一组的人数应当是最多的，即每一组的人数应当是231人和143人的最大公因数。

即每一组是：

（231、143）=11（人）

男生可以分为：

231÷11=21（组）

女生可以分为：

143÷11=13（组）

总共可以分为：

21+13=34（组）

例7：

把330个红玻璃球和360个绿玻璃球分别装在小盒子里，要使每一个盒里玻璃球的个数相同且装得最多。

一共要装多少个小盒？

解：

求一共可装多少个盒子，要知道红、绿各装多少盒。

要将红、绿分别装在盒子中，且每盒子里球的个数相同，装的最多，则每盒球的个数必是330和360的最大公因数。

每盒装玻璃球：

（330、360）=30（个）

红球装的盒数：

330÷30=11（盒）

绿球装的盒数：

360÷30=12（盒）

一共装的盒数：

11+12=23（盒）

例8：

李明昨天卖了三筐白菜，每筐白菜的重量都是整千克。

第一筐卖了1.04元，第二筐卖了1.95元，第三筐卖了2.34元。

每1千克白菜的价钱都是按当地市场规定的价格卖的。

问三筐白菜各是多少千克，李明一共卖了多少千克白菜？

解：

三筐白菜的钱数分别是104分、195分、234分，每千克白菜的价钱是这三个数的公因数。

每千克白菜的价钱：

（104、195、234）=13（元）

第一筐白菜：

1.04÷0.13=8（千克）

第二筐白菜：

1.95÷0.13=15（千克）

第三筐白菜：

2.34÷0.13=18（千克）

一共卖白菜：

8+15+18=41（千克）

例9：

同学们买了96朵百合花和72朵玫瑰花送个老师，两种花混在一起扎成一束，想要扎成每束百合花、玫瑰花朵数相同，最多扎几束？

每束几朵百合花，几朵玫瑰花？

分析：

要把96朵百合花和72朵玫瑰花做成花束，每束花里的百合花、玫瑰花朵数同样多，那么做成花束的个数一定是96和72的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公因数。

最多可以做花束：

（96、72）＝24 （个）

每个花束里百合花有：

96÷24＝4（朵）

每个花束里玫瑰花有：

72÷24＝3（朵） 

每个花束里最少有：

4+3＝7（朵） 

▓▓随堂演练▓▓

1.把8只大闸蟹与12只小丑鱼混在一起分组，每组中大闸蟹的数量相等，小丑鱼的数量也相等，且大闸蟹和小丑鱼全部分完，可以怎么分?

2.现有语文课本42本，数学课本70本，平均分成若干堆，每堆中这两本书的数量分别相等，最多可以分成多少堆？

每堆中两种课本分别是多少本？

3.植树节这天，某校老师带领24名男生和36名女生到公园去植树，老师要把他们分成人数相等的若干小组，每个小组中的男生人数相等，请问这60名同学最多能分成几组？

此时各有多少名男生和女生？

4.张老师要把35支钢笔和42本练习本平均奖给六

（1）班被评为“三好学生”同学，结果钢笔缺1支，练习本多2本，问六

（1）班被评为“三好学生”的同学最多有多少人？

5.三根钢管，一根长24m，一根长18m，一根长36m，要把它们截成同样长的小段，每段最长是多少米？

6.新年联欢会上，张老师把42个打气球和30个小气球平均分给几个小组，正好分完。

最多可以分给几个小组？

每个小组分的大、小气球各多少个？

7.一张长方形纸的长84厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的正方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没剩余，正方形的边长可以是多少厘米？

能截多少个正方形？

8.有一堆西瓜与一堆木瓜，分别为24个与36个，将其各分成若干小堆，各小堆的个数要相等，则每小堆最多几个？

这时候西瓜分成多少小堆？

木瓜分成多少小堆 ？

9.甲、乙两队学生，甲队有121人，乙队有143人，各分成若干组，各组人数要相等，则每组最多有几人 ？

这时候甲队可分成多少组？

 乙队可分成多少组？

10.雨辰小学五年二班有54人，五年三班有63人，两班决定分小组去博物馆参观，两班每组人数相等并且没有剩余每小组最多有多少人？

每个班可以分多少个小组？

11.已知A和B的最大公因数是31，且A×B＝5766，求A和B。

▓▓课后作业▓▓

1.为迎接六·一，学校组织了男生48人，女生36人的合唱队，男女生分别排队，要使每排人数相同，每排最多有多少人？

2.学校有一块长90米，宽60米的劳动基地，要把它划分成几块正方形的小地（面积相等而且没有剩余，且边长是整米数），每块地的面积最大是多少？

3.为了奖励六·一节表现优秀的同学，王老师买了29本日记本，19本作文本，平均分给这些同学，结果日记本多了2本，作文本多了1本，每人分得的奖品同样多，表现优秀的最多有几位同学？

4.为了排练舞蹈，王老师买了三根木棒，他们的长度是16dm、20dm、48dm ，要截成尽可能长而又相等的小段，一共能截多少段？

5.把长120厘米，宽80厘米的长方形铁板裁成面积相等，最大的正方形而且没有剩余，可以裁多少块？

6.把一张长72厘米，宽60厘米的长方形纸，裁成同样大小、面积尽可能大的正方形纸，纸无剩余，至少能裁多少张？

7.把长132厘米，宽60厘米，厚36厘米的木料锯成尽可能大的，同样大小的正方体木块，锯后不能有剩余，能锯成多少块？

8.用某数去除218，170，290都余2，问某数最大是多少？

9.用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。

若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？

每个花束里至少要有几朵花？

10.用24朵红花、36朵黄花和48朵紫花作成花束，要使花束里有同样多的花。

这些花最多能做多少花束？

11.现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？

每个班至少分到了三种水果各多少千克？

12.春节看望干部，买320个苹果，240个橘子，200个梨，把这些果品全部分成同同样的礼物，最多可分多少份?

在每份礼物中，苹果 橘子 梨各多少?

13.有三根铁丝，一根长54米，一根长72米，一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？

14.客厅长600厘米，宽690厘米，如果铺上正方形的阶砖，每块阶砖的边长最大是多少？

小升初专项练习--最大公因数与最小公倍数相关应用题

1、最大公因数与最小公倍数的概念

几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

2、最大公因数和最小公倍数的性质 

（1）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质数。

（2）两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数， 

（3）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

3、解答公因数或公倍数问题的关键

从因数和倍数的意义入手来分析，把原题归结为求几个数的公因数或公倍数问题。

▓▓最大公因数相关应用题▓▓

例：

有一个长方体的木头，长3.25米，宽1.75米，厚0.75米。

如果把这块木头截成许多相等的小立方体，并使每个小立方体尽可能大，小立方体的棱长及个数各是多少？

解：

根据题意，小立方体一条棱长应是长方体长、宽、厚的最大公因数。

即：

（325、175、75）=25（厘米）

因为325÷25=13；     175÷25=7 ；      75÷25=3

所以13×7×3=273（个）或（325×175×75）÷（25×25×25）=273

例：

有一个两位数，除50余2，除63余3，除775。

求这个两位数是多少？

解：

这个两位数除50余2，则用他除（52－2）恰好整除。

即，这个两位数是48的因数。

同理，这个两位数也是（63－3）、（77－5）的因数。

所以，这个两位数只可能是48、60、72的公因数1、2、3、4、6、12，而满足条件的只有公因数12，即（48、60、72）=12。

练 习 

1、新年联欢会上，张老师把42个打气球和30个小气球平均分给几个小组，正好分完。

最多可以分给几个小组？

每个小组分的大、小气球各多少个？

2、雨辰小学五年二班有54人，五年三班有63人，两班决定分小组去博物馆参观，两班每组人数相等并且没有剩余每小组最多有多少人？

每个班可以分多少个小组？

3、同学们买了24朵百合花的18朵玫瑰花送个老师，两种花混在一起扎成一束，想要扎成每束百合花、玫瑰花朵数相同，最多扎几束？

每束几朵百合花，几朵玫瑰花？

4、明明有一张长84厘米，宽60厘米的长方形纸板，剪成边长相等的小正方形，边长最长是多少？

可以剪几块？

例：

有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。

现在要把它们截成同样长的小段。

每段最长可以有几米？

一共可以截成多少段？

分析：

截成的小段一定是18、24、30的最大公因数。

先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截成多少段。

（18、24、30）＝6        （18+24+30）÷6＝12段 

例：

一张长方形纸的长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的正方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没剩余，正方形的边长可以是多少厘米？

能截多少个正方形？

分析：

要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没剩余，这样正方形边长一定是60和36的最大公因数。

即：

（36、60）＝12

（60÷12）×（36÷12）＝15个 

例：

用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。

若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？

每个花束里至少要有几朵花？

分析：

要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做成花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的个数一定是96和72的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公因数。

（1）最多可以做多少个花束？

       （96、72）＝24

（2）每个花束里有几朵红玫瑰花？

       96÷24＝4朵 

（3）每个花束里有几朵白玫瑰花？

       72÷24＝3朵 

（4）每个花束里最少有几朵花？

         4+3＝7朵 

练 习

1、有一堆西瓜与一堆木瓜，分别为24个与36个，将其各分成若干小堆，各小堆的个数要相等，则每小堆最多几个？

这时候西瓜分成多少小堆？

木瓜分成多少小堆 ？

2、甲、乙两队学生，甲队有121人，乙队有143人，各分成若干组，各组人数要相等，则每组最多有几人 ？

这时候甲队可分成多少组？

 乙队可分成多少组？

3、今有梨320个，糖果240个，饼干200个，将这些东西分成相同的礼品包送给儿童，但包数要最多，则每包有多少个梨？

 有多少个糖果？

 有多少个饼干？

4、有一张长6公分，宽4公分的长方形色纸，将它剪成最大的正方形而不浪费纸，此正方形边长为几公分 ？

课后练习

把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成面积相等，最大的正方形而且没有剩余，可以裁成多少块？

把一张长72厘米，宽60厘米的长方形纸，裁成同样大小、面积尽可能大的正方形纸，纸无剩余，至少能裁多少张？

把长132厘米，宽60厘米，厚36厘米的木料锯成尽可能大的，同样大小的正方体木块，锯后不能有剩余，能锯成多少块    

用某数去除218，170，290都余2，问某数最大是多少？

用96朵红花和72朵白花做成花束，如果各花束里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？

用24朵红花.36朵黄花和48朵紫花作成花束，要使花束里有同样多的花。

这些花最多能做多少花束？

现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？

每个班至少分到了三种水果各多少千克？

春节看望干部，买320个苹果，240个橘子，200个梨，把这些果品全部分成同同样的礼物，最多可分多少份?

在每份礼物中，苹果 橘子 梨各多少?

有三根铁丝，一根长54米，一根长72米，一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？

已知A和B的最大公因数是31，且A×B＝5766，求A和B。

▓▓最大公因数相关应用题▓▓

例：

公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。

第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。

三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？

分析：

这个时间一定是5的倍数、10的倍数、6的倍数，也就是说是5、10和6的公倍数；

“最少多少时间”，那么，一定是5、10、6的最小公倍数。

［5、10、6］＝30

练 习

1、利用每一小块长6公分，宽4公分的长方形彩色瓷砖在墙壁上贴成正方形的图案.问:

拼成的正方形的边长可能是多少？

2、王伯伯有三个小孩，老大3天回家一次，老二4天回家一次，老三6天回家一次，这次10月1日一起回家，则下一次是几月几日一起回家？

3、美美客运有A，B两种车，A车每45分发车一次，B车每1小时发车一次，两车同时由上午6点发车，下一次同时发车是什麼时候 ？

例：

某厂加工一种零件要经过三道工序。

第一道工序每个工人每小时可完成3个；第二道工序每个工人每小时可完成12个；第三道工序每个工人每小时可完成5个。

要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安排几个工人最合理？

分析：

安排每道工序人力时，应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数。

这个零件个数一定是每道工序每人每小时完成零件个数的公倍数。

至少安排的人数，一定是每道工序每人每小时完成零件个数的最小公倍数。

（1）在相同的时间内，每道工序完成相等的零件个数至少是多少？

  ［3、12、5］＝60

（2）第一道工序应安排多少人？

         60÷3＝20人 

（3）第二道工序应安排多少人？

        60÷12＝5人 

（4）第三道工序应安排多少人？

         60÷5＝12人 

例：

有一批机器零件。

每12个放一盒，就多出11个；每18个放一盒，就少1个；每15个放一盒，就有7盒各多2个。

这些零件总数在300至400之间。

这批零件共有多少个？

分析：

每12个放一盒，就多出11个，就是说，这批零件的个数被12除少1个；每18个放一盒，就少1个，就是说，这批零件的个数被18除少1；每15个放一盒，就有7盒各多2个，多了2×7＝14个，应是少1个。

也就是说，这批零件的个数被15除也少1个。

 如果这批零件的个数增加1，恰好是12、18和15的公倍数。

① 刚好能12个、18个或15个放一盒的零件最少是多少个？

    ［12、18、15］＝180

② 在300至400之间的180的倍数是多少？

            180×2＝360

③ 这批零件共有多少个？

                            360-1＝359个 

例：

有一批水果，总数在1000个以内。

如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。

这批水果共有多少个？

分析：

根据题意可知，这批水果再增加2个后，每24个装一箱，每28个装一箱或每32个装一箱都能装整箱数，也就是说，只要把这批水果增加2个，就正好是24、28和32的公倍数。

我们可以先求出24、28和32的最小公倍数672，再根据“总数在1000以内”确定水果总数。

[24，28，32]=672672－2=670（个）即：

这批水果共有670个。

练 习 

1、一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形，这所学校至少有多少人？

2、有一批乒乓球，总数在1000个以内。

4个装一袋、5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。

这批乒乓球到底有多少个？

3、食堂买回一些油，用甲种桶装最后一桶少3千克，用乙种桶装最后一桶只装了半桶油，用丙种桶装最后一桶少7千克。

如果甲种桶每桶能装8千克，乙种桶每桶能装10千克，丙种桶每桶能装12千克，那么，食堂至少买回多少千克油？

例题：

一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150至200颗之间，问共有多少颗？

分析：

由已知条件可知：

这盒棋子只要增加1颗，就正好是4、6、15的公倍数。

换句话说，这盒棋子比4、6、15的最小公倍数少1。

我们可以先求4、6、15的最小公倍数，然后再根据“这盒棋子在150至200颗之间”这一条件找出这盒棋子数。

4、6、15的最小公倍数是60。

60×3－1=179颗，即这盒棋子共179颗。

练 习 

1、有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵。

这批树苗数在150至200之间，求共有多少棵树苗。

2、五

（1）班的五十多位同学去大扫除，平均分成4组多2人，平均分成5组多3人。

请你算一算，五

（1）班有多少位同学？

3、有一批水果，每箱放30个则多20个，每箱放35个则少10个。

这批水果至少有多少个？

例：

公路上一排电线杆，共25根。

每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米，可以有几根不需要移动？

分析：

不需要移动的电线杆，一定既是45的倍数又是60的倍数。

要先求45和60的最小公倍数和这条公路的全长，再求可以有几根不需要移动。

① 从第一根起至少相隔多少米的一根电线杆不需移动？

   ［45、60］＝180（米） 

② 公路全长多少米？

               45×（25-1）＝1080（米） 

③ 可以有几根不需要移动？

           1080÷180+1＝7（根） 

例：

从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？

分析：

从学校到少年宫的这段路长50×（37－1）=1800米，从路的一端开始，是50和60的公倍数处的那一根就不必移动。

因为50和60的最小公倍数是300，所以，从第一根开始，每隔300米就有一根不必移动。

1800÷300=6，就是6根不必移动。

去掉最后一根，中途共有5根不必移动。

解答：

[3，4，6，8]=24          所以这个班可能有学生24或48人。

练 习 

1、24的因数共有多少个？

36的因数共有多少个？

24和36的公因数是哪几个？

其中最大的一个是？

答：

24的因数共有8个，36的因数共有9个，24和36的公因数是1、2、3、4、6、12。

其中最大的一个是12。

2、一个长方形的面积是323平方厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？

（长和宽都是素数） 

答：

长方形的长是19厘米，宽是17厘米。

3、两个自然数的乘积是420，它们的最大公因数是12，求它们的最小公倍数。

 答：

它们的最小公倍数是35。

4、两个自然数相乘的积是960，它们的最大公因数是8，这两个数各是多少？

 答：

这两个数分别是24和40。

5、两个数的最小公倍数是126，最大公因数是6，已知两个数中的一个数是18，求另一个数。

 答：

另一个数是42。

6、有一种长51厘米，宽39厘米的水泥板，用这种水泥板铺成一块正方形地，至少需要多少块水泥板？

答：

至少需要221块水泥板。

7、有三根铁丝长度分别为120厘米、90厘米、150厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根无剩余，每段最长多少厘米？

一共可以截成多少段？

 答：

每段最长30厘米，一共可以截成12段。

8、有两个不同的自然数，它们的和是48，它们的最大公因数是6，求这两个数。

 答：

这两个数是42和6或18和30。

9、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果每人分得3个碗或4个碗或5个碗，都正好分完，这些碗最少有多少个？

 答：

这些碗最少有60个。

10、有A、B两个两位数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，则A、B两个自然数的和是多少？

答：

A、B两个自然数的和是48。

例：

两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？

分析：

根据“两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积”可先求出这两个数的乘积，再把这个积分解成两个数，且这两个数一定是最大公因数的倍数，